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江苏省东海高级中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学文试题 Word版含答案


江苏省东海高级中学 2014—2015 学年度第一学期期中考试

高二数学试卷(文)
满分:160 分 时间:120 分钟 命题人:周希银 审核人:王广伟 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.不等式 x(1-x)≥0 的解集为 . .
2 2

2.设数列{an}满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5=
2

3.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a ? b ? bc ? c ,则∠A=_________ 4.{an}是等差数列,且 a1+a7=30,a2+a8=26,则 a3+a9= x+3 5. 不等式 ≥-1的解集为 x-1 . .

?x ? 1 ? 6.已知变量 x 、 y 满足条件 ? x ? y ? 0 则 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 2 y ? 9 ? 0 ?
7.在△ABC 中,



a b c ? ? ,则△ABC 是 cos A cos B sin C


三角形.

x2 8. 已知 x>1,函数 y ? 的最小值为 x ?1

2 9. Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,若 Sn ? 3n ? 1,则 a12 ? a22 ? a32 ?? ? a n ?



10.

在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sinB= 3sinC,A=30°, . . .

a=2,则△ABC 的面积等于

11. 已知 x>1,y>1,且 lgxlgy=1,则 xy 的最小值为 12. 已知 x>0,y>0,且 xy=2x+y+2,则 x+y-3 的最小值为 (填写所有错误命题的序号)

13. 下列命题中错误的有

①在△ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B; ②若实数 a,b 满足 a+2b=2, 2 ? 4 有最大值4;
a b

③若{ an }是等差数列,则{ an ? an?1 }仍为等差数列; ④若{ an }是等比数列,则{ an ? an?1 }仍为等比数列; 1 ⑤当 x 是三角形内角时,y=2sinx+sinx的最小值是 2 2. 14. 数 列

?an ?

满 足 : a1 ? 2 , an ? 1 ?

1 an ?1
-1-

? n ? 2,3,4,??

, 若 数 列

?an ?

有 一 个 形 如

1 ? ? 均为实数, 其中 ? 、 且 ? ? 0 ,? ? , 则 ω+φ= an ? 3 sin ??n ? ? ? ? 的通项公式, 2 2
二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 asinB= 3bcosA. ⑴求 A 的大小; ⑵若 a=3,sinC=2sinB,求 b,c 的值.



16. (本小题满分 14 分) 已知 x>0,y>0,且 2x,ab,5y 成等差数列,2,a,b,5 成等比数列. ⑴求 lgx+lgy 的最大值; 2 5 ⑵求x +y 的最小值.

-2-

17. (本小题满分 14 分) 已知 f(x)= x ? ax ? b ,f(x)>0 的解集为{x∈R|x≠1} .
2

⑴求 a、b 的值; ⑵.若不等式 mx2 ? (m ? 3) x ? 1 ? f ( x) 的解集为 R,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分) 运货卡车计划从 A 地运输货物到距 A 地 1300 千米外的 B 地,卡车的速度为 x 千米 / 小时

(50 ? x ? 100) .假设柴油的价格是每升 6 元,而汽车每小时耗油 (6 ?

x2 ) 升,司机的工资是每小时 24 360

元,不考虑卡车保养等其它费用. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (行车总费用=油费+司机工资) (2)当 x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.

-3-

19. (本小题满分 16 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 6 , S10 ? 110 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ? (
2 an ) ,令 cn ? an bn (n ? N? ) .求数列 {cn } 的前 n 项和 Rn . 2

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 2S n ? 3an ? 4n ? 3 ⑴用 an 表示 a n ?1 ; ⑵设 bn ? an ? 2 ,证明 ?bn ?成等比数列;
b ⑶设 cn ? log32 n ?1 ,对任意给定的 k ? N* ,是否存在 p,r ? N* ( k ? p ? r )使

1 1 1 , , 成等差数列?若 ck c p cr

存在,用 k 分别表示 p 和 r (只需要求出一组即可) ;若不存在,请说明理由

-4-

期中考试高二数学试卷(文)答案
一、填空题: 2π 1.[0,1];2.16;3. 3 ;4.22;5.(-∞,-1]∪(1,+∞) ;6.6;7.等腰直角;8.4; 1 π 9.2(9n-1);10. 3;11.100;12.4;13.②④;14.3. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分) 解:⑴由正弦定理得 sinAsinB= 3sinBcosA ∵B∈(0,π) ,∴sinB≠0 ∴sinA= 3cosA,∴tanA= 3 π 又∵A∈(0,π) ,∴A=3?????????????7 分 ⑵∵sinC=2sinB,由正弦定理,得 c=2b 由余弦定理,得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

π 1 b2 ? 4b2 ? 9 将 A=3,a=3,c=2b 代入,得 ? ,

2

2b?2b

∴b= 3,c=2 3.??????????????????14 分 16.(本小题满分 14 分) 解:⑴由题意知 2x+5y=2ab,ab=2×5=10 ∴2x+5y=20?????????????1 分 ∵x>0,y>0,∴2x+5y≥2 10xy 即 20≥2 10xy,∴0<xy≤10?????3 分 ∵函数 y=lgx 在(0,+∞)上是单调递增函数, ∴lg(xy)≤1,即 lgx+lgy≤1??????????5 分 当且仅当 2x=5y 且 2x+5y=20 即 x=5,y=2 时,取“=” , ∴当 x=5,y=2 时,lgx+lgy 取得最大值为 1.????7 分 ⑵∵x>0,y>0 2 5 x y ∴(x +y )(2x+5y)=29+10(y+x)≥29+10×2=49???10 分 2 5 即 20(x +y )≥49 2 5 49 ∴ x +y ≥20?????12 分 x y 20 当且仅当y=x且 2x+5y=20 即 x=y= 7 时,取“=” , 20 2 5 49 ∴当 x=y= 7 时,x +y 的最小值为20.????14 分 17.(本小题满分 14 分) 解:⑴由题意知,方程 x ? ax ? b =0 的两个解为 x1=x2=1????2 分
2

∴1-a+b=0 且△=a2-4b=0?????????4
-5-

解得 a=2,b=1.???????6 分 ⑵不等式 mx2 ? (m ? 3) x ? 1 ? f ( x) 的解集为 R. 即(m-1)x2+(m-1)x-2<0 的解集为 R, ∴①m=1 满足????????????????8 分 ②?

?m ? 1 ? 0,
2 ?(m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0,

?????????10 分

?-7<m<1????????????????12 分 ∴-7<m≤1????????????????14 分 18.(本小题满分 16 分) 1300 解: (1)行车所用时间为 t= x (小时),所以

y?

1300 x2 1300 ? (6 ? )?6 ? ? 24 , x ? [50,100] ?????6 分 x 360 x

1300 ? 60 1300 x ? , x ? [50,100] x 60 78000 65 ? x , x ? [50,100] ????????8 分 或写成 y ? x 3
∴y? (2) y ?

1300 ? 60 1300 x ? ≥2 x 60

1300×60 1300x × 60 =2600????12 分 x

1300×60 1300x 当且仅当 = 60 即 x=60 时,取“=”??????14 分 x 答:当 x=60 千米/小时时,这次行车的总费用最低,最低费用为 2600 元.??16 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d,由题意得

a1 ? 2d ? 6,10a1 ? 45d ? 110 ,????????2 分
解得 a1 ? 2, d ? 2 ??????????4 分

an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ?????????????????????5 分
(2)∵ Tn ? 1 ? (
2 an 1 ) ? 1 ? ( )n ??????????????6 分 2 2

当 n=1 时, b1 ? T1 ?

1 2 1 2
n

当 n≥2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( )

1 2

n ?1

1 ? ( )n 2

且 n=1 时也满足上式????????????????????9 分 所以 bn ? ( ) ??????????????????????10 分
n

1 2

∴ cn ?

2n n ? n?1 ????????????????????11 分 n 2 2

-6-

1 2 3 n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 0 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n ? 2 ? ? ? n?1 ? n ∴ Rn ? 2 2 2 2 2
∴ Rn ?

1 1 1 1 1 n Rn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n = 两式相减得 2 2 2 2 2 2
=2 ? ∴ Rn ? 4 ?

1?

1 2n ? n 1 2n 1? 2

n?2 2n

n?2 ?????????16 分 2 n?1


20.(本小题满分 16 分) 解: (1) 2S n ? 3an ? 4n ? 3

? 2S n?1 ? 3an?1 ? 4?n ? 1? ? 3 ②
②-①,得

2an?1 ? 3an?1 ? 3an ? 4 ? an?1 ? 3an ? 4
(2)

??????5 分

an?1 ? 2 ? 3?an ? 2? ?bn?1 ? 3bn

①中令 n ? 1 求出 a1 ? 1 ,

?b1 ? a1 ? 2 ? 3 ? 0, 进而推出 bn ? 0
? bn ?1 3,公比为 3 ? 3为常数 ,??bn ?成等比数列,首项为 bn
??????10 分 (3)由(2)知, bn ? 3 ,? cn ? log
n 32 n ?1 3

? 2n ? 1

当 k ? 1 时,若存在 p,r 使 因为 p≥2 ,所以 cr ? 0 所以,当 k ? 1 时不存在;

1 1 1 1 2 1 3? 2p , , , 成等差数列,则 ? ? ? ck c p cr cr c p ck 2 p ? 1
,与数列 ?cn ? 各项为正数矛盾,

当 k≥2 时,设 ck ? x, c p ? y, cr ? z ,则 所以 z ?
xy , 2x ? y

1 1 2 ? ? , x z y

令 y ? 2 x ? 1 ,得 z ? xy ? x(2 x ? 1) , 此时 ck ? x ? 2k ? 1 , c p ? y ? 2x ? 1 ? 2?2k ? 1? ? 1 , 所以 p ? 2k ? 1 , cr ? z ? ?2k ? 1??4k ? 3? ? 2 4k ? 5k ? 2 ? 1 ,
2

?

?

所以 r ? 4k 2 ? 5k ? 2 ;
-7-

综上所述,当 k ? 1 时,不存在 p,r;当 k≥2 时,存在 p ? 2k ? 1, r ? 4k 2 ? 5k ? 2 满足题设. ??????16 分

-8-


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