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平顶山许昌新乡三市2013届高三第三次调研考试 word文科数学


平顶山许昌新乡三市 2013 届高三第三次调研考试 文科数学 本试题卷分第 1 卷(选择题)和第 1l 卷(必考题和选考题两部分)。考生作答时,将答案答 在答题‘p 上(答题注意事项见答题}),在本试题卷上答题无效。考试结束后,将本试题卷 和答题卡一并交同。 第1卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符 合题目要求的。 (1)已知全集 u=R,集合 A={x|1<z≤3j,B={x|x>2},则 An( ? ? ? ? B ? )等于 (A){x|1<x≤2)
2

(B){x|1≤x<2)
3 4 5

(c){x|1≤x≤2)

(D){x|l≤x≤3)

(2)若复数 z= 1 ? i ? i ? i ? i ? i

(i 是虚数单位),则复数 z 在复平面内对应的点位于

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限 (3)在各项都为正数的等比数列{ a n )中, a 1 ? 2 , a 6 ? a 1 a 2 a 3 ,则公比 q 的值为 (A)
2

(B)

3

(C) 2

(D)3

(4) 已知角 ? 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在直线 y=3x 上, 则 cos2 ? = (A)
3 4

(B)

2 3

(c)

3 5

(D)

4 5

(5) 如 右 边 的 群 序 框 图 , 若 输 入 脚 =4 ,, n=6 , 则 输 出 的 a.,i 分 别 等 于

(A)12,3

(B)12,2

(C)24,2

(D)24,3

(6)已知三个互不重合的平面 ? , ? , ? , ? ? ? ? a , ? ? ? ? b , ? ? ? ? c ,则给出下列命题: ①若 a ? b , a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? b ? p ,则 a ? c ? p ;③若 a ? b , a ? c ,则 a ? ? ; ④若 a//b,则 a//c.其中止确命题个数为

(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (7)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图为

(8)设向量 a ? ( 3 s in ? ? c o s ? ? 1, 1), b ? (1, 1), ? ? [ 向上的投影,则 m 的最大值是 (A)
3 2 2

? 2?
3, 3

] ,m 是向量 a 在向量 b

(B)4 (c)2 2

(D)3
3, y ? 1 2 lo g a 5 , z ? lo g a 2 1 ? lo g a 3 ,则

(9)已知 0<a<l, x = lo g a

2 ? lo g a

(A)x>Y>z (B)Z>Y>x

(C) z>X>Y

(D)Y>x>z
2 2 2

? 内随机取两个数分别记为 a, 则使得函数 f ? x ? ? x ? 2 a x ? b ? ? (10)在区间 【一 ? , 】 b,

有零点的概率为 (A)l 一
?
8

(B)1 一
2

?
4

(c)1 一

?
2

(D)l 一

3? 4

(1 1)椭圆

x

?

y

2

25

16

? 1 的左,在焦点分别是 F1 , F 2 ,弦 AB 过 F 1 ,若 ? A B F 的面积是 5,

A,B 两点的坐标分别是( X 1 , Y 1 ),( X 2 , Y 2 ),则 | Y1 ? Y 2 | 的值为
5 3 10 3 20 3
5 3

A

B

C

D

(12)若平面直角坐标系中两点 M,N 满足条件:①M,N 分别在函数 f(x),g(x)的图像 上;②M,N 关于(1,O)对称,则称点对(M,N)是一个“相望点对”(说明:(M,N) 和(N,M)是同一个“相望点对”).函数 y ?
1 1? x

与 y ? 2 s in ? x (一 2≤x≤4)的图像中“相

望点对”的个数是 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 第 1I 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 2l 题为必考题,每个试题考生都必须 做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

x (13)已知直线 a x ? b y ? c ? 0 与圆 O: ? y ? 1 相交于 A.B 两点, | A B | ? 且
2 2

3 2

O 则O A · B =

??? ?

??? ?

——. (14)设 f(x)是定义在 R 上最小正周期为 的值为 (15)已知四面体 P 一 ABC 中,PA=PB=4,PC=2,AC=2 四面体 P—ABC 外接球的体积为——. (16)已知双曲线 c:
X a
2

5? 3

的函数, x∈ [ ? 当

2? 3

, ? ) 时 f(x)=sinx ,f ( ?

1 6? 3

)

5 ., P B ? 平面 PAC,则

?

y b

2

? 1 (a>。 ,b>0)的半焦距为 c,过左焦点且斜率为 1 的直

线与双曲线 C 的左、右支各有一个交点,若抛物线 y ? 4 c x 的准线被双曲线截得的线段长
2

大于

2 3

2

b e 。(e 为双曲线 c 的离心率),则 e 的取值范同是——
2

三.解答题:解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=
x 3x ? 1

,数列{ a n }满足 a 1 =l, a n ? 1 =f( a n )(z∈N‘).

(1)求证:数列{

1 an

}是等差数列;

(II)记 s n ? a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ? 1 ,求 s n (18)(本小题满分 12 分) 某高校在 2013 年的臼主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩 共分成五组:第 1 组[75,80),第 2 组[80,85),第 3 组[85,90),第 4 组[90,95),第 5 组 [95,100】 ,得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生为 “优秀” 成绩小于 90 分的学生为“良好” , ,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试 资格.

(I)求“优秀”和“良好”学生的人数;

(11)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 10 人,求“优秀”和 “良好”的学生分别选出几人? (III)已知甲是在(II)选出的“优秀”学生中的一个,若从选出的“优秀”学生中再选 2 人参加某专项测试,求甲被选中的概率. (19)(本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中, A B ? 平面 ACD,DE ? 平面 ACD,AB=CD=1, AC= 3 ,AD=DE=2,G 为 AD 的中点.

(I)在线段 CE 上找一点 F,使得 BF//平面 ACD,并加以证明: (II)求三棱锥 G—BCE 的体积。 (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 1 ,抛物线 C 2 的焦点均在 x 轴上, C 1 的中心和 C 2 的顶点均为原点 O,
2 2

从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,一 2 3 ),(一 2,o),(4,一 4),( 2 , ‘ (I)求 C 1 , C 2 的标准方程; (11)是否存在直线 L 满足条件:①过 C 2 的焦点 F;②与 C 1 交与不同的两点 M,N 且满足 O M ? O N ?若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由. (21)(本小题满分 12 分) 已知 f(x)= x ? a x ? a x ? 2
3 2 2

).

???? ?

????

(I)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (11)若 a<0,求函数 y=f(x)的单调区间; (?)若不等式 2xlnx≤ f '( x ) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答 时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 一 l:几何证明选讲 如图,已知:C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点,

C H ? A B 于点 H,直线 AC 与过 B 点的圆 O 的切线

相交于点 D,E 为 CH 中点,连接 AE 并延长交 BD 于 点 F,直线 CF 交直线 AB 于点 C.

(I)求证:F 是 BD 的中点; (II)求证:CG 是圆 ? O 的切线. (23)(本小题满分 10 分)选修 4 一:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中, 将曲线{ {
x ? 2 cos ? ? 2 y ? s in ?

( ? 为参数)上的每一点横坐标不变,

纵坐标变为原来的 2 倍得到曲线 C 1 .以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立的 极坐标系中,曲线 C 2 的方程为 ? ? 4 s in ? . (I)求 C 1 和 C 2 的普通方程. (II)求 C 1 和 C 2 的公共弦的垂直平分线的极坐标方程. (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=
| x ?1| ? | x ? 2 | ?a

(1)当 a=一 5 时,求函数 f(x)的定义域; (11)若函数 fx)的定义域为 R,求 a 的取值范同.

2013 年高三模拟试题——文科数学参考答案
一、选择题 1----5 A A C D A 6-----10 C C C D B 11—12 A B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. ?
1 8

14. ?

3 2

15. 3 6 ?

16.

?

2, 3

?

三、 解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17(本题满分 12 分)

解:(Ⅰ)? a n ? 1 ? f ? a n ? ?
3an ? 1 an

an 3an ? 1 1 a n ?1 1 an

?

1 a n ?1

?

? 3?

1 an

?

?

? 3

所以数列 ?

? 1 ? ? 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 分 ? an ?
? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 ? an ? 1 3n ? 2

(Ⅱ)?

1 an

? a n ? a n ?1 ?

1

3n ? 2 3n ? 1

?

1

?

1 ? 1 1 ? ?? ? ? 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

? Sn ?

1? 1 1 1 1 1 1? 1 n ? ? ? ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3? 3n ? 1 ? 3n ? 1

? ? ? ? ? ? 12 分

18(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意良好学生的人数是 4 0 ? ? 0 .0 1 ? 0 .0 7 ? 0 .0 6 ? ? 5 ? 2 8 ,优秀学生人数是 4分 (Ⅱ)优秀与良好的人数之比是 3 : 7 ,所以采用分层抽样抽取的 10 人中优秀人数是 3,良好 人数是 7 ?????? ?????? ??????7 分 (Ⅲ) 将(Ⅱ)中选取的优秀学生记作甲, 丙, 乙, 则从这 3 人中选取 2 人的基本事件是甲乙,
40 ? 28 ? 12
?????? ?????? ??????

乙丙,甲丙共 3 个,其中含甲的基本事件是甲乙,甲丙共 2 个,所以甲被选中的概率是
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

2 3

19(本题满分 12 分) (Ⅰ)由已知 A B ? 平 面 A C D , D E ? 平 面 A C D ? A B ? ? D E , 设 F 是 C E 的 中 点 ,H 是 C D 的 中 点 ,所以 F H ? ? E D , F H ?
? A B ? 1, D E ? 2 ? A B ? 1 2
? A H ? 平 面 A C D , B F ? 平 面 A C D ? B F ? ? 平 面 A C D 。。。。。。。6 分 。。。。。。

1 2

ED ,

DE

,

? 四 边 形 A B H F 是 平 行 四 边 形 ? B F ? ?? ?

,

(Ⅱ)由 D E ? 平 面 A C D ? 平 面 A B E D ? 平 面 A C D , 在平面 A C D 内作 C P ? A D 于 P ,
? 平 面 ABED ? 平 面 ACD ? AD ? CP ? 平 面 ABED ,

? C P为 三 棱 锥 C ? B G E的 高 ? VG ? BCE ? VC ? BGE ?

1 3

S ? BGE ? C P ,
3 2

且 S ? BGE ? S 梯 形 ABED ? S ? ABG ? S ? EDG ?

3 2
3 4

由三角形的等面积法的 C P ? ,

?? V G ? B C E ? V C ? B G E ?

1 3

S ? BGE ? C P =

.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分

20(本题满分 12 分)
: 2 ( p 0,则有 解:(Ⅰ)设抛物线 C y ? px?) 2
2

y

2

? 2 p ( x ? 0) ,

x

2 据此验证 4 个点知(3, ? 2 3 )(4, ? 4)在抛物线上,易求 C : y ?4x , 2

……2 分

设 CC : : 12
? ? ? ? ? ? ? 4 a 2 a

y ? 2 ?( ?b?0 ,把点( ? 2,0),( a ) 2 a b
2

x

2

2

2 ,
2
2

2

)代入得:

? 1 ? 1 2b
2

2

?a ? 解得 ? ?b ? ? 1

2

? 4 ? 1

2

.

∴ C 1 方程为

x

? y

2

?1

….…….………5 分

4

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x ? 1 ,直线 l 交抛物线于 M (1,
???? ???? ? O M ? O N ? 0 不满足题意
3 2 ) , N (1, ? 3 2 ),

…….…………6 分

当直线 l 斜率存在时,假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1, 0) ,设其方程为 y?k x? ), ( 1
(1 1 x ), ( , 2 x 与 C 1 的交点坐标为 M ,y N 2 y) .

? x2 2 ? 2 2 ? y ? 1 消去 y 并整理得 ( 4 2 8 ? 2 1 0 1 kx k 4 ? , ? ) ?x ( k ) ? 由? 4 ? y ? k ( x ? 1) ?
2 2

于是 x1 ? x2 ?

8k

1 ? 4k

, x1 x2 ?

4( k ? 1) 1 ? 4k
2

2

2

.①

….…….………………8 分

y k 1x ? xx21 y ( )( 1 [2 1 )] ?? 1) x ( x . x? k ? k ? ? ? 1 2 1 1
2 ( k 1 ) 24 ?

即y ? ( y k 12
? ?? ?? ?? ??

8 k 3 k .② ? ?? 1 ? ) 2 2 2 14 ? k 14 ? k 14 ? k

2

2

.…………9 分

x yy 0 M N ?ON 0,得 x 2? 1 2 ? (*) ? 由 O ?O ,即 OM (*). 1

4k ?) ( 1 3 k k ? 4 将①、②代入(*)式,得 ? ? ? ,解得 k ? ?2 , 0 2 2 2 1 4 ?k 1 4 ?k 1 4 ?k

2

2

2

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: 2 ?y? ? 或 2 ?y? ? . ……12 分 x 2 0 x 2 0 21. (本题满分 12 分) 解: (I)? a ? 1,? f ? x ? ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 ,? f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 x ? 1
? k ? f ? ? 1 ? ? 4 ,又 f ? 1 ? ? 3 ,所以切点坐标为 ? 1, 3 ?
?

所求的切线方程为 y ? 3 ? 4 ? x ? 1 ? , 即 4 x ? y ? 1 ? 0 ..…………3 分

(II) f ? ? x ? ? 3 x 2 ? 2 a x ? a 2 ? ? x ? a ? ? 3 x ? a ? 由 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ? a , 或 x ?
? a ? 0 时,由 f ? ? x ? ? 0 , 得
a 3 a 3 a 3 a 3 ), ( ? a , ? ? ) …………7 分

? x ? ? a .由 f ? ? x ? ? 0 , 得 x ? a 3 , ? a ) ,单调递增区间为 ( ? ? ,

,或 x ? ? a

此时 f ? x ? 的单调递减区间为 (

2 (III)依题意 x ? ( 0 , ? ? ) ,不等式 2 x l n x ? f ? ( x ) ? a ? 1 恒成立,等价于

2 x ln x ? 3 x ? 2 a x ? 1 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立
2

可得 a ? ln x ?

3 2

x?

1 2x

在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立………………………………8 分
1
1 x 3 2 1 2x
2

设 h ? x ? ? ln x ?

3 2

x?

2x

,则 h ? ? x ? ?
1

?

?

? ?

? x ? 1? ? 3 x ? 1?
2x
2

令 h ? ? x ? ? 0 , 得 x ? 1, 或 x ? ? (舍去) 当 0 ? x ? 1 时,h ? ? x ? ? 0; 当 x ? 1 时,h ? ? x ? ? 0; ,
3

当 x 变化时, h ? ? x ? , h ? x ? 变化情况如下表:
x

? 0 ,1 ?
+ 单调递增
? ?2 , a ? ?2

1 0 2

? 1, ? ? ?
单调递减

h?? x ?

h?x?

? 当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ?

m ax

? a 的取值范围是 ? ? 2 , ? ? ? ………………………………………………………………12 分

22. (本题满分 10 分) (I)证:∵ C H ? A B , D B ? A B , ,

∴?AEH ? ?AFB,?ACE ? ?ADF ∴
EH BF ? AE AF ? CE FD

,∵ H E ? E C ,∴ B F ? F D ∴ F 是 B D 中点.………….…5 分

(II)∵ A B 是直径, ∴ ? A C B =90° ? B C F = ? C B F =90° ? C B A ? ? C A B ? ? A C O ∴ ? ∴ ? O C F ? 9 0 ,∴ C G 是 ? O 的切线….………10 分 (说明:也可证明 ? O C F ? ? O B F (从略,) 23. (本题满分 10 分) (Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?
?
? C 1为 ? x ? 2 ? ? y
2
?

? x ? 2 cos ? ? 2 y ? 2 s in ?

(? 为 参 数 )

2

? 4 .…….………….…3 分

2 2 又? C 2 为 ? = 4 s i n ? , 即 x ? y ? 4 y .…….………….….…….………….…5 分

(Ⅱ) C 1 和 C 2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程是 ? c o s ? ? ?
?

?

? ?

? ? 4 ?

2 .…….………10 分

24. (本题满分 10 分) (I)当 a ? ? 5 时,要使函数 f ? x ? ? 则| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ? 2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 . 综上所求函数的定义域为 ? ? ? , ? 2 ? ? ?3 , ?? ? …….….…….………….…5 分 ( II ) 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? a ? 0 恒 成 立 , 即
?1 ? 2 x , ( x ? ? 1 ) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ? a 恒成立,构造函数 h ? x ? ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3 , ( ? 1 ? x ? 2 ) ,求得 ? 2 x ? 1, ( x ? 2 ) ?

| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? a . 有意义,

函数的最小值为 3,所以 a ? ? 3 .…….……….…….………10 分


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