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2014届高三数学一轮复习 第3讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词课件 理_图文

第3讲 逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.下列命题中,所有真命题的序号是( C ) ①3<5 且 6<7;②4>5 或 5>4;③π 不是无理数. A.①③ C.①② B.②③ D.①②③

解析: ①是“p∧q”形式命题, 全真为真; ②是“p∨q”

形式命题,只要有一个为真即为真;③是“綈 p”形式命题,

p 真,所以綈 p 为假,故选 C.

2.(改编)如果命题“p 且 q”是假命题,“綈 q”也是假

命题,则( C ) A.p 是真命题,q 是真命题 B.p 是真命题,q 是假命题 C.p 是假命题,q 是真命题 D.p 是假命题,q 是假命题

解析:因为綈 q 是假命题,所以 q 是真命题;因为 p 且

q 是假命题,所以 p 是假命题,故选 C.

3.下列命题中为特称命题的是( D ) A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于或等于 3

4.(2012· 北京海淀 5 月二模)已知命题 p:?x0∈R,2x0=1, 则綈 p 是( A )

A.?x∈R,2x≠1 C.?x0∈R,2x0≠1

B.?x?R,2x≠1 D.?x0?R,2x0≠1

解析:对存在量词和等号进行否定,即得?x∈R,2x≠1, 故选 A.



含逻辑联结词命题的真假性的判定

【例 1】 (2012· 长沙市第一次月考)已知命题 p: ?x∈R, 使 tan x=1;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1<0.给出下列 结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假命题; ③命题“(綈 p)∨q”是真命题;

其中正确的是__________.(只需将所有真命题的序号 填上)

π 解析:因为 x=kπ+ (k∈Z)时,tan x=1, 4 故 p 为真命题. 12 3 又 x +x+1=(x+ ) + >0 恒成立, 2 4
2

故 q 为假命题,所以綈 p 为假命题,綈 q 为真命题,

因此只有④正确.

【拓展演练 1】 (1)命题 p:“?x∈R,x2≥0”是( A.简单命题 B.含有联结词“且”的复合命题 C.含有联结词“或”的复合命题 D.含有联结词“非”的复合命题 )

(2)已知命题 p 和 q 满足 p∨q 为真命题,綈 q 为真命题,

则(

) A.p 为假命题 B.p 为真命题 D.綈 p∨q 为真命题

C.p∧q 为真命题

解析:(1)x2≥0,即 x2>0 或 x2=0,故选 C. (2)由綈 q 为真命题可知 q 为假命题, 又 p∨q 为真命题,

因此 p 为真命题,从而可得 A、C、D 均不正确,故选 B.


(

含有一个量词的命题否定及真假判断
【例 2】命题 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin 2x≤3,则 ) A. p 是假命题; 綈 p: ?x∈R, f(x)=2cos2x+ 3sin 2x≤3 B.p 是假命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin 2x>3 C. p 是真命题; 綈 p: ?x∈R, f(x)=2cos2x+ 3sin 2x≤3 D.p 是真命题;綈 p:?x∈R,f(x)=2cos2x+ 3sin 2x>3

解析:由题意得 f(x)=1+cos 2x+ 3sin 2x π =1+2sin(2x+ ),所以-1≤f(x)≤3,所以 p 是真命题, 6 綈 p 即对全称量词和“≤”进行否定,故选 D.

【拓展演练 2】 (1) 命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 “ ”. (2)(2013· 厦门质检)下列命题中: π ①?x∈[0, ],sin x+cos x≥2; 2 ②?x∈(3,+∞),x2>2x+1; ③?x∈R,x2+x=-1; π ④?x∈( ,π),tan x>sin x. 2 其中真命题是( ) A.① B.①② C.② D.③④

解析:(1)对全称量词“所有”和“都是”进行否定即可. π (2)①因为 sin x+cos x= 2sin(x+ )≤ 2,所以此命题不 4 正确; ②因为 x2-2x-1=(x-1)2-2,当 x>3 时,(x-1)2-2>0, 所以此命题正确; 12 3 2 ③x +x+1=(x+ ) + >0 对?x∈R 恒成立, 2 4 可知 x2+x=-1 无解,所以此命题不正确; π ④当 x∈( , π)时, sin x>0, tan x<0, 所以此命题不正确. 故 2 选 C.



根据命题真假求参数的取值范围
【例 3】 (改编)已知命题 p: 方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]

上有解;命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 x2+2ax+2a≤0. 若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围.

解析:由题意 a≠0. 若 p 正确,a2x2+ax-2=0=(ax+2)(ax-1)=0 的解为 2 1 x=- 或 x= . a a 若方程 a2x2+ax-2=0 在[-1,1]上有解, 1 则-1≤ ≤1,① a 2 或-1≤- ≤1,② a 解①得 a≤-1 或 a≥1,解②得 a≤-2 或 a≥2, 所以命题 p:a≤-1 或 a≥1.

若 q 正确,即只有一个实数满足 x2+2ax+2a≤0, 则 Δ=4a2-8a=0,解得 a=0 或 2. 若命题“p 或 q”是假命题,则 p 和 q 都是假命题,
?-1<a<1 则? , ?a≠0且a≠2

所以 a 的取值范围为(-1,0)∪(0,1).

【拓展演练 3】 设 p:函数 f(x)= ax-1的定义域为(-∞,0],q:关于 x 的不等式 ax2-x+a>0 的解集为 R.若“p∨q”是真命题,“p ∧q”是假命题,求 a 的取值范围.

解析:若 p 真,则 ax-1≥0 的解集为(-∞,0], 所以 0<a<1; ? ?a>0 1 ? 若 q 真,则? ?a> . 2 2 ?Δ=1-4a <0 因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, 所以 p 与 q 一真一假. ?a≤0或a≥1 ?0<a<1 ? ? 故? 1 或? 1 , ?a≤2 ?a>2 ? ? 1 即 0<a≤ 或 a≥1, 2 1 所以 a 的取值范围是(0, ]∪[1,+∞). 2

1.(2013· 重庆卷)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否 定为( D ) A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,都有 x2<0 C.存在 x0∈R,使得 x2 0≥0 D.存在 x0∈R,使得 x2 0<0

解析:根据全称命题的否定知,选 D.

2.(2013· 湖北卷)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳 一次, 设命题 p 是“甲降落在指定范围”, q 是“乙降落在指 定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为( A ) A.(綈 p)∨(綈 q) B.p∨(綈 q)

C.(綈 p)∧(綈 q)

D.p∨q

解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”即“甲 或乙没有降落在指定范围内”.故选 A.

3.(2012· 辽宁卷)已知命题 p:?x1,x2∈R, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈 p 是( C )

A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0

解析:命题 p 为全称命题,所以其否定綈 p 应是特称命

题, 又[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0 否定为[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0, 故选 C.

4.(2012· 福建卷)下列命题中,真命题是( D ) A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是 =-1 b D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

解析: 因为 ex>0 对任意 x∈R 恒成立, 所以选项 A 错误; 因为当 x=3 时 23=8,32=9 且 8<9,所以选项 B 错误;因为 b 当 a=b=0 时 a+b=0,而 无意义,所以选项 C 错误;故选 a D.

5.(2012· 北京卷)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3), g(x)=2x-2.若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 .

解析:①因为 g(x)=2x-2,当 x>1 时,g(x)>0, 当 x<1 时,g(x)<0.由题意,可得当 x>1 时,f(x)<0, 所以 m<0 , f(x)图象与 x 轴的两个交点均小于 1.因为 2m<0<1,所以只需-(m+3)<1,即 m>-4,所以 m∈(-4,0). ②因为 g(x)=2x-2,当 x<-4 时,g(x)<0. 由题意,可得?x<-4,使 f(x)>0. 因为 m∈(-4,0), 所以函数 f(x)图象与 x 轴的两个交点至 少有一个小于-4, 即 2m<-4 或-(m+3)<-4,可得 m∈(-4,-2).


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