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2013年江苏高考数学模拟试卷十套


2013 年江苏高考数学模拟试卷(一)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设复数 z 满足 i?z ? i ? ? ?3 ? 2i ( i 为虚数单位),则 z 的实部是. 2.若全集 U ? ?x || x |? 2? , A ? {x | log3 ( x2 ?1) ? 1} ,则 ?U A ? . 3. 某单位招聘员工, 200 名应聘者参加笔试, 有 随机抽查了其中 20 名应聘者笔试试卷, 统计他们的成绩如下表: 分数段 人数

?60,65?
1

?65,70?
3

?70,75?
6

?75,80?
6

?80,85?
2

?85,90?
1

?90,95?
1

若按笔试成绩择优录取 40 名参加面试,由此可预测参加面试的分数线为分. 4.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1, 2,3, 4,5,6 个点的正方体玩具) ,先后抛掷 2 次,则出 现向上的点数之和为 4 的概率是. 5.运行如图所示程序框图后,输出的结果是. 6.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面, 给出下列命题:m ? ? ? // ? (1)若,, ?m ? ? ,,则; ? // (2)若,, ,,则;
开始 k?1 S?0 k≥-3 Y ? S ? S – 2k N 输出 S 结束

n ?? n // ?

m // n m?n

(3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有真命题的序号为.

/

k ? k -1 (第 5 题图)

7. 已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线 y 2 ? 8x 的焦点,则圆 C 的一般方程 为. 8. 已知集合 A ? {x | x2 ? a ? (a ? 1) x, a ? R} , ?a ? R ,使得集合 A 中所有整数的元素和为 28,则 a 的范围是 ________. 9.如图, ?ABC 是边长为 2 3 的等边三角形,P 是以 C 为圆心, 1 为半径的圆上的任意一点,则 AP ? BP 的最小值. 10.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线 交 C 于点 D,且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为. (第 9 题图) 11.已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,若存在 常数 u,v 对任意正整数 n 都有 an=3logubn+v,则 u+v=.
A B C P

12. 已知△ABC 中, a, b, c, 分别为?A, ?B, ?C 的对边长, 边上的高与 AB 边的长相等, 设 AB 则 的最大值为.

b a c2 ? ? a b ab

13. 将一个长宽分别是 a, b(0 ? b ? a) 的铁皮的四角切去相同的正方形, 然后折成一个无盖的长方体的盒子, 若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则
a 的取值范围是. b

14.已知实数 a, b 分别满足 a 3 ? 3a 2 ? 5a ? 1 , b 3 ? 3b 2 ? 5b ? 5 ,则 a ? b 的值为.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? (1) 当 m=0 时,求 f ( x ) 在区间 (0, (2) 当 tan ? ? 2 时, f (? ) ?

?
2

1 ? ? )sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) , tan x 4 4

) 上的取值范围;

3 ,求 m 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (1) 求证: B1D1 ? AE ; (2) 求证: AC // 平面 B1DE .

17.(本题满分 14 分)如图,有一位于 A 处的雷达观测站发现其北偏东 45°,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有 一 货 船 正 以 匀 速 直 线 行 驶 , 20 分 钟 后 又 测 得 该 船 只 位 于 观 测 站 A 北 偏 东 45? ? ? ( 其 中

1 tan ? ? ,0? ? ? ? 45? )且与观测站 A 相距 5 13 海里的 C 处. 5
(1)求该船的行驶速度 v(海里/小时) ; (2)在离观测站 A 的正南方 20 海里的 E 处有一暗礁(不考虑暗礁的面积) ,如货船不改变航向继续前 行,该货船是否有触礁的危险?试说明理由.
北 B

C θ A

E

18.(本小题满分 16 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1. 6 2

(1)点 P 在以双曲线的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆 E 上,点 C(2,1)关于坐标原点的对称点为 D,直 线 CP 和 DP 的斜率都存在且不为 0,试问直线 CP 和 DP 的斜率之积是否为定值?若是,求此定值; 若不是,请说明理由; (2)平行于 CD 的直线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点,求 ?CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程.

19. (本小题满分 16 分)设 x1 , x2 是 f ? x ? ? 数是 y ?

a 3 b ?1 2 x ? x ? x ? a, b ? R, a ? 0 ? 的两个极值点, 3 2

f ? x ? 的导函

f ? ? x?

(1)如果 x1 ? 2 ? x2 (2)如果

? 4 ,求证: f ? ? ?2? ? 3 ;

x1 ? 2, x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围;

(3)如果 a ? 2 ,且 x2 ? x1 ? 2, x ?

? x1, x2 ? 时,函数 g ? x? ? f ? ? x? ? 2 ? x ? x2 ? 的最小值为 h ? a ? ,求

h ? a ? 的最大值.

an+an+2 20. (本小题满分 16 分)如果无穷数列{an}满足下列条件:① ≤an+1;②存在实数 M,使得 an≤M, 2 其中 n∈N*,那么我们称数列{an}为 Ω 数列. (1) 设数列{bn}的通项为 bn=5n-2n,且是 Ω 数列,求 M 的取值范围; 1 7 (2) 设{cn}是各项为正数的等比数列,Sn 是其前 n 项和,c3= ,S3= , 4 4 证明:数列{Sn}是 Ω 数列; (3) 设数列{dn}是各项均为正整数的 Ω 数列,求证:dn≤dn+1.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)从⊙ 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD.从 A 点作弦 AE 平 O 行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F.求证:BE 平分 CD.

B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 A=? α1=?

?a 3?,矩阵 A 属于特征值 λ =-1 的一个特征向量为 ? 1 ?c 1?

? 1? ?. ?-1? ?-1? ? 4 ?-4?,求 A m. ? ?

(1) 求矩阵 A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量; (2) 若向量 m=?

π C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,点 A?2 2,-4?,圆 O1:ρ=4cosθ+4sinθ. ? ? (1) 将圆 O1 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 判断点 A 与圆 O1 的位置关系.

1 1 x y D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,b,x,y 均为正数,且 > ,x>y.求证: > . a b x+a y+b

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.已知甲盒有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个黑球.现从甲、乙两 个盒内各任取 2 个球. (1)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (2)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

23.已知 ( x ?1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? an ( x ?1)n ,(n ? N*). (1) 求 a0 及 Sn ?

?a ;
i ?1 i

n

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

2013 年江苏高考数学模拟试卷(二)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 集合 A ? {x 0 ? x ? 3 , x ? R} , B ? {x ? 1 ? x ? 2 , x ? R} ,则 A ? B ? . 2. 已知 z ? C ,且 (z+2)(1+i)=2i, 则 z = . 3. 在等差数列 { a n } 中, a5 ? 3, 6 ? ?2 ,则 a3 ? a 4 ? ? ? a8 ? . a

? 4. 已知 a ? 3,

? ? ? ? ? b ? 2 . 若 a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 夹角的大小为.

5. 为了了解高三学生的身体状况. 抽取了部分男生的体重, 将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图(如 图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1︰2︰3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的男生人数 是.
频率 组距

S← 1 For I from 1 to 9 step 2

0.0375

S←S + I End for

0.0125 50 75 55 60 65 70 体重

Print S

6. 右面伪代码的输出结果为. 7.

cos10? ? 3 sin10? 1 ? cos80?

?.
2
2

8. 已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f (?m ?1) ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是. 9.在一个水平放置的底面半径为 3cm 的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径 Rcm 的实心铁球, 球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 Rcm ,则 R ? cm . 10.若方程 ln x +2 x-10=0 的解为 x0 ,则不小于 x0 的最小整数是. 11. 若动直线 ax ? by ? 1过点 A(b, a ) ,以坐标原点 O 为圆心,OA 为半径作圆,则其中最小圆的面积为.
4 12.已知函数 f ( x) ? ax ? x , x ? [ ,1] , A, B 是其图象上不同的两点.若直线 AB 的斜率 k 总满足

1 2

1 ? k ? 4 ,则实数 a 的值是. 2

13.在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 的点,且满足

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2, 1,若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

,则 AM ? AN 的取值范围是.

14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B , ?FAB 的 a2 5

周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x) cos x ? sin x cos(? ? x) ,

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,已知 A 为锐角, f ( A) ? 1 , BC ? 2, B ?

?
3

,求 AC 边的长.

16.(本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 面 ABC , AC ? BC , M , N , P, Q 分 别是 AA , BB1 , AB, B1C1 的中点. 1 (1)求证:平面 PCC1 ? 平面 MNQ ; (2)求证: PC1 // 平面 MNQ . M C A P B N A1 C1 Q B1

17.(本题满分 14 分)如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地 ABCD ,其长为 32 米,宽为 18 米, 现要在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为 a 米与 b 米均不小于 2 米,且要 求“转角处”(图中矩形 AEFG )的面积为 8 平方米 (1)试用 a 表示草坪的面积 S ?a ? ,并指出 a 的取值范围; (2)如何设计人行道的宽度 a 、 b ,才能使草坪的面积最大?并求出草坪的最大面积. 18

D

C

人行道 a

教 学 楼 G F
a b

草 坪

323 32 322

A

E

B

18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a 2 b2

圆 C: x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 6 ? 0 过 A, F2 两点.学科网 (1)求椭圆标准的方程; 2π (2)设直线 PF2 的倾斜角为 α,直线 PF1 的倾斜角为 β,当 β-α= 时,证明:点 P 在一 3 定圆上; (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明: PQ ? PF1 + PF2 .

19.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? ? , an ?1 ? 中 ? 为实数, n 为正整数. (1)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (2)对于给定的实数 ? ,试求数列 {bn } 的前 n 项和 S n ;

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其 3

(3)设 0 ? a ? b ,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b 成立? 若存在,求 ? 的取 值范围;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知函数函数 f ? x ? ? a ? x ? x ln a ?a ? 0, a ? 1? .
x 2

(1)当 a ? 1 时,求证: f ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增; (2)若函数 y ? f ? x ? ? t ? 1有三个零点,求 t 的值; (3)若存在 x1, x2 ?? ?1,1? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? e ? 1 ,试求 a 的取值范围.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... 分线分别交 AE 、 AB 于点 F 、 D . (1)求 ? ADF 的度数; (2)若 AB ? AC ,求
D B F O E C

A. (选修4-1:几何证明选讲)已知 C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上, CA 切圆 O 于 A 点, ?ACB 的平
A

AC 的值. BC

B. (选修4-2:矩阵与变换)已知二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 3 及对应的一个特征向量 e ? ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换将点(-1,2)变换成(9,15)求矩阵 M .

?1? ?1?

? x ? 1 ? cos ? C. 选修4-4: ( 坐标系与参数方程) 在曲线 C1 : ,在曲线 C1 求一点, 使它到直线 C 2 : (? 为参数) ? ? y ? sin ? 1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? 的距离最小,并求出该点 (t为参数) ? ?y ?1? 1 t ? ? 2

D. (选修4-5:不等式选讲)若 a, b, c ? R ,求证 :

?

b2 c2 a2 b c a ? ? ?c ?a ?b a b c a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 2 ,E , F 分别是棱 AB, BC 上的点, 且 EB ? FB ? 1 . (1)求异面直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值; (2)试在面 ABCD 上确定一点 G,使 G 到平面 D1 EF 距离为

11 . 11

23.某市公租房的房源位于 A, B, C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个 片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (1)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (2)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望.

2013 年江苏高考数学模拟试卷(三)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合 A ? ??1,1, 2? , B ? ??1,0, 2? ,则 A ? B ? . 2.若复数 z 满足 z ? (2 ? z )i ( i 是虚数单位) ,则 z ? . 3.在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y),则| x |+| y | ≤ 2 的概率为. 4.已知 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? ? ? ? 0 ,则 cos ? =. 5 2

5. 已知直线 y ? t 与函数 f ( x) ? 3x 及函数 g ( x) ? 4 ? 3x 的图象分别相交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 两点之间的 距离 为. 6.已知 B 为双曲线
开始

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左准线与 x 轴的交点,点 A(0, b) ,若满足 2 a b

2

2

k ? 1, s ? 0
s ? s ? 3k
k ?k?2

??? ? ??? ? AP ? 2 AB 的点 P 在双曲线上,则该双曲线的离心率为.

7.右图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是. 8. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ,若 ?? ? ( , ), f (sin ? ) ? f (cos? ) ,则实数 a 的取值范围 4 2
2

k ? 100



? ?


输出S

为.
??? ? ???? ??? ? BA 9.在四边形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? BC , ??? ? ? BA ??? ? ??? ? BC 3BD ??? ? ??? ,则四边形 ABCD 的面积是. ? ? BC BD
频率 组距

结束
第7 题图

10.在样本的频率分布直方图中, 共有 9 个小长方形, 若第一个长方形的面积 为 0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反 数,若样本容量为 1600, 则中间一组(即第五组)的频数为.

第10题图

样本数据

11.已知变量 a, ? ? R ,则 (a ? 2cos? ) ? (a ? 5 2 ? 2sin ? ) 的最小值为.
2 2

12. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 1) , g ( x) ? 2x ? 1 .若 ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ,则实数 m 的取值范围是. 13.设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x)的导函数, x ??0, ? ? 时, 当 0<f(x) <1;当 x∈(0,π)且 x≠

?
2

时, ( x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π,2π] 上的零点个数为 .
MO 的最大值为. MF

14.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2x 的焦点为 F. 设 M 是抛物线上的动点,则 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分)

15. (本小题满分 14 分)已知 ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,面积为 S?ABC , ?? ? ?? ? 且 m ? (b2 ? c2 ? a2 , ?2) , n ? (sin A, S?ABC ) , m ? n . A ? (1)求函数 f ( x) ? 4sin( x ? )cos x 在区间 [0, ] 上的值域; 2 2 ? 1 (2)若 a=3,且 sin( B ? ) ? ,求 b. 3 3

16.(本小题满分 14 分)在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1 =2, ?ACB ? 60? ,E、F 分别是

A1C1 , BC 的中点.
(1)证明:平面 AEB ? 平面 BB1C1C ; (2)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P ? B1C1 F 的体积.

A1

E

C1
B1

P A F B C

17.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C : (1)求椭圆 C 的方程;

2 x2 y 2 ,一条准线 l : x ? 2 . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(2)设 O 为坐标原点, M 是 l 上的点, F 为椭圆 C 的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的 圆 D 交于 P, Q 两点. ①若 PQ ? 6 ,求圆 D 的方程; ②若 M 是 l 上的动点,求证点 P 在定圆上,并求该定圆的方程.

18. 本题满分 16 分) ( 如图, 某兴趣小组测得菱形养殖区 ABCD 的固定投食点

A 到两条平行河岸线 l1、l2 的

距离分别为 4m、8m,河岸线 l1 与该养殖区的最近点 D 的距离为 1m,l2 与该养殖区的最近点 B 的距离 为 2m.

(1)如图甲,养殖区在投食点 (2)如图乙,养殖区在投食点 的最小面积.

A 的右侧,若该小组测得 ?BAD ? 60? ,请据此算出养殖区的面积; A 的两侧,试在该小组未测得 ?BAD 的大小的情况下,估算出养殖区

19. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N* ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,求实数 ? 的取值范围; (3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不 存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?

a 3 1 1 x ? (a ? 1) x2 ? x ? ( a ? R). 3 2 3

(1)函数 f ( x) 的图象在点 (?1, f (?1)) 处的切线方程为 12 x ? y ? b ? 0 (b ? R) ,求 a 与 b 的值; (2)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值; (3) 是否存在实数 a 使得函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上有两个零点?若存在, 求出 a 的取值范围; 若不存在, 说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1: 几何证明选讲) 如图, 是半圆的直径, 是 AB 延长线上一点, 切半圆于点 D, AB C CD CD=2, DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,求 BC 的长.

?a c? B. (选修4-2:矩阵与变换)设 T 是矩阵 ? ? 所对应的变换,已知 A(1,0) 且 T ( A) ? P ?b 0?

(1)设 b>0,当△POA 的面积为 3 , ?POA ?

?
3

,求 a,b 的值;

(2)对于(1)中的 a,b 值,再设 T 把直线 4 x ? y ? 0 变换成 3x ? y ? 0 ,求 c 的值.

1 ? ? x ? 2t ? C. (选修4-4: 坐标系与参数方程) 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2 2 若以直角坐标系 xoy 的 O 点为极点, ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方

程为 ? ? 2cos(? ? ) . 4 (1)求直线 l 的倾斜角; (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 AB.

?

D. (选修4-5:不等式选讲)设 f ( x) ? x2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 , 求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(?1,1) , 是动点, ? POA 的三边所在直线的斜率满足 kOP+kOA=kPA. P 且 (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

??? ? ??? ? (2)若 Q 是轨迹 C 上异于点 P 的一个点,且 PQ ? ?OA ,直线 OP 与 QA 交于点 M,是否存在点 P,使得△

PQA 和△PAM 的面积满足 S?PQA ? 2S?PAM ?若存在,求出点 P 的坐标;若 不存在,说明理由.

23. (1)求证: n ? N * 时, ( 5 ? 2) 2n?1 ?( 5 ? 2) 2n?1 为正整数; (2)设 ( 5 ? 2)
2 n ?1

? m ? ? (m, n ? N*,0 ? ? ? 1) ,求证: ? (m ? ? )

? 1.

2013 年江苏高考数学模拟试卷(四)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a 的值为. 2.抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的一点 A(1, m) 到其焦点的距离为 3,则 m ? . 3.函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 1( x ? 0) ? 是奇函数,则实数 a ? . 2 ?? x ? ax ? 1( x ? 0) ?

4.已知全集 U ? R ,集合 A ? x ? Z ? x2 ? 5x ? 0 , B ? ?x x ? 4 ? 0? ,则 (?U A) ? B 中最大的元素是. 5.若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? 2 ,且 a ? (a + b) ,则 a 与 b 的夹角为.
I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End

6.下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ? ? ? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的最大值为. 7.设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n , 则 log2012 x1 ? log2012 x2 ? ? ? log2012 x2011 的值为. tan3x ? 8.若 0<x<4,则函数 y=tan2x的最大值为.

9.在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1 D 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方(第 6 题图) 1 1 体 ABCD ? A B1C1 D 内随机取一点 P ,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为. 1 1 10.在 ?ABC 中,两中线 AD 与 BE 相互垂直,则 cos ? A ? B ? 的最大值为. 11.某同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ? 1 ? (1 ? x) 2 (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如右 图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,
A B E D C P F

设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x) . 请你参考这些信息,推知函数 g ( x) = 4 f ( x) - 9 的零点的个数是.

(第 11 题图)

? ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:x-y+3=0 与圆 O:x2+y2=r2(r>0)相交于 A,B 两点.若 OA +2 OB ? = 3 OC ,且点 C 也在圆 O 上,则圆 O 的方程为. 13.设正项数列{an}的前 n 项和是 Sn,若{an}和{ Sn}都是等差数列,且公差相等,则 a1=. 14.对于函数 y ? f ( x) ,若存在区间 [a, b] ,当 x ? [a, b] 时的值域为 [ka, kb] (k ? 0) ,则称 y ? f ( x) 为 k 倍值

函数.若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A, B, C .
??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ⑴ BC ? CA ? CA ? AB ,求证 ?ABC 是等腰三角形; 设

? ? ? ? C 12 ? ⑵ 设向量 s ? 2sin C , ? 3 , t ? (cos 2C,2cos2 ? 1) ,且 s ∥ ,若 sin A ? ,求 sin( ? B) 的值. t 2 13 3

?

?

16.(本小题满分 14 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形, PA ? 平面 ABCD , 点 E 是 PA 的中点. ⑴ 求证: PC ∥ 平面 BDE ; ⑵ 求证:平面 PAC ? 平面 BDE .

P E A

D
C

B
(第 16 题)

17.(本小题满分 14 分如图一块长方形区域 ABCD,AD=2( km ) ,AB=1( km ) .在边 AD 的中点 O 处,有 一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF 始终为 域的面积为 S. (1)当 0≤α<
π 时,写出 S 关于 α 的函数表达式; 2 π ,设∠AOE=α,探照灯 O 照射在长方形 ABCD 内部区 4

C

F

B G E

(2)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回” (OE 自 OA 转到 OC,再回 到 OA,称“一个来回” ,忽略 OE 在 OA 及 OC 反向旋转时所用时间) ,且
π 转动的角速度大小一定,设 AB 边上有一点 G,且∠AOG= ,求点 G D 6

O

? ?

A

(第 17 题)

在“一个来回”中,被照到的时间.

18.(本小题满分 16 分)已知椭圆 C1 : 点和右焦点.

x2 ? y 2 ? 1 和圆 C2 : x2 ? y 2 ? 1 ,A,B,F 分别为椭圆 C1 左顶点、下顶 2

⑴点 P 是曲线 C2 上位于第二象限的一点,若△APF 的面积为

1 2 ? ,求证:AP⊥OP; 2 4

⑵点 M 和 N 分别是椭圆 C1 和圆 C2 上位于 y 轴右侧的动点,且直线 BN 的斜率是直线 BM 斜率的 2 倍, 证 明直线 MN 恒过定点.

y

P A O

N F M x

B

19.(本小题满分 16 分)对于函数 y=f(x),若存在开区间 D,同时满足:①存在 t∈D,当 x<t 时,函数 f(x) 单调递减,当 x>t 时,函数 f(x)单调递增;②对任意 x>0,只要 t-x,t+x∈D,都有 f(t-x)>f(t+x), 则称 y=f(x)为 D 内的“勾函数” . (1)证明:函数 y= loga x (a ? 0, a ? 1) 为(0,+∞)内的“勾函数” ; (2)若 D 内的“勾函数”y=g(x)的导函数为 y=g?(x),y=g(x)在 D 内有两个零点 x1,x2,求证: x1+x2 g?( 2 )>0; 1 1 (3)对于给定常数?,是否存在 m,使函数 h(x)=3?x3-2?2x2-2?3x+1 在(m,+∞)内为“勾 函数”?若存在,试求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , n? N *, an ? 0 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足
an ?1 ? 2 . Sn ?1 ? Sn ? 1

1 ⑴求证:数列 {(Sn ? )2 } 为等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; 2

⑵数列 {Sn } 中存在若干项,按从小到大的的顺序排列组成一个以 S1 首项,3 为公比的等比数列 {bk } . ①求这个等比数列的项数 k 与 n 的关系式 k ? k (n) ; ②记 cn ?
n 1 1 2 (n≥ 2) ,求证: ? ci ? [ , ) . k ( n) ? 1 3 3 i?2

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上 一点,AE=AC,DE 交 AB 于点 F.求证:△PDF∽△POC. E A · O C
(第 21-A 题)

F

B D

P

B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ?

?1 1? ?1 ? 2 ? ,向量 ? ? ? 2? ,求向量 ? ,使得 A ? ? ? . ? ? ?2 1?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 的一个动点,若 2x ? 3 y 的最大值为 10 ,求椭圆的标准方程.

1 ,点 P( x, y ) 是椭圆上 2

y D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y,z 均为正数.求证: x + + z ≥1 + 1 + 1 . yz zx xy x y z

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜, 比赛结束) ,假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (2)求比赛局数 X 的分布列和数学期望 E(X).

23.已知 fn(x)=(1+2 x)n,n∈N*. (1) 若 g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求 g(x)中含 x2 项的系数; (2) 若 pn 是 fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于 1 的数组成 的数列,试用数学归纳法证明:
(1 ? a1 )(1 ? a2 )? (1 ? an ) ? pn . a1a2 ? an ? 1

2013 年江苏高考数学模拟试卷(五)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.复数 z ? 1 ? i ?
1 在复平面上对应的点的坐标是. 1? i

? ?1? 2.已知集合 A ? ?1, x 2 ? , B ? ?0,1, 2? ,若 A ? B ,则 x ? . ? ?

3. 为了调查城市 PM2.5 的值, 按地域把 48 个城市分成甲、 丙三组, 乙、 对应的城市数分别为 10, 20. 18, 若 用分层抽样的方法抽取 16 个城市,则乙组中应抽取的城市数为. 4.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 在 [?1,3] 上的最大值为.
3 2

5.袋中装有大小相同且质地一样的五个球,五个球上分别标有“2”“3”“4”“6”“9”这五个数.现 , , , , 从中随机选取三个球,则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是. 6.若一个正方形的四个顶点都在双曲线 C 上,且其一边经过 C 的焦点,则双曲线 C 的离心率是. 7.已知函数 f ? x ? ? lg a x ? bx ? a ? 1 ? b ? 0? ,且 a 2 ? b2 ? 1 ,则不等式 f ? x ? ? 0 的解集是. 8.已知四点 O ? 0,0? , A(t ,1), B(2,3), C(6, t ) ,其中 t ? R .若四边形 OACB 是平行四边形,且点 P ? x, y ? 在其内 部及其边界上,则 2y ? x 的最小值是.

?

?

y

??? ??? ??? ? ? ? π? ?π 9.函数 y ? 2 sin ? x ? ? 的部分图象如右图所示,则 OA ? OB ? AB ? . 2? ?4

?

?

1
O

B A
第 9 题图

10.在一个密封的容积为 1 的透明正方体容器内装有部分液体,如果任 意转动该正方体,液面的形状都不可能是三角形,那么液体体积的 取值范围是. 11.对于问题: “已知两个正数 x, y 满足 x ? y ? 2 ,求

x

1 4 ? 的最小值” ,给出如下一种解法: x y

1 4 1 1 4 1 y 4x ? x ? y ? 2 ,? ? ? ? x ? y ? ( ? ) ? (5 ? ? ) , x y 2 x y 2 x y

1 4 1 9 y 4x y 4x ? x ? 0, y ? 0,? ? ?2 ? ? 4 ,? ? ? (5 ? 4) ? , x y 2 2 x y x y

2 ? ? y 4x ?x ? 3 1 4 ? ? 9 ? y ,即 ? 当且仅当 ? x 时, ? 取最小值 . x y 2 ?x ? y ? 2 ?y ? 4 ? ? 3 ?

参考上述解法,已知 A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,则

1 9 的最小值为. ? A B?C

4 2 2 12.过直线 l : y ? 2 x 上一点 P 作圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2? ? 的两条切线 l1 , l2 , A, B 为切点,当直线 l1 , l2 关于直线 l 5

对称时, ?APB ? .
2 13.设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若不等式 a n ? 2 Sn

n

2

? ma12 对任意等差数列 ?an ? 及任意正整数 n 都成立,则

实数 m 的最大值为.
1 ?1 ? 3 14.已知函数 f ? x ? 满足 f ?x ? ? 2f ( ) ,当 x ? ?1, ? 时, f ? x ? ? ln x ,若在区间 ? , 3 ? 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 有 x ?3 ?

三个不同零点,则实数 a 的取值范围是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1 ?
1 ? ? )sin 2 x ? m sin( x ? )sin( x ? ) . tan x 4 4

? 3? (1)当 m ? 0 时,求函数 f ? x ? 在区间 ( , ) 上的取值范围; 8 4
6 (2)当 tan ? ? 2 时, f (? ) ? ,求 m 的值. 5

? 16. (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 ABB1 A1 和侧面 ACC1 A1 均为正方形, BAC ? 90? ,

D 为 BC 的中点.
(1)求证: A1 B // 平面ADC1 ; (2)求证: C1 A ? B1C .

第 16 题图

17. (本小题满分 14 分)如图,某海域中有甲、乙两艘测量船分别停留在相距

?

6 ? 2 海里的 M,N 两点,

?

他们在同时观测岛屿上中国移动信号塔 AB,设塔底延长线与海平面交于点 O.已知点 M 在点 O 的正 东方向,点 N 在点 O 的南偏西 15 ? 方向, ON ? 2 2 海里,在 M 处测得塔底 B 和塔顶 A 的仰角分别 为 30 ? 和 60 ? . (1)求信号塔 AB 的高度; (2) 乙船试图在线段 ON 上选取一点 P , 使得在点 P 处观测信号塔 AB 的视角最大, 请判断这样的点 P 是 否存在,若存在,求出最大视角及 OP 的长;若不存在,说明理由.

A

B
O
N
第 17 题图

M

18. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ?

x ? x ? R? . ex

(1)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (2) 已知函数 y ? g ? x ? 的图象与函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 1 对称, 求证: x ? 1 时,f ? x ? ? g ? x ? ; 当 (3)如果 x1 ? x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,证明 x1 ? x2 ? 2 .

19. (本小题满分 16 分)给定椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在坐标原点 O ,半径为 a 2 ? b2 的圆是 a 2 b2
,其短轴上的一个端点到 距离为 .

椭圆 C 的“伴随圆”.若椭圆 C 的一个焦点为

(1)求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2) 若过点 求 的值; , 使得 与椭圆 C 都只有一个公共点, 试判断直线 的直线与椭圆 C 只有一个公共点, 且截椭圆 C 的“伴随圆”所得的弦长为 2 2 ,

(3) 过椭圆 C “伴椭圆”上一动点 Q 作直线 的斜率之积是否为定值,并说明理由.

20. (本小题满分 16 分)已知数列{an}是以 d 为公差的等差数列,数列{bn}是以 q 为公比的等比数列. (1)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 a1=b1=d=2,S3<5b2+a88-180,求整数 q 的值; (2)在(1)的条件下,试问数列{bn}中是否存在一项 bk,使得 b,k 恰好可以表示为该数列中连续 P(P ∈N,P≥2)项和?请说明理由; (3)若 b1=ar,b2=as≠ar, b3=at(其中 t>s>r,且(s—r)是(t—r)的约数)求证:数列{bn} 中每一项都是数列{an}中的项.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,AB 为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于 B,AC 交⊙O 于 P,CE=BE,E 在 A P O

BC 上.求证:PE 是⊙O 的切线.

?1 0 ? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ? ? ,若直线 y ? kx 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的直 ?1 2?

线过点 P(1,5) ,求实数 k 的值.

?x ? 1 ? t C. (选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? (t ? y ? 1 ? 2t ? x ? sin ? ? cos ? 为参数)和 ? ( ? 为参数) .分别写出曲线 C1 和 C2 的普通方程并求出曲线 C1 与 C2 的交点 ? y ? sin 2?

坐标.

2 2 2 2 D. (选修4-5:不等式选讲)已知正实数 a,b,c 成等比数列,求证: a ? b ? c ? (a ? b ? c) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,PA⊥平面 ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E 是 PB 的中点. (1)求证:AE⊥平面 PBC;
P

E

(2)求二面角 B-PC-D 的余弦值.

k k ?1 23. (1)已知 k , n ? N * ,且 k ? n ,求证: kCn ? nCn?1 ;

(2)设数列 a0 , a1 , a2 , a3 ,? 是公差不为 0 的等差数列,证明:对任意的正整数 n ,函数
0 1 p ? x ? ? a0Cn ?1 ? x ? ? a1Cn x ?1 ? x ? n n?1 2 ? a2Cn x2 ?1 ? x ? n ?2 n ? ? ? anCn xn 是关于 x 的一次函数.

2013 年江苏高考数学模拟试卷(六)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则其共轭复数 z =. 2. “m<1”是“函数 f(x)=x2+2x+m 有零点”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不 、 、 、 充分也不必要”之一). → → 3.在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB·BC=1,则 BC=. 4.一种有奖活动,规则如下:参加者同时掷两个正方体骰子一次,如果向上的两个面上的数字相同,则可 获得奖励,其余情况不奖励.那么,一个参加者获奖的概率为. 5.为了在下面的程序运行之后得到输出 y ? 25 ,则键盘输入 x 的值应该为. Read x If x<0 Then y=(x+1)(x+1) Else y=(x-1)(x-1) End (第 6 题图) If Print y End

y
P2

? 3
O

P1

x

3 2 2 6.如图,直线与圆 x ? y ? 1 分别在第一和第二象限内交于 P , P2 两点,若点 P1 的横坐标为 ,∠ P OP2 = 1 1 5

?

3

,则点 P2 的横坐标为.

?x≤1, ? 7. 已知不等式组?x+y+2≥0, 表示的平面区域为Ω, 其中 k≥0, 则当Ω的面积取得最小值时的 k 的值为. ?kx-y≥0. ?
8.若关于 x 的方程 2
-|x|

-x2+a=0 有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围是.

9.用长为 18m 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2? :1,该长方体的最大体 积是________. 10.直线 x ? ?m(0 ? m ? 2) 和 y ? kx 把圆 x 2 ? y 2 ? 4 分成四个部分,则 (k 2 ? 1)m2 的最小值为.

x2 y2 x y ? 2 ? 1 ( a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c ,离心率为 e ,若点(-1,0)和(1,0)到直线 ? ? 1 2 a b a b 4 的距离之和为 S ≥ c ,则 e 的取值范围是. 5 x ? [0,1] ? 1 12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( x)] ? 1 成立的整数 x 的取值的集合为. ? x ? 3 x ? [0,1]
11.已知双曲线

13.定义在[2,4]上的函数 f ( x) ? ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x 的值域为. 2


14.在如右图所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j 1,ai,1=i, ai+1,j+1=ai,j+ai+1,j(i,j∈N*);又记第 3 行的数 3,5,8,13,22,39,?. 则第 3 行第 n 个数为.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC 与 BD 交于点 O,E 为侧棱 SC 上的一点. (1)求证:平面 BDE⊥平面 SAC; (2)若 SA//平面 BDE ,求 SE : EC 的值。

? ? 16.(本小题满分 14 分)已知向量 m = ? 1 , 1 sin 2x ? 3 cos 2x ? 与 n=(1,y)共线,且有函数 y ? f (x) . ?2 2 ? 2 ? ? (1)求函数 y ? f (x) 的周期及单调增区间;
(2)若锐角△ABC,三内角分别为 A,B,C, f ( A ?

?
3

) ? 3 ,边 BC= 7 , cos B ?

28 ,求 AC 的长. 7

17.(本小题满分 14 分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段.已知跳水板 AB 长为 2m, 跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3m.为安全和空中姿态优美, 训练时跳水曲线应在离起跳点 A 处水平距 hm(h≥1)时达到距水面最大高度 4m.规定:以 CD 为横轴,BC 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h=1 时,求跳水曲线所在的抛物线方程; (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到比较好的训练效果,求此时 h 的取值范围.
2+h 2

B
3

A

C
5 6

E ·

F ·

D

x2 y2 18.(本小题满分 16 分)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为,其长轴长与短轴长的和等于 6. (1)求椭圆 E 的方程; (2)如图,设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1、A2,P 是椭圆上异于 A1、A2 的任意一点,直线 PA1、PA2 分别交 x 轴于点 N、M,若直线 OT 与过点 M、N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为 定值.

1 1 19.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)=(a+a)lnx+x -x(a>1) . (1)讨论 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (2)当 a≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x)在点 P,Q 处 6 的切线互相平行,求证:x1+x2>5.

20.(本小题满分 16 分)设数列 {an } ,对任意 n ? N 都有 (kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其
*

中 k 、 b 、 p 是常数). (1)当 k ? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; (2)当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;

b (3) 若数列 ?an ? 中任意 (不同) 两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是“封闭数列”.当 k ? 1 , ? 0 ,
p ? 0 时,设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数列” ?an ? ,
使得对任意 n ? N ,都有 Sn ? 0 ,且
*

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列 ?an ? 的 12 S1 S2 S3 Sn 18

首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,A、B 是⊙O 上的两点,∠AOB=120° ,点 D 为劣弧 AB 的中点. (1)求证:四边形 AOBD 是菱形; (2)延长线段 BO 至点 P,交⊙O 于另一点 C,且 BP=3OB,求证:AP 是⊙O 的切线.

B. (选修4-2:矩阵与变换)在军事密码学中,发送密码时,先将英文字母数学化,对应如下表: a 1 b 2 c 3 d 4 ? ? z 26

如果已发现发送方传出的密码矩阵为 ?

?1 2? ?14 41 ? ? ,双方约定可逆矩阵为 ?3 4? ,试破解发送的密码. ? ? ?32 101?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEO,以 OC 为极轴建立极坐标系, 求 CD 边所在直线的极坐标方程. O A B E D C x

D. (选修4-5:不等式选讲)已知 a,b,c∈(0,+∞) ,且

1 2 3 ? ? ? 2 ,求证:a+2b+3c≥18. a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC, EA⊥EB. (1)求直线 EC 与平面 ABE 所成角的正弦值; (2)线段 EA 上是否存在点 F,使 EC// 平面 FBD?若存在,求出
EF ;若不存在,说明理由. EA
E

B C D

A

23.设二项展开式 C n ?

?

3 ?1

?

2 n ?1

(n∈N*)的小数部分为 Bn .

(1)计算 C1 B1 , C2 B2 的值; (2)求证: Cn Bn ? 22n?1 .

2013 年江苏高考数学模拟试卷(七)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 设集合 U=N,集合 M={x|x -3x≥0},则?UM= . 2. 某单位有职工 500 人,其中青年职工 150 人,中年职工 250 人,老年职工 100 人,为了了解该单位职工 的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 6 人,则样本容量为. 3. 已知 i 为虚数单位,
a ? 4i ? 2i ,则实数 a =. 2?i
2

4. 在平面直角坐标系 xoy 中,角 ? 的始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 y ? ? 3x 上,且 x ? 0 ,则
cos? =.

5. 已知函数 f ( x) ? 1 ? log2 x ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为. 6. 从集合 {1, 2,3, 4,5} 中随机选取一个数记为 a , 则使命题:存在 x ? (?3, 3) 使关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 “ 有解”为真命题的概率是.
? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? ? ? ? ? 7. 已知向量 a ? ( x, 1), b ? (2, y ? z) ,且 a ? b .若 x、y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 则 z 的取值范围是. ? x ? 2, ?

8. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程 y ? 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线 a 2 b2

上,则双曲线的方程为.
1 1 9. 设函数 f ( x) ? 4sin(? x) ? x ,函数 f ( x) 在区间 [k ? , k ? ](k ? Z ) 上存在零点,则 k 最小值是. 2 2

10. 数列 ?an ? 的各项都是整数,满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数 列,则数列 ?an ? 前 10 项的和是. 11. 若函数 f ( x) ? tan x ?
4? ? 在点 P( , 3 3 3? 4? ) 处的切线为 l ,直线 l 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、 B , O 为 3

坐标原点,则 ?AOB 的面积为. 12. 如果圆 ( x ? 2a)2 ? ( y ? a ? 3)2 ? 4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的取值范围是. 13. 如右图放置的腰长为 2 的等腰三角形 ABC 薄片,?ACB ?

?
2

,沿 x 轴滚动,设

顶点 A( x, y ) 的轨迹方程为 y ? f ( x) ,则 f ( x) 其相邻两个零点间的图像与 x 轴 围成的封闭图形的面积为. 14. 定义区间 (c, d ], [c, d ), (c, d ), [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c .则满足不等式

1 1 ? ? 1, (a1 ? 0, a2 ? 0) 的 x 构成的区间长度之和为. a1 x ? 1 a2 x ? 1

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)如图,四边形 ABCD 为正方形,平面 ABCD ? 平面 ABE , BE ? BC , F 为 CE 的 中点,且 AE ? BE . (1)求证: AE // 平面 BFD ; (2)求证: BF ? AC .
D C

F A B

E

16.(本小题满分 14 分)已知锐角 ?ABC 中的三个内角分别为 A、 B、 C . ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 5? (1)设 BC ? CA ? CA ? AB , ?A = ,求 ?ABC 中 ?B 的大小; 12 ? ? ? ? C 2 ? (2)设向量 s ? 2sin C, ? 3 , t ? (cos 2C, 2cos2 ? 1) ,且 s ∥ t ,若 sin A ? ,求 sin( ? B) 的值. 2 3 3

?

?

17.(本小题满分 14 分)如图,现有一个以 ?AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB .现欲 在弧 AB 上取不同于 A、 B 的点 C ,用渔网沿着弧 AC (弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上)、半径 OC 和线段
CD (其

中 CD // OA ),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若 OA ? 1 km, ?AOB ?

?
3

, ?AOC ? ? .

(1) 用 ? 表示 CD 的长度; (2) 求所需渔网长度(即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和)的取值范围.

18. (本小题满分 16 分)已知 a , b 为实数, a ? 2 ,函数 f ( x) ?| ln x ?

a e | ?b ,若 f (1) ? e ? 1, f (2) ? ? ln 2 ? 1 . x 2

(1)求实数 a , b ; (2)求函数 f ( x) 在 [1, e2 ] 上的取值范围; (3)若实数 c、d 满足 c ? d , cd ? 1 ,求 f (c) ? f (d ) 的最小值.

19.(本小题满分 16 分)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 : 形. (1) 若点 P ( ?

x2 2 y 2 ? ? 1 ,四边形 PQRS 为椭圆 C2 的内接菱 3 3

6 3 , ) ,试探求点 S (在第一象限的内)的坐标; 2 2

(2) 若点 P 为椭圆上任意一点,试探讨菱形 PQRS 与 圆 C1 的位置关系.

P

y

S
O x

Q

R

20.(本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 恒为正值,其中 a1 ? 1, a2 ? a ? 1(a ? 1) ,且
(an?1 ? an )Sn ? an?1an .

(1)求证:数列 {Sn } 是等比数列; (2)若 a n 与 an ? 2 的等差中项为 A ,试比较 A 与 an ?1 的大小; (3)若 a ? 2 , m 是给定的正整数.先按如下方法构造项数为 2m 的数列 {bn } :当 n ? 1, 2,? ,m 时,
bn ? b2m? n?1 ;当 n ? m ? 1, m ? 2,?, 2m 时, bn ? an an?1 ,求数列的前 n 项的和 Tn .

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1:几何证明选讲)从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD .从点 A 作弦 AE 平 行于 CD ,连结 BE 交 CD 于 F .求证: BE 平分 CD .

B. (选修4-2:矩阵与变换)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压 变换. 求逆矩阵 M ?1 以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos(? ? ) .以极点为平面直角坐 3 标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ?
? 2 t ? 3, , 2 (t 为参数) ? ? y ? 2 t ? 3, ? ? 2 x?

?

求直线 l 与曲线 C 相交弦的弦长.

D. (选修4-5:不等式选讲)设 x、y 均为正实数,且

1 1 1 ? ? ,求 xy 的最小值. 2? x 2? y 3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.

22.如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的 可能性是相等的. 某商家按上述投球方式进行促销活动, 若投入的小球落到 A、 B、 C , 则分别设为1、2、3 等奖. (1)已知获得 1, 2, 3 等奖的折扣率分别为 50%, 70%, 90% .记随机变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的折 扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E (? ) ; (2)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量 ? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求
P(? ? 2) .

23.已知集合 A ? {x | x2 ? a ?| a ? 1| x, a ? R} . (1)求 A ; (2)若以 a 为首项, a 为公比的等比数列前 n 项和记为 Sn ,对于任意的 n ? N? ,均有 Sn ? A ,求 a 的 取值范围.

2013 年江苏高考数学模拟试卷(八)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

3 5 7 3 7 1.已知集合 U ? ?1,,,? , A ? ?1,,7? , B ? ?1, ? ,则 CU ( A ? B) =.
2.分组统计一本小说中 100 个句子中的字数,得出下列结果:字数 1~5 个的 8 句,字数 6~10 个的 24 句, 字数 11~15 个的 34 句,字数 16~20 个的 20 句,字数 21~25 个的 8 句,字数 26~30 个的 6 句.估计该小 说中平均每个句子所包含的字数为. 3.已知复数 z ? 1 ? i (i 是虚数单位) ,若 a ?R 使得
开始

a ? 2 z ? R,则 z

输入m,n(m>n)

a ?.
d=m-n

n=d

4.执行右图中的算法,若输入 m=583,n=212,则输出 d=. 5.若 f ( x) ?
1 log a (2 x ? 1)


m=n 否 是 d>n d=n 是 输出d

m=d

,且 0 ? a ? 1, 则 f ( x) 的定义域为.

6. A ? {1, 2,3} , B ? {x ? R | x2 ? ax ? b ? 0, a ? A, b ? A} ,则 A ? B ? B 的概率 .

结束

7.在四面体 ABCD 中, AB ? 平面 BCD , CD ? 平面 ABC ,且 AB ? 2cm,BC ? CD ? 1cm ,则四面体 ABCD 的外 接球的体积为 cm 3 .
2 y2 8. 已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点为 F1 、 F2 ,且 F1F2 ? 3 ,点 P 在双曲线第一象限的 a b

图象上,且 Sin?PF1 F2 ? 5 , cos ?PF2 F1 ? ? 5 ,则双曲线的离心率为. 5 5 9.如图,△ABC 中, AC ? 3 , BC ? 4 , ?C ? 90? ,D 是 BC 的

B

??? ???? ? 中点,则 BA ? AD 的值为.
10.已知 cos(? ?

D
C

?
4

)?

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? . 10 2 3

(第 9 题图)

A

11.已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象如右图,若 f ( x) 的极大值与极小值之 和为
2 ,则 f (0) 的值为. 3

y
y ? f ?( x)

12.已知 C1 : x2 ? 8x ? y 2 ? 15 ? 0 , C2 : ( x ? t )2 ? ( y ? kt ? 2)2 ? 1 ,若 ?t ? R , 使得 C1 与 C2 至少有一个公共点,则 K 的取值范围. 13.奇函数 f ( x) 在 {x x ? 0} 上有定义,且在区间 (0, ??) 上是增函数, f (2) ? 0 ,

-2

O

2

x

(第 11 题图)

又函数 g (t ) ? ?t 2 ? mt ? 3 ? 2m, t ?[0,1] ,则使函数 g (t ), f ( g (t )) 同取正值的 m 的范围_.

14 . 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D , 若 存 在 非 零 实 数 m 满 足 ?x ? M (M ? D) , 均 有 x ? m ? D , 且 则称 f ( x) 为 M 上的 m 高调函数. 如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数, x≥0 时, 当 f ( x ? m) f ( x), ≥

f ( x) ?| x ? a2 | ?a2 ,且 f ( x) 为 R 上的 8 高调函数,那么实数 a 的取值范围是.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知△ABC 中, 3 tan A ? tan B ? (tan A ? tan B) ? 3 ,且外接圆半径 R ? 1. (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 周长的取值范围.

16.(本小题满分 14 分)如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,AD⊥DC1. (1)求证:平面 ABC⊥平面 BCC1B1; (2)求证:A1B//平面 ADC1. A1 C1

B1

A B 17.(本小题满分 14 分)如图,BC 是东西方向长为 2km 的公路,现考虑

C D
(第 16 题)

在点 C 的正北方向的点 A 处建一仓库, AC ? x km, 设 并在 AB 上选择一点 F, 在△ABC 内建造边长为 y km 的正方形中转站 EFGH,其中边 HG 在公路 BC 上,且 AE ? AC . (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)求正方形中转站 EFGH 面积的最大值及此时 x 的值.

A

x E C H G F

B

(第 17 题)

18. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 是二次函数, x ? ?1 时, f ( x) 有极值, 当 且极大值为 2,
f (2) ? ?2 .

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 y ?| f ( x) ? k | ?1 有两个零点,求实数 k 的取值范围.
? f ( x) ? 2 x ? ? h( x) ? e ? x ,若存在实数 a, b, c ? [0,1] ,使得 (3)设函数 h( x) ? 2 x2 ? (1 ? t ) x , g ( x) ? ? x ? ?

g (a) ? g (b) ? g (c) ,求 t 的取值范围.

19.(本小题满分16分)如图,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为

3 , 上顶点 A(0,1) ,下顶点为B,已知定直线 2

l: y ? 2 ,若点P是椭圆上异于点A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点 M ,连接PB并延长交直 线l于点M, (1)求MN的最小值; (2)证明以MN为直径的圆恒过定点,并求出定点坐标.
N y M l A P

F1

O

F2

x

B

20.(本小题满分 16 分)若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足等式 an ? 2Sn ? 3 . (1)能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项,说明理由; (2)能否从数列中依次抽取一个无限多项的等比数列,且使它的所有项和 S 满足 样的数列存在,这样的等比数列有多少个?
9 1 ? S ? ,如果这 160 13

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. 选修4-1: ( 几何证明选讲) 如图, 四边形 ABCD 内接于圆 O, 延长 BD 至点 E, 的延长线平分 ? CDE . AD 求证: AB ? AC .
A E D O

B

C
(第 21 题 A)

?2? ?1 2? 2 B. (选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵 A ? ? ? ,向量 ? ? ?1 ? ,求向量 ? ,使得 A ? ? ? . 1 1? ? ? ?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴

?x ? t ? 的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的 ? y ? 3t ? 1 ?
线段长.

D. (选修4-5:不等式选讲)已知函数 f ( x) ? m ? x ? 2 , m ? R, ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 (1)求 的值;
1 1 1 ? ? ? m ,求证: 2a ? b ? 3c ? 9 . 2a b 3c

.

(2)若 a, b, c ? R? ,且

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.一个盒子中有标号分别是 1、2、3、4、5 的五个大小形状完全相同的小球,现从盒子中随机摸球. (1)从盒中依次摸两次球,每次摸 1 个,摸出的球不放回,若两次摸出球上的数字全是奇数或全是偶 数为胜,则某人摸球两次取胜的概率是多大? (2)从盒子中依次摸球,每次摸球 1 个,摸出的球不放回,当摸出记有奇数的球即停止摸球,否则继 续摸球,求摸球次数 X 的分布列和期望.

23.设抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,M 为直线 l : y ? ?m(m ? 0) 上任意一点,过点 M 作抛物线 C 的两条切线
MA, MB ,切点分别为 A, B .

(1)当 m ? 3 时,求证:直线 AB 恒过定点; (2)当 m 变化时,试探究直线 l 上是否存在点 M,使 ?M B 为直角三角形.若存在,有几个这样的点; A 若不存在,说明理由.

2013 年江苏高考数学模拟试卷(九)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.在复平面内,复数

2i ( i 是虚数单位)对应的点的坐标为. 1? i

2.设集合 A ? {( x, y) | 2 x ? y ? 1, x, y ? R} , B ? {( x, y) | a 2 x ? 2 y ? a, x, y ? R} ,若 A ? B ? ? ,则 a =. 3.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直 线,则所得的两条直线相互垂直的概率是. 4.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所示,则时速超过 70km/h 的汽车数量为 ___________ 辆.

5.某程序框图如右上图所示,该程序运行后输出的 k 的值是. 6. 如图, 斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均等于 1, ?A1 AB ? ?A1 AC ? 60? , 且 则该斜三棱柱的全面积是. 7.双曲线 x 2 ? 为. 8.已知函数 f ( x) ? ? 是. 9.在面积为 2 的 ?ABC 中,E,F 分别是 AB,AC 的中点,点 P 在直线 EF 上,则 PC ? PB ? BC 的最小值 是. 10. 已知△ABC 中, A, C 的对边分别为 a, c,tan A : tan B : tan C ? 1: 2 : 3 , 角 B, b, 1 2 4 8 16 32 ?? (第 11 题)
2

A1 B1 C B (第 6 题)

C1

y2 ? 1 的渐近线被圆 x2 ? y2 ? 6x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长 4

A

?log 2 x, x ? 0
x ?2 ,

x?0

,则满足不等式 f ( f ( x)) ? 1 的 x 的取值范围

b 则 ?. c
11.将首项为 1,公比为 2 的等比数列的各项排列如右表,其中第 i 行第 j 个数 表示为 aij (i, j ? N ) ,例如 a32 ? 16 .若 aij ? 2
* 2011

,则 i ? j ? .

12.已知 A, B 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的公共顶点。 P 是双曲线上的动 a2 b a b ??? ??? ? ? ???? ???? ? ? 点, M 是椭圆上的动点( P 、 M 都异于 A 、 B ) ,且满足 AP ? BP ? ? ( AM ? BM ) ,其中 ? ? R ,设直
线 AP 、 BP 、 AM 、 BM 的斜率分别记为 k1 , k2 , k3 , k4 , k1 ? k2 ? 5 ,则 k3 ? k4 ? .

13.已知 a ? (1,0), b ? ( ?

?

?

? ? ? 3 1 ? 3 1 , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) ,则 x2 ? y 2 ? z 2 最小值为. 2 2 2 2
2 ( x ? 0) 和 图象 交于点 Q,若点 P,M 分别 是直线 y ? x 与 函数 x

( 14. 已知直 线 y ? x 与 函数 g x ) ?

( g x) ?
围是.

2 ( x ? 0) 的图象上异于点 Q 的两点,且对于任意点 M,PM≥PQ 恒成立,则点 P 横坐标的取值范 x

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x, 最大值为 6.(1)求角 A ; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移

??

?

?? ? A cos 2 x) ( A ? 0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的 2

? 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标 2 12 5? ] 上的值域. 24

不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象.求 g ( x) 在 [0,

16.(本小题满分 14 分)如图,已知四面体 ABCD 的四个面均为锐角三角形,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、 CD、DA 上的点,BD∥平面 EFGH,且 EH=FG. (1) 求证:HG∥平面 ABC; (2) 请在面 ABD 内过点 E 作一条线段垂直于 AC,并给出证明.

17.(本小题满分 14 分)某个公园有个池塘,其形状为直角△ABC, ?C ? 90? ,AB=2 百米,BC=1 百米. (1)现在准备养一批供游客观赏的鱼,分别在 AB、BC、CA 上取点 D,E,F,如图(1),使得 EF‖AB,

EF ? ED , 在△DEF 喂食,求△DEF 面积 S△DEF 的最大值;
(2)现在准备新建造一个荷塘,分别在 AB,BC,CA 上取点 D,E,F,如图(2) ,建造△DEF 连廊(不 考虑宽度)供游客休憩,且使△DEF 为正三角形,设求△DEF 边长的最小值.

A

A

F D C B

F

D

E 图(1)

C

E 图(2)

B

18. (本小题满分 16 分)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 (0,1) ,且离心率为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知过点 (? , 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点. ①若直线 l 垂直于 x 轴,求 ?AQB 的大小;

3 , Q 为椭圆 C 的左顶点. 2

6 5

②若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得 ?QAB 为等腰三角形?如果存在,求出直线 l 的方 程;如果不存在,请说明理由.
y A

Q B

N

O

x

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1(a ? R), f ( x)是f ( x) 的导函数。
2 '

(1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围;
'

(2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ' ( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ?

? f ' ( x), f ( x) ? f ' ( x) ? ,求 g ( x)在x ?[2, 4] 时的最小值; ' ? f ( x), f ( x) ? f ( x) ?

20.(本小题满分 16 分)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,存在常数 A,B,C,使得

an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 对任意正整数 n 都成立.
(1)求证:数列 {an } 为等差数列的充要条件是 3A-B+C=0; (2)若 C=0, {an } 是首项为 1 的等差数列,设 P ?
2012

?
i ?1

1?

1 1 ? 2 ,求不超过 P 的最大整数的值. 2 ai ai ?1

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. ....................

A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙O 上 一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC. E A · O C
(第 21-A 题)

B D

P

?a 0? B. (选修4-2:矩阵与变换)已知圆 C: x2 ? y 2 ? 1 在矩阵 A = ? ? (a ? 0, b ? 0) 对应的变换作用下变为 ?0 b? x2 y 2 椭圆 ? ? 1 ,求 a,b 的值. 9 4

2 ? ?x ? t 2 ?1 ? C. 选修4-4: ( 坐标系与参数方程) 将曲线 C1: ,化为普通方程, 并求 C1 被直线 l : ? cos(? ? ) ? 1 ? 2t 3 ?y ? 2 t ?1 ?
所截得的线段长.

D.已知 ad1 ? bd 2 ? cd 3 ? 2 ,且 a, b, c, d1 , d2 , d3 均大于零,求证:

2a 2b 2c ? ? ? (a ? b ? c) 2 . d1 d 2 d3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.过抛物线 y2=4x 上一点 A(1,2)作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 D,点 C(异于点 A)在 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 AE =λ1 EC ;点 F 在线段 BC 上,满足 BF =λ2 FC ,且 λ1+λ2=1,线段

CD 与 EF 交于点 P. ??? ? ??? ? (1)设 DP ? ? PC ,求 ? ; (2)当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. y A B D
O P

E x

F C
(第 22 题图)

23.六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 (1)共有多少种不同的骰子; (2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V。在所有 的骰子中,求 V 的最大值和最小值。

2013 年江苏高考数学模拟试卷(十)
第 1 卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 已知 U ? R, A ? {x | ?1 ? x ? 0} ,则 CU A ? . 2. “ x ? x ? 2 ”是“ | x |?
2

( “充要”, “既不充分也不必要”. ) x ? 2 ”的条件. 填“充分不必要”, “必要不充分”,

3. 若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a ? . z2

4.如右图,给出一个算法的伪代码,则 f (?3) ? f (2) ? .

Read If x? 0 f?? 4 x? x

Then

Else
5. 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0 ,且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则 .

x f?? 2 x?

a1 ? d

? Pr fx int ?

End

If

6. 等腰 Rt ? ABC 中,斜边 BC ? 4 2 ,一个椭圆以 C 为其中一个焦点,另一个焦点在线段 AB 上,且椭圆 经过 A,B 两点,则该椭圆的离心率为. 7. 高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,┅,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的样本, 已知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为. 8. 设 P, A, B, C 是球 O 表面上的四个点, PA, PB, PC 两两垂直, PA ? 1, PB ? 6, PC ? 3 ,则球 O 的体 积为. 9. 已知函数 f ( x) ? 10.知 sin( x ?

2x ? m ? 1 2 是奇函数且 f (a ? 2a) ? f (3) ,则 a 的取值范围是. x 2 ?1
1 5? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? . ,则 sin( 4 6 3
p 的值为. q

?
6

)?

? 11.△ ABC 中, AB ? 2,BC ? 4,?B ? 60 .设 O 是△ ABC的内心,若 AO ? p AB ? q AC ,则

2 12 . f ( x) ? x ? 2mx ? m, g ( x) ? ? (2 x ? ) . 若 对 任 意 x1 ? [ , 2] , 总 存 在 x2 ? [

1 3

1 x

1 2

1 , 2] 使得 , 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ),
则 m 的取值范围是. 13. x, y 是两个不相等的正数,且满足 x ? y ? x ? y ,则 [9 xy ] 的最大值为.(其中 [ x ] 表示不超过 x 的
3 3 2 2

最大整数) . 14.已知各项均为正数的两个数列由表下给出: 定义数列 {cn } : c1

?0,

n

1

2

3

4

5

, c n ?1 ? a n ?b n (n ? 2,3,...,5) ,并规定数列 cn ? ? c n?1 ? a n ? b n , c n?1 ? a n ?
{a n},{b n} 的“并和”为 S ab ? a1 ? a 2 ? ??? ? a 5 ? c 5 .若 S ab ? 15 ,
则 y 的最小值为. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)在锐角三角形 ABC 中, sin A ? (1)求 tan B 的值; (2)若 CA ? CB ? mBA ? BC , 求 m 的值.

an bn

1 1

5 6

3 2

1

2

x

y

3 1 , tan( A ? B) ? ? . 5 3

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

16.(本小题满分 14 分)如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 D 在棱 BC 上, AD ? C1 D . a) b) c) 求证: AD ? 平面 BCC1 B1 ; 设点 E 是 B1C1 的中点,求证: A1 E / / 平面 ADC1 . 设点 M 在棱 BB1 上,试确定点 M 的位置,使得平面 AMC1 ? 平面 AAC1C . 1 A C D B M B1 E A1

C1

17. (本小题满分 14 分) 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在英国伦敦召开, 第 某百货公司预计从 2012 年 1 月起前 x 个月市场对某种奥运商品的需求总量 p ( x) ?

1 x( x ? 1)(39 ? 2 x), ( x ? N * , 且 x ? 12) . 该 2

商品的进价 q( x) 与月份 x 的近似关系为 q( x) ? 150 ? 2 x( x ? N * , x ? 12) . (1)求 2012 年第 x 个月的需求量 f ( x ) ; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则该百货公司 2012 年仅 销售该商品可获月利润预计最大是多少?

18. (本小题满分16分)已知数列 ?an ? 满足 (1)设 bn ?

an ?1 ? an ? 1 ? n ? n ? N * ? ,且 a2 ? 6 . an ?1 ? an ? 1

an (n ? 2), b1 ? 3 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n(n ? 1) a u n N * c, 为非零常数, (2) un ? n ? ? 设 若数列 ?un ? 是等差数列, cn ? n , S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 记 ? n?c 2n 求 S n. .

19.(本小题满分 16 分)已知圆 C : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? m ,点 A(4, 6), B( s, t ) .
2 2

(1)若 3s ? 4t ? ?12 ,且直线 AB 被圆 C 截得的弦长为 4,求 m 的值; (2)若 s , t 为正整数,且圆 C 上任意一点到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为定值 ? (? ? 1) ,求 m 的

值.

20.(本小题满分 16 分)设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(1) 若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值. (2) 设 g ( x) ? f ( x) ?

a ? 0 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围; e (3) 是否存在正整数 a , 使得 1n ? 3n ? ??? ? (2n ? 1) n ? 求 (an) n 对一切正整数 n 均成立?若存在, a 的 e ?1
最小值;若不存在,请说明理由.

a , 且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点. 若对任意 的 ex

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... A. (选修4-1: 几何证明选讲) 如图所示, 已知 PA 与⊙ O 相切,A 为切点,PBC 为割线, CD // AP , 弦

AD 、 BC 相交于 E 点, F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC
O C F

A

P E D B

(1)求证: ?P ? ?EDF ; (2)求证: CE · EB = EF · EP .

?1 ?1 0 ? ? B. (选修4-2:矩阵与变换)设 M = ? ? ,N = ? 2 ?0 2? ?0 方程.

? 0? , 试求曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线 ? 1?

?? ? C. (选修4-4:坐标系与参数方程)已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ? ⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

D. (选修4-5:不等式选讲)已知关于 x 的不等式: 2x ? m ? 1 的整数解有且仅有一个值为 2. (1)求整数 m 的值; (2)在(1)的条件下,解不等式: x ? 1 ? x ? 3 ? m .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.如图所示,已知 ABCD 是正方形,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=2. (1)求异面直线 PC 与 BD 所成的角; (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 PC⊥平面 ADE?若存在,确定 E 点的位置;若不存在,说明理由.

23.甲、乙两人玩一种游戏:甲从放有 x 个红球、 y 个白球、 z 个( x, y, z ≥1, x ? y ? z ? 10 )黄球的箱子中任 取一球,乙从放有 5 个红球、3 个白球、2 个黄球的箱子中任取一球.规定:当两球同色时为甲胜,当两 球异色时为乙胜. (1)用 x, y, z 表示甲胜的概率; (2)假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为 1 分、2 分、3 分,甲负时得 0 分,求甲得分数 ? 的 概率分布,并求 E ?? ? 最小时的 x, y, z 的值.


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