当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.1 单调性与最大(小)值〈第一课时 函数的单调性〉_图文

1. 3 函本 数性 的质 基

1. 3 .1 单 最

第一
课时 函单 数调 的性

预习全程设计

调 大
性(小) 与 值

案例全程导航

训练全程跟踪

1.3.1 单调性与最大(小)值

第一课时 函数的单调性

1.增函数与减函数的定义 条件 增 设函数f(x)的 函 定义域为I: 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2) 结论 定义 f(x)在区间D上 是 增函数

数 如果对于定
减 义域I内某个




区间D上有任 当x1<x2时,都有 意两个自变 量x1,x2 f(x1)>f(x2)

f(x)在区间D上 是 减函数

1 函数 y=x的单调减区间是(-∞,0)∪(0,+∞)吗? 1 提示:不是.函数 y=x的单调减区间是(-∞,0)和(0, +∞).

2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么 说函数f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性 ,区间 D叫做函数y=f(x)的 单调区间 .

3.几种基本初等函数的单调性 函数类型 一次函数y=kx +b(k≠0) k>0 k<0 k>0 单调性 在R上单调 递增 在R上单调 递减 (-∞,0) 在 和 (0,+∞) 上是减函数 在(-∞,0)和(0,+∞)上 是增函数

反比例函数y= (k≠0)

k<0

函数类型

二次函数y=ax2+bx +c(a≠0)

单调性 b 在 (-∞,- 2a ) 上是减函数 a>0 b 在 (- 2a ,+∞) 上是增函数 b ) 在 (- 2a ,+∞上是减函数 a<0 b ) 在 (-∞,-2a 上是增函数

指出下列函数的单调性. 2 (1)y=x;(2)y=-3x+1;(3)y=-3x2-2x+1.

2 提示:(1)y=x在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数; (2)y=-3x+1 在 R 上是减函数; 1 1 (3)y=-3x -2x+1 在(-∞,-3)是增函数,在(-3,+ ∞)上是减函数.
2

探究点1

函数的单调性

1. 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而 言的.单调函数的定义中,x1、x2的三个特征一定要

高度重视.函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:
一是任意性,即“任意取x1、x2”,“任意”二字绝对不 能丢掉;二是大小,通常规定x1<x2;三是同属于一 个单调区间.三者缺一不可.

2.函数的单调性可以从以下三个方面理解.
(1) 图形刻画 对于给定区间上的函数f(x),函数图像如果从左向右连 续上升,那么称函数在该区间上单调递增(图(1)).函 数图像如果从左向右连续下降,那么称函数在该区间

上单调递减(图(2)).

(2) 定性刻画 对于给定区间上的函数f(x),如果函数值随自变量增 大而增大,那么称函数在该区间上单调递增,如果函 数值随自变量的增大而减小,那么称函数在该区间上

单调递减.
(3) 定量刻画,即增(减)函数的定义.

求下列函数的单调区间. 5 (1)y=2x-1;(2)y=x;(3)y=-x2-2x-3; (4)y=3|x|;(5)y=-x2+2|x|+3.

[提示] 对于(1)(2)(3)属于基本初等函数,可以直接利用 单调性写出单调区间;对于(4)(5)则可以画出它们的图 像,由图像直接得出单调区间.

[解]

(1)函数 y=2x-1 的单调增区间是(-∞,+∞);

(2)函数的单调减区间是(-∞,0),(0,+∞); (3)由于函数 y=x2-2x-3 的对称轴方程是 x=1, 并且开口 向上,所以其单调减区间是(-∞,1],单调增区间是(1, +∞).
? ?3x, x≥0 (4)∵f(x)=3|x|=? ? ?-3x, x<0.

由一次函数的单调性可得:f(x)的单调减区间是(-∞,0), 单调增区间是[0,+∞).

2 ? ?-x +2x+3, (5)∵f(x)=? 2 ? - x -2x+3, ?

x≥ 0 x<0.

其图像如图所示.

∴y=f(x)的单调增区间是(-∞,-1],[0,1]. y=f(x)的单调减区间是(-1,0),(1,+∞).

根据下列函数图像指出函数的单调区间,以及在每一 单调区间上,它是增函数还是减函数.

解:由图像(1)知,函数的单调区间有(-∞,2],(2,3], (3,+∞).其中函数在区间(-∞,2],(3,+∞)上是增 函数,在区间(2,3]上是减函数. 由图像(2)知,函数的单调区间有(-∞,0),(0,+∞),

函数在区间(-∞,0),(0,+∞)上是减函数.

探究点2

判断或证明函数的单调性

函数单调性的判断或证明是最基本的题型,最基本 的方法是定义法,整个过程可分为五个步骤. 第一步:取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值,

且x1<x2.
第二步:作差.准确作出差值:f(x1)-f(x2)[或f(x2)- f(x1)]. 第三步:变形.通过因式分解、配方、分子(分母)有 理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.

第四步:确定差f(x1)-f(x2)[或f(x2)-f(x1)]的符号,当 符号不能直接确定时,可通过分类讨论、等价转化,然后 作差、作商等思路进行. 第五步:判断.根据定义作出结论.

以上五个步骤可以简记为“取值―→作差―→变形
―→定号―→判断”.

1 证明:函数 f(x)=x+x在(0,1]上为减函数,在[1,+ ∞)上为增函数.

[提示]

利用单调性的定义,严格按判断的几个步骤进行,

即取值―→作差―→变形―→定号―→判断.
[证明] 任取 x1,x2∈(0,1],且 x1<x2,

1 1 ∴f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 1 1 =(x1-x2)+(x -x ) 1 2

x2-x1 =(x1-x2)+ x x 1 2 1 =(x1-x2)(1-x x ). 1 2 ∵x1<x2,∴x1-x2<0.又 x1,x2∈(0,1], ∴0<x1x2<1. 1 1 ∴x x >1,∴1-x x <0. 1 2 1 2 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在(0,1]上为减函数. 同理可证 f(x)在[1,+∞)上为增函数.

证明函数f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上是增函数. 证明:设x1,x2是区间(1,+∞)上的任意两个值, 且x1<x2,则

f(x1)=x-2x1,f(x2)=x-2x2,
f(x2)-f(x1)=x-2x2-(x-2x1) =x-x-2x2+2x1 =(x2-x1)(x2+x1)-2(x2-x1) =(x2-x1)(x2+x1-2).

∵x2>x1,∴x2-x1>0.
又∵x1、x2∈(1,+∞),∴x2>x1>1, 即有x1+x2>2,∴x1+x2-2>0. ∴f(x2)-f(x1)>0,即有f(x2)>f(x1). 故f(x)=x2-2x在(1,+∞)上是增函数.

探究点3

根据单调性求参数取值范围

函数的单调性应用广泛,主要有:(1)求参数的取值

范围;(2)与不等式结合解不等式;(3)比较大小.
已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4] 上是减函数,求实数a的取值范围. [提示] 由题意可知是(-∞,4]应该是该函数的递减区间 的子区间,从而可通过比较对称轴与4的大小来求得.

[解] f(x)=x2+2(a-1)x+2

=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
∴此二次函数的对称轴为x=1-a.

∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].
∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,

∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.

把本题改为“函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调减区 间是(-∞,4],求字母a的值. 解:f(x)=x2+2(a-1)x+2

=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2.
∴f(x)的单调递减区间是(-∞,1-a]. 又∵f(x)的单调递减区间是(-∞,4], ∴1-a=4,即a=-3.

已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)

<f(1-x),求x的取值范围.
[错解] ∵f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,

3 且 f(x-2)<f(1-x),∴x-2<1-x,解得 x<2. 又-1≤x≤1, 3 故所求 x 的取值范围为(-∞,2)∩[-1,1]=[-1,1].

[错因] 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函
数的单调区间,在抽象函数中满足函数关系式的自变量

首先应在函数的同一个单调区间内,这是一个极易被忽
视也是极易出现错误的地方,也就是说变量x首先应满足 -1≤x-2≤1,-1≤1-x≤1,在此基础上利用单调性 的定义将“f”符号脱掉.

[正解]

∵f(x)在[-1,1]上为增函数, 3 解得 1≤x<2.

?-1≤x-2≤1 ? 且 f(x-2)<f(1-x),∴?-1≤1-x≤1 ?x-2<1-x ? 3 ∴x 的取值范围是[1,2).


相关文章:
1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性_图文.ppt
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,...
1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性概要._图文.ppt
1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性概要. - ? ? 1.3 函数的基本性质 第1课时 函数的单调性 探究点 上升 y 函数单调性的定义 下降 y 局部...
高中数学1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性.doc
高中数学1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。高中数学1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 ...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性.doc
高中数学人教A版必修一练习:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_....ppt
2018-2019学年高中数学人教A版必修一:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_....ppt
2019学年高中数学人教A版必修一课件1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性.doc
2019年高中数学人教A版必修一练习:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_高三语文_语文_高中教育_教育专区。2019 ...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性.doc
精品教育高中数学人教A版必修一练习:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_其它课程_高中教育_教育专区。精品教育高中数学人教A版必修一练习:1.3...
...:1.3.1 单调性与最大值 第一课时 函数的单调性 _图....ppt
高中数学人教A版必修一课件:1.3.1 单调性与最大值 第一课时 函数的单调性 _数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第...
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第....ppt
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大小值第一课时函数的单调性课件新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性...
1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性课件 新....ppt
第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性 ●课标展示 1.
...第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第一....ppt
高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性课件新人教A版必修1_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调...
1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时)_图文.ppt
1.3.1单调性与最大(小)值(第一课时) - ---函数的单调性 引入课题 观
...3-1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性含解....doc
高中数学人教A版必修一练习:1-3-1 单调性与最大(小)值第一课时 函数的单调性含解析 - 每览昔人 兴感之 由,若 合一契 ,未尝 不临文 嗟悼, 不能喻 之...
...与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函....ppt
2018-2019学年高中数学_第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性课件 新_教育学_高等教育_教育专区。1.3 函数的基本性质...
1.3.1函数的单调性与最大(小)值 (共3课时)_图文.ppt
1.3.1函数的单调性与最大(小)值 (共3课时)_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 函数的单调性与最大(小)值 第一课时 函数单调性的概念 问题提出 德国有一...
1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)_图文.ppt
1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修一单调性与最大(小)值(1) ---函数的单调性 引入课题观察下列各个...
1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性_图文.ppt
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性 引入1 如图为我市某日24小时内的气温变化 图.观察这张气温变化图: 引入2 德国有一...
1.3.1函数的单调性及最大(小)值-第一课时课件_图文.ppt
1.3.1函数的单调性最大(小)值-第一课时课件_数学_高中教育_教育专区。1.3.1函数的单调性最大(小)值-第一、二课时课件 ...
...1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性.doc
2019年高中数学人教A版必修一练习:1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性_幼儿读物_幼儿教育_教育专区。2019 酷酷酷啦 啦啦 1.3 函数的基本性质...
更多相关标签: