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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
直线与方程

第三章
3.1 直线的倾斜角与斜率

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否 平行或垂直. ? 2.能根据两条直线的平行或垂直关系确定两 条直线斜率的关系.

? ? ? ?

●温故知新 旧知再现 1.直线的倾斜角与斜率. tanα 当直线倾斜角α≠90 °时,斜率k=________. 不存在 当直线倾斜角α=90°时,斜率 0°≤α<180° k__________. k∈R ? 直线倾斜角的范围是________________,直 线斜率的取值范围是__________.

? 2.在初中平面几何中两条直线平行的定义与 判定方法 没有 ? ①定义:平面内两条直线________公共点, 相等 则这两条直线平行. 相等 互补 (1)同位角_________;(2)内错 ? ②判定方法: 角________;(3)同旁内角__________. 直角 ? 3.在初中平面几何中两条直线垂直的定义
? 平面内两条直线相交,而且它们的夹角是 __________,那么这两条直线垂直.

? 4.已知直线l1的斜率为0,且直线l1⊥l2,则 直线l2的倾斜角为( ) ? A.0° B.135° ? C.90° D.180° ? [答案] C ? 5.直线l1的倾斜角为45°,l2∥l1,则 l 的倾 2 0 45° 斜角为________,若l2过点A(2,3),B(-1,y), 则y=______.

? 新知导学 ? 1.平行 ? 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为 k1,k2,有l1∥l2?k1=k2. ? [破疑点] (1)当直线l1∥直线l2时,可能它们 的斜率都存在且相等,也可能斜率都不存 在. ? (2)直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,当k1=k2时, l1∥l2或l1与l2重合. ? (3)对于不重合的直线l1,l2,其倾斜角分别为 α,β,有l1∥l2?α=β.

? 2.垂直

? 如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直, -1 那么它们的斜率之积等于 _______;如果它们 互相垂直 的斜率之积等于-1,那么它们__________.

? [破疑点] 当直线l1⊥直线l2时,可能它们的 斜率都存在且乘积为定值-1,也可能一条直 线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0; 较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的 和. ? (1)平行:倾斜角相同,所过的点不同; ? (2)重合:倾斜角相同,所过的点相同; ? (3)相交:倾斜角不同; ? (4)垂直:倾斜角相差90°.

●自我检测 1.已知直线 l1∥l2,直线 l2 的斜率 k2=3,则直线 l1 的斜率 k1 等于( 1 C.3 ) B.3 1 D.-3 A.可能不存在

? [答案] B

1 2.已知直线 l1 的斜率 k1=2,直线 l2 的斜率 k2=-2,则 l1 与 l2( ) B.垂直 D.异面 A.平行 C.重合

? [答案] B
1 [解析] ∵k1=2,k2=-2,∴k1· k2=-1,∴l1⊥l2.

? 3.若l1与l2为两条直线,它们的倾斜角分别为 α1,α2,斜率分别为k1,k2,有下列说法: ? (1)若l1∥l2,则斜率k1=k2; ? (2)若斜率k1=k2,则l1∥l2; ? (3)若l1∥l2,则倾斜角α1=α2; ? (4)若倾斜角α1=α2,则l1∥l2. ? 其中正确说法的个数是( ) ? A.1 B.2 ? C.3 D.4 ? [答案] B

? [解析] 需考虑两条直线重合的特殊情况, (2)(4)都可能是两条直线重合,(1)(3)正确.

互动课堂

●典例探究
判断两直线平行
判断下列各题中的直线 l1,l2 是否平行: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(2,1),l2 经过点 M(3,4),N(-1, -1); (2)l1 经过点 A(-3,2), B(-3,10), l2 经过点 M(5, -2), N(5,5); (3)l1 的倾斜角为 60° ,l2 经过点 A(1, 3),B(-2,-2 3).

[分析] 判断斜率 根据“过两点的直线的斜 判断斜率 → → 是否存在 率公式”求出相关系斜率 是否相等

1-?-2? [解析] (1)直线 l1 的斜率 k1= =1; 2-?-1? -1-4 5 直线 l2 的斜率 k2= = . -1-3 4 因为 k1≠k2,所以 l1 与 l2 不平行.

(2)因为 l1,l2 都与 x 轴垂直且 l1,l2 不重合,所以 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1=tan60° = 3; -2 3- 3 直线 l2 的斜率 k2= = 3. -2-1 因为 k1=k2,所以 l1∥l2 或 l1,l2 重合.

?


规律总结:判断两条直线是否平行的步

? 特别提醒:若已知直线上点的坐标,判断直 线是否平行时,要考虑直线重合的情况.

? 已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线 l2过点C(1,0)和D(0,-2),试判断直线l1与l2的 位置关系.
-2-0 =2,k1=k2,所以 l1∥l2. 0-1

-1-1 [解析] 直线 l1 的斜率 k1= =2,直线 l2 的斜率 k2= -2+1

判断两条直线的垂直关系
判断下列各题中的直线 l1,l2 是否垂直: (1)l1 经过点 A(-1,-2),B(1,2),l2 经过点 P(-2,-1), Q(2,1); (2)l2 经过点 A(3,4),B(3,6),l2 经过点 P(-5,20),Q(5,20); (3)l1 经过点 A(2, -3), B(-1,1), l2 经过点 C(0, -1), D(4,2).
[分析] 判断斜率 求出 判断斜率之积 → → 是否存在 斜率 与-1的关系

2-?-2? [解析] (1)直线 l1 的斜率 k1= =2,直线 l2 的斜率 1-?-1? 1-?-1? 1 k2 = =2,因为 k1· k2=1,所以 l1 与 l2 不垂直. 2-?-2? 20-20 (2)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率 k2= =0, 5-?-5? 所以 l1⊥l2. 1+3 4 (3)直线 l1 的斜率 k1= =-3,直线 l2 的斜率 k2= -1-2 2-?-1? 3 =4,因为 k1· k2=-1,所以 l1⊥l2. 4-0

? 规律总结:两条直线垂直的判定条件: ? (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为 -1,则两条直线一定垂直; ? (2)两条直线中,如果一条直线的斜率不存在, 同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线 也垂直.
? 特别提醒:若已知点的坐标含有参数,利用 两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论 斜率不存在的情况.

? 已知四点A(-4,2),B(6,-4),C(12,6), D(2,12),则下面四个结论:①AB∥CD;② AB⊥CD;③AC∥BD;④AC⊥BD,其中正确 结论的序号为( ) ? A.①③ B.①④ ? C.②③ D.②④ ? [答案] B

[解析] 直线 AB,CD,BD,AC 的斜率都存在,因为 kAB -4-2 12-6 6-2 3 3 1 = =-5,kCD= =-5,kAC= = ,k 6-?-4? 2-12 12-?-4? 4 BD 12-?-4? = =-4,所以 kAB=kCD,kACkBD=-1,即 AB∥CD, 2-6 AC⊥BD.

两条直线平行与垂直的综合应用

已知 A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点, 若顺次连接 ABCD 四点,试判定图形 ABCD 的形状.

? [分析] 先由图形判断四边形各边的关系,猜 测四边形的形状,再由斜率之间的关系完成 证明.

[解析] 由题意知 A,B,C,D 四点在坐标平面内的位置, 如右图, 由斜率公式可得 5-3 1 kAB= =3, 2-?-4? 0- 3 1 kCD= = , -3-6 3 0-3 kAD= =-3, -3-?-4?

3-5 1 kBC= =-2. 6-2 所以 kAB=kCD,由图可知 AB 与 CD 不重合, 所以 AB∥CD,由 kAD≠kBC,所以 AD 与 BC 不平行. 1 又因为 kAB· kAD=3×(-3)=-1, 所以 AB⊥AD, 故四边形 ABCD 为直角梯形.

?

规律总结: (1)在顶点确定的情况下, 确定多边形形状时,要先画出图形,由图形 猜测其形状,为下面证明提供明确目标. ? (2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的, 注意排除两直线重合的情况. ? (3)判断四边形形状,要依据该四边形的特点, 且不会产生其他情况.

? △ABC的顶点A(5,-1)、B(1,1)、C(2,m), 若△ABC为直角三角形,求m的值.
[解析] (1)若∠A=90° ,则 AB⊥AC,kAB· kAC=-1, 1+1 m+1 m+1 1 kAB= =-2,kAC= =- 3 . 1-5 2-5 m+1 1 ∴-2×(- 3 )=-1,∴m=-7.

(2)若∠B=90° ,则 BA⊥BC,kBA· kBC=-1, m-1 1 kBC= =m-1,kBA=-2, 2-1 1 ∴(m-1)×(-2)=1,∴m=3.

(3)若∠C=90° ,则 CA⊥CB,kCA· kCB=-1, m+1 m+1 m-1 kCA= =- 3 ,kCB= =m-1, 2-5 2-1 m+1 kCA· kCB=-1,∴(- 3 )×(m-1)=-1, ∴m2=4,∴m=± 2. 综上所述,m=-2,2,-7,3.

●误区警示 易错点 忽略斜率不存在的特殊情形 已知直线 l1 经过点 A(3,a),B(a-2,3),直线 l2 经过点 C(2,3),D(-1,a-2),若 l1⊥l2,求 a 的值.

[ 错解 ]

3-a a-5 由 l1 ⊥ l2 ? k1· k2 =- 1 , k1 = , k2 = ,得 a-5 -3

3-a a-5 · =-1,解得 a=0. a-5 -3

? [错因分析] 只有在两条直线斜率都存在的情 况下,才有l1⊥l2?k1·k2=-1,还有一条直 线斜率为0,另一条直线斜率不存在的情况也 要考虑. ? [正解] 由题意知l2的斜率一定存在,l2的斜 率则可能为0,下面对a进行讨论. ? 当k2=0时,a=5,此时k1不存在,所以两直 线垂直. ? 当k2≠0时,由k1·k2=-1,得a=0. ? 所以a的值为0或5.

? 已知A(2,a+1),B(4,2a),C(a+1,1),D(2a+ 1,2),问a为何值时,直线AB和直线CD的位置 关系满足; ? (1) 平行. (2) 垂直. [解析] 当 a=0 或 a=1 时,
两直线既不平行也不垂直. 当 a≠0,且 a≠1 时, a-1 1 kAB= 2 ,kCD=a.

a-1 1 (1)当 2 =a时, 解得 a=-1 或 a=2, 经检验,a=-1 或 a=2 时,直线 AB 和直线 CD 不重合, 两直线平行. a-1 1 (2)当 2 · a=-1 时, 1 解得 a=3, 1 所以 a=3时,两直线垂直.

随堂测评

? 1.下列说法正确的有(

)

? ①若两直线斜率相等,则两直线平行;②若 l1∥l2,则k1=k2;③若两直线中有一条直线 的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则 两直线相交;④若两直线斜率都不存在,则 两直线平行. ? A.1个 B.2个 ? C.3个 D.4个 ? [答案] A

? [解析]
序号 正误 ① × 理由 当k1=k2时,l1与l2平行或重合,故①不正确 当l1∥l2时,也可能两直线的斜率均不存在, 故②不正确




×


两直线的倾斜角不相等,则一定相交,故③
正确



×

两直线也可能重合,故④不正确

? 2.直线l1的斜率为k1=-3,直线l2的斜率为k2 =-3,则l1与l2( ) ? A.平行 B.垂直 ? C.重合 D.平行或重合 ? [答案] D

3.已知 A(-1,1),B(3,3),直线 l∥AB,则直线 l 的斜率为 ( ) A.2 C.-2 1 B.2 1 D.-2

? [答案] B
3-1 1 [解析] kAB= = ,故选 B. 3+1 2

4.已知直线 l1 的斜率为 a,l2⊥l1,则 l2 的斜率为( 1 A.a C.a 1 B.-a 1 D.-a或不存在

)

? [答案] D
[解析] 当 a=0 时,l2 斜率不存在, 1 当 a≠0 时,l2 斜率为-a,故选 D.

? 5.已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别 为A(0,1),B(1,0),C(3,2),则第四个顶点D的 坐标为________. ? [答案] (2,3) ? [分析] 由长方形的性质知AD⊥CD,AD∥BC, 则有kAD·kCD=-1,kAD=kBC,解方程组即 可.

[解析] 设第四个顶点 D 的坐标为(x,y), ∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD· kCD=-1,且 kAD=kBC. y-2 ? ?y-1· =-1 ?x-0 x-3 ∴? ?y-1 2-0 = ? ?x-0 3-1
? ?x=2 解得? ? ?y=3



∴第四个顶点 D 的坐标为(2,3).

? 6.判断下列各对直线平行还是垂直: ? (1)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3), N(2,0); ? (2)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点 M(-2,-1),N(0,-2); ? (3)l1经过点A(1,3),B(1,-4),l2经过点M(2,1), N(2,3); ? (4)l1经过点A(3,2),B(3,-1),l2经过点M(1,1), N(2,1). ? [分析] 先求各直线斜率,若某一直线斜率不

0-1 [解析] (1)k1= =-1, 1-0 3-0 k2= =-1,∴k1=k2. -1-2 3-1 又 kAM= =-2≠k1, -1-0 ∴l1∥l2.

2+2 -1+2 1 (2)k1= =2,k2= =-2, 1+1 -2-0 ∴k1k2=-1.∴l1⊥l2. (3)l1 的斜率不存在,l2 的斜率也不存在,画出图形,如右 图所示,则 l1⊥x 轴,l2⊥x 轴,∴l1∥l2.

1-1 (4)l1 的斜率不存在, k2= =0, 画出图形, 如下图所示, 2-1

则 l1⊥x 轴,l2⊥y 轴,∴l1⊥l2.

课后强化作业
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