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高中数学教学课件《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》_图文

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 S = ab (1)矩形面积公式:___________. (2)三角形面积公式:___________. 2 正三角形面积公式:_________. 4 S =π r (3)圆的面积公式:___________. 2 S= 1 ah S= 3 a 2 (4)扇形面积公式:___________. 2 (5)梯形面积公式:____________. 2 S= 1 (a + b)h S= 1 rl 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗? 1.了解柱体、锥体与台体的表面积. 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积. (重点) 3.培养学生空间想象能力和逻辑思维能力.(难点) 【概念理解】 探究1 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表 面积? 1.直棱柱的展开图 a h 直棱柱的表面积 设棱柱的高为 h ,底面多边形的周长为 c ,则得到 直棱柱的侧面面积计算公式: S直棱柱侧面积=ch 即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积. 棱柱的表面积或全面积等 于侧面积与底面积的和. 2.正棱锥的展开图 正五棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它 的表面积? 侧面展开 空间问题 h' 平面问题 h' a a 几何体表面积 展开图 平面图形面积 正棱锥的表面积 正n棱锥的侧面积的计算公式: S正棱锥侧 = 1 nah'= 1 ch' 2 2 即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积 的一半. 棱锥的表面积或全面积等 于侧面积与底面积的和. 3.正棱台的展开图 正四棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面 积? 侧面展开 h' h' 空间问题 平面问题 正棱台的侧面积 正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形,设棱台 下底面边长为a、周长为c,上底面边长为a'、周长为 c',斜高为h',可以得出正n棱台的侧面积公式: S正棱台侧=n· (a+a')h'= 2 1 1 2 (na+na')h' = 1 2 (c+c')h' S正棱台侧= n·(a+a')h' 2 1 = 1 2 (c+c')h' 这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方 法得出. S正棱台侧= S大正棱锥侧 -S小正棱锥侧 * 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和. 【想一想】 思考 1.联系棱柱、棱锥、棱台的几何图形间的转化过程, 思考是否能由棱台的侧面积公式得到棱柱、棱锥的 侧面积公式. 2.观察圆柱、圆锥、圆台的展开图,思考计算圆柱、 圆锥、圆台的侧面积公式. 探究2 圆柱 圆柱、圆锥、圆台的表面积 r O? l 2? r O 圆柱的侧面展开图是矩形 表面积 S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r ( r ? l ) 圆锥 S侧 = 1 2 ? 2? rl ?? rl 2 S 表 ? ? r ? ? rl ? ? r ( r ? l ) 2? r l 圆锥的侧面展开图是扇形 r O 圆台 圆台的侧面展开图是扇环 r ' O′ l l? 2? r ' 2? r S 侧 ? ? (r l ? rl ) ' r O S表 ? ? (r ' 2 ? r ? r l ? rl ) 2 ' 【思考】 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系? S ? ? r ? ? rl ? ? r ( r ? l ) 2 O? r 'O′ l l l r O r S ? ? (r ' 2 r O ? r ? r l ? rl ) 2 ' O 2 S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l ) 探究3 球的表面积 柱、锥的表面都可展开放在平面内,这样我们就可以 根据平面图形的性质,求它们的表面积.但球面不能 展平成平面,我们要用其他方法求它的表面积: 分 割 近似求和 S 球 ? 4?R 2 化为准确和 【例题讲解】 例1.已知正四棱锥底面正方形的 边长为4 cm,高与斜高的夹角为 D O A B E C 35°(如图),求正四棱锥的侧面 积及全面积(单位:cm2,精确到 0.01). 解:正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成直 角?POE. 因为OE=2 cm,∠OPE=35°,所以 斜高PE=OE/sin 35° =2/0.574≈3.49(cm). 因此 S棱锥侧= 1 2 ch'=1/2×4×4×3.49=27.92(cm2), S棱锥全=27.92+16=43.92(cm2). 例2.如图所示是一个容器的盖子,它是用一个正四棱 台和一个球焊接而成的.球的半径为R,正四棱台的两 底面边长分别为3R和2.5R,斜高为0.6R: (1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,焊接处对 面积的影响忽略不计). (2)若R=2 cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m2,计算为100个这样的盖子涂色 约需涂料多少千克(精确到0.1 kg). 解:(1)因为 S正四棱台 1 2 2 = 4× × (2.5R + 3R) × 0.6R + (2.5R) + (3R) 2 1 2 2 2 = (4×2.5 + 4× 3) × 0.6R + 6.25R + 9R 2 = 21.85R , S球 = 4π R . 2 2 因此, 这个盖 子的全面 积为 S 全 = (21.85 + 4π) R . 2 (2)取R = 2, π= 3.14,得S全 = 137.64 cm , 又 (137.64 × 100) ÷10 000× 0.4 ? 0.6(kg). 因此,涂100个这样的盖子共需涂料约 0.6 kg. 2 1.一个棱

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