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江苏省南通市2013届高三第三次调研测试数学试题 Word版含解析


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第Ⅰ卷(共 60 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1.已知集合 A ? ? ?2, 1? , B ? ? ?1, 2? ,则 A U B ? .

2.设复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ? 0 ( i 是虚数单位) ,则复数 z 的模为



3.右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是



考点:算法的流程图
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4.“ M ? N ”是“ log2 M ? log 2 N ”成立的 选择一个正确的填写)

条件. (从“充要” , “充分不必要” , “必要不充分”中

5.根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图 如右图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时段内非正常行驶 的机动车辆数为 .

6.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上纵坐标为 1 的一点到焦点的距离为 3,则焦点到准 线的距离为 .

考点:抛物线的标准方程与简单性质.
2 3 4 5 6 7 8 9 ? 中任取两个不同的数,则其中一个数恰是另一个数的 3 倍的概率为 7.从集合 ?1,,,,,,,,
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8. 【江苏省南通市 2013 届高三第三次调研测试】 在平面直角坐标系 xOy 中, 设点 P 为圆 C : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上的任意一点,点 Q (2 a , a ? 3 ) ( a ? R ),则线段 PQ 长度的最小值为 .

? x? ? )(A ? 0 , ? ? 0 , 0≤? ? 2?) 在 R 上的部分图象如图所示,则 f (2013) 的值 9. 函数 f ( x) ? A sin(
为 .

10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a2 ? a1 ? 1.当 a 3 取最小值时,数列 ?an ? 的通项公式 an=



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?ax2 ? 2 x ? 1,≥ x 0, ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 是偶函数,直线 y ? t 与函数 y ? f ( x) 的图象自左向右依次交于四个 ? ? x ? bx ? c,x ? 0
不同点 A , B , C , D .若 AB ? BC ,则实数 t 的值为 .

0) 作曲线 C : y ? e x 的切线,切点为 T1 ,设 T1 在 x 轴上的投影是点 H1 ,过点 H1 再作曲线 C 12.过点 P(?1,

的切线, 切点为 T2 , 设 T2 在 x 轴上的投影是点 H 2 , ?, 依次下去, 得到第 n ? 1 (n ? N) 个切点 Tn ?1 . 则点 Tn ?1 的坐标为 .

uuu r uuu r EF ? 2 , 13.在平面四边形 ABCD 中, 点 E,F 分别是边 AD, BC 的中点, 且 AB ? 1 , CD ? 3 . 若 AD ? BC ? 15 , uuu r uuu r 则 AC ? BD 的值为



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14.已知实数 a1, a2, a3, a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 0 , a1a42 ? a2a4 ? a2 ? 0 , 且 a1 ? a2 ? a3, 则 a4 的取值范围是



二、解答题.
15.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,四条侧棱长均相等. (1)求证: AB // 平面 PCD ; (2)求证:平面 PAC ? 平面 ABCD .

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BD 的中点, 在矩形 ABCD 中,点 O 为 AC,

16.在△ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 【答案】 (1) B ? π ; (2) 3 ? T ≤ 9 . 2 4 3

2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

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17.某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图 1 是单层玻璃,厚度为 8 mm;图 2 是双层中空玻璃,厚度 均为 4 mm,中间留有厚度为 x 的空气隔层.根据热传导知识,对于厚度为 d 的均匀介质,两侧的温度差为

?T ,单位时间内,在单位面积上通过的热量 Q ? k ? ?T ,其中 k 为热传导系数.假定单位时间内,在单位 d
面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等. (注:玻璃的热传导系数为 4 ? 10?3 J ? mm/ C ,空气的热传 导系数为 2.5 ? 10?4 J ? mm/ C . ) ( 1 )设室内,室外温度均分别为 T1 , T2 ,内层玻璃外侧温度为 T1? ,外层玻璃内侧温度为 T2? ,且

? ? T2.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量(结果用 T1 , T1 ? T1? ? T2
T2 及 x 表示) ;

(2) 为使双层中空玻璃单位时间内, 在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的 4%, 应如何设计 x 的大小?
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1 ? 4%时,解得 x ? 12 (mm) . 2x ? 1

2 y2 0) ,离心率为 2 . 18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1, 2 a b

分别过 O , F 的两条弦 AB , CD 相交于点 E (异于 A , C 两点) ,且 OE ? EF . (1)求椭圆的方程;
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(2)求证:直线 AC , BD 的斜率之和为定值.

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19.已知数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1,公比为 q (q ? 1) 的等比 数列. (1)若 a5 ? b5 , q ? 3 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和; (2)若存在正整数 k (k≥2) ,使得 ak ? bk .试比较 a n 与 bn 的大小,并说明理由.

令 Sn ? 1?1 ? 21? 3 ? 41? 32 ? ??? ? (20n ? 19) ? 3n?1 ,



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?0,

???13 分

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20.设 f ( x) 是定义在 (0,? ?) 的可导函数, 且不恒为 0, 记 g n ( x) ?

f ( x) 若对定义域内的每一个 x , (n ? N* ) . xn

总有 gn ( x) ? 0 ,则称 f ( x) 为“ n 阶负函数” ;若对定义域内的每一个 x ,总有 ? g n ( x ) ?? ≥0 , 则称 f ( x) 为“ n 阶不减函数” ( ? g n ( x ) ?? 为函数 g n ( x) 的导函数) . (1)若 f ( x) ? a3 ? 1 ? x( x ? 0) 既是“1 阶负函数” ,又是“1 阶不减函数” ,求实数 a 的取值范围; x x (2)对任给的“2 阶不减函数” f ( x) ,如果存在常数 c ,使得 f ( x) ? c 恒成立,试判断 f ( x) 是否为“2 阶 负函数”?并说明理由.

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