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高一数学人教A版必修一新导学案:1.1.1 《集合的含义与表示》(1)

1.1.1

《集合的含义与表示》 (1)导学案

【学习目标】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合 语言的意义和作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 【重点难点】 重点:掌握集合的基本概念。 难点:元素与集合的关系。 【知识链接】 认真阅读教材 P1-P3,对照【学习目标】 ,完成导学案,适当总结。 (预习教材 P2~ P3,找出疑惑之处) 讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个 通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是 高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一 些研究对象的总体. 集合是近代数学最基本的内容之一,许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上,它还渗 透到自然科学的许多领域,其术语的科技文章和科普读物中比比皆是,学习它可为参阅一般科技读 物和以后学习数学知识准备必要的条件. 【学习过程】 ※ 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数;② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形;④ x2 , 3 x ? 2 , 5 y3 ? x , x2 ? y 2 ; ⑤ 东升高中高一级全体学生;⑥ 方程 x 2 ? 3x ? 0 的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2008 年 8 月生产的所有童车;⑧ 2008 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答: 各组对象分别是一些什么?有多少个对象? 新知 1: 一般地, 我们把研究对象统称为元素 (element) ,把一些元素组成的总体叫做集合 (set) . 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究 2: “好心的人”与“1,2,1”是否构成集合? 新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情 况必有一种且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 . 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解;② 3 的倍数;③ 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤ 最小的整数;⑥ 周长为 10 cm 的三角形;⑦ 中国古代四大发明;⑧ 全班每个学生的年龄; ⑨ 地球上的四大洋;⑩ 地球的小河流. 探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知 3:集合的字母表示

集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)集合 A,记作:a ?A. 试试 3: 设 B 表示 “5 以内的自然数” 组成的集合, 则5 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集) :全体非负整数组成的集合,记作 N; * 正整数集:所有正整数的集合,记作 N 或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R. 试试 4:填∈或 ?:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, ? 3 Q, 3 ? 2 R. 探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言 来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢? 新知 5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示.

B, 0.5

B, 0

B, -1

B.

※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x( x2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成的集合

变式:用列举法表示“一次函数 y ? x 的图象与二次函数 y ? x 2 的图象的交点”组成的集合.

【基础达标】 1. 下列说法正确的是( ). A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合

1 3 6 1 C.集合 {1, 2,3, 4,5} 和 {5, 4,3, 2,1} 表示同一个集合 D. 1, 0.5, , , , 这六个数能组成一个集 2 2 4 4

合 2. 给出下列关系: 1 ① ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N? ;④ ? 3 ? Q. 2 其中正确的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为( ). 1 1 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} D. {(? ,0)} 2 2 4. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则:

深圳 A; 广州 A. (填∈或 ?) 2 5. “方程 x ? 3x ? 0 的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________. 【拓展提升】 1. 用列举法表示下列集合: (1)由小于 10 的所有质数组成的集合; (2)10 的所有正约数组成的集合; (3)方程 x 2 ? 10 x ? 0 的所有实数根组成的集合. 2. 设 x∈R,集合 A ? {3, x, x2 ? 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 ?2 ? A ,求实数 x. 【参考答案】 达标:1、C;2、A;3、B;4、 ?、∈;5、{0,3}。 提升:1、 (1){2,3,5,7}; (2){1,2,5,10}; (3){0,10};2、 (1)x ? -1,0,3; (2)-2; 【学习反思】 1.集合的概念 2.集合元素的三个特征:其中“集合中的元素必须是确定的”应理解为:对于一个给定的集合, 它的元素的意义是明确的.“集合中的元素必须是互异的”应理解为:对于给定的集合,它的任何两 个元素都是不同的.3.常见数集的专用符号。


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