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郑州市2012年高三数学模拟试题3


高中数学综合测试题(一)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. ) 1.设 z1=1+i,z2=1-i(i 是虚数单位) ,则 A.-i B.i

z1 z + 2 = z2 z1
C.0 D.1

2.在等差数列 an 中,a2=4,a6=12,则数列{ an }的前 10 项的和为 A.100 B.110 C.120 D.130 3.1 名老师和 5 位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法共有 A.450 B.460 C.480 D.500 4.在等比数列 an 中,若 a4,a8 是方程 x2-4x+3=0 的两根,则 a6 的值是 A. 3 B.- 3 C.± 3 D.±3

5.某校航模小组在一个棱长为 6 米的正方体房间试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模 型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于 1 米,则模型飞机“安 全飞行”的概率为 A.

1 27

B.

1 16

C.

3 8

D.

8 27

6.已知函数 f(x)= ( ) - log3 x ,若 x0 是函数 y= f(x)的零点,且 0<x1<x0,则 f(x1)的值 A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0 7.一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正 (主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆, 俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是 (单位 cm3) A.

1 5

x

? 2

B.

? 3

C.

? 4
x y

D. ?

8.若向量 a=(x-1,2) ,b=(4,y)相互垂直,则 9 +3 的最小值为 A.12 B.2 3 C.3 2 D.6

9.设α 、β 、γ 是三个互不重合的平面,m、n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是 A.若α ⊥β ,β ⊥γ ,则α ⊥γ B.若α ∥β ,m ? β ,m∥α ,则 m∥β C.若α ⊥β ,m⊥α ,则 m∥β D.若 m∥α ,n∥β ,α ⊥β ,则 m⊥n
1

x 2 y2 1 10.若双曲线 2 - 2 = (a>0,b>0)的左、右焦点 a b
分别为 F1、F2,线段 F1F2 被抛物线 y =2bx 的焦点 分成 7︰3 的两段,则此双曲线的离心率为 A.
2

9 8

B.

5 3 5 4 1 所围成的图形(阴影部分)的面积为 4 1 1 C. D. 2 4

C.

3 2 4
2

D.

11.如图曲线 y= x 和直线 x=0,x=1,y= A.

2 3

B.

1 3

12.已知集合 M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数 f:M→N.若点 A(1,f(1),B(2, ) f(2),C(3,f(3),△ABC 的外接圆圆心为 D,且 DA + DC = ? DB ( ? ∈R) ) ) ,则满足 条件的函数 f(x)有 A.6 个 B.10 个 C.12 个 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.已知α ∈(-

??? ?

????

??? ?

D.16 个

14.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2π r,二维测度(面积)S=π r2,观察发现 S ? =l;三维空 间中球的二维测度(表面积)S=4π r2,三维测度(体积)V=

? 3 ,0) ,sinα =- ,则 tan(π -α )=__________. 5 2

4 π r3,观察发现 V ? =S.则由四 3

维空间中“超球”的三维测度 V=8π r3,猜想其四维测度 W=__________. 15.已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F,且与 y 轴相交于点 A,若 △OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为_____________. 16.下列说法: ①“ ? x∈R, 2 >3”的否定是“ ? x∈R, 2 ≤3” ;
x x

②函数 y=sin(2x+

? ? )sin( -2x)的最小正周期是π ; 3 6

③命题“函数 f(x)在 x=x0 处有极值,则 f ? (x0)=0”的否命题是真命题; ④f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,x>0 时的解析式是 f(x)= 2 ,则 x<0 时 的解析式为 f(x)=- 2
-x x

.其中正确的说法是________________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤)
2

17. (本小题满分 12 分) 邯郸市某广场有一块不规则的绿地如图所 示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的 环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为 △ABC、△ABD,经测量 AD=BD=7 米,BC= 5 米,AC=8 米,∠C=∠D. (Ⅰ)求 AB 的长度; (Ⅱ)若环境标志的底座每平方米造价为 5000 元, 不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建 造费用最低(请说明理由) ,最低造价为多少?( 2 =1.414, 3 =1.732) 18. (本小题满分 12 分) 为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,邯郸市教育局举办了 全市中学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛,共有 200 名学生参加,为了解成绩情况,从中抽取 50 名学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表, 解答下列问题:

(Ⅰ)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,现将所有学生随机地编号为 000,001,002,?,199, 试写出第二组第一位学生的编号; (Ⅱ)求出 a,b,c,d,e 的值(直接写出结果) ,并作出频率分布直方图; (Ⅲ)若成绩在 95.5 分以上的学生为一等奖,现在,从所有一等奖同学中随机抽取 5 名同学代 表学校参加决赛,某班共有 3 名同学荣获一等奖,若该班同学参加决赛人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABC—A1B1C1 中,四边形 A1ABB1 是 正方形,AB=AC,BC= 2 AB,B1C1

1 BC,二面角 2

A1-AB-C 是直二面角. (Ⅰ)求证:A1B1⊥平面 AA1C; (Ⅱ)求证:AB1∥平面 A1C1C; (Ⅲ)求 BC 与平面 A1C1C 所成角的正弦值.
3

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心为 C (m, , 0) m<3, 半径为 5 , C 与离心率 e> 圆

1 x 2 y2 1 的椭圆 E: 2 + 2 = 2 a b

(a>b>0)的其中一个公共点为 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. ,F (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(4,4) ,试探究直线 PF1 与圆 C 能否相切?若能,设直线 PF1 与椭圆 E 相 交于 A,B 两点,求△ABF2 的面积;若不能,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ax+xlnx,且图像在点( 底数) . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g(x)=

1 1 ,f( ) )处的切线斜率为 1(e 为自然对数的 e e

f ( x )-x ,求 g(x)的单调区间; x-1
m n

(Ⅲ)当 m>n>1(m,n∈Z)时,证明:

n n > . m m

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答。并将答题卡相应方格涂黑。如果多做,则按所做的 第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何 如图 AB 是⊙O 的直径,弦 BD,CA 的延长线相交于 点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. (Ⅰ)求证:∠DEA=∠DFA; (Ⅱ)若∠EBA=30°,EF= 3 ,EA=2AC,求 AF 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C: ?

? x=3 3 cos ? , ? ?y= 3 sin ? , ?

直线 l:ρ (cosθ - 3 sinθ )=12.

(Ⅰ)将直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的参数方程都化为直角坐标方程; (Ⅱ)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x-a|+5x,其中 a>0. (Ⅰ)当 a=3 时,求不等式 f(x)≥5x+1 的解集; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.
4

2012 年高中毕业年级第二次质量预测 数学(理科) 参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) CBCAD AADBB DC 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.

3 4

14. 2? r 4

15. y 2 ? 8 x

16. ① ④

三、解答题(本题 6 小题,共 70 分解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤) 17. 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中,由余弦定理得

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 82 ? 52 ? AB 2 cos C ? ? , 2 AC ? BC 2?8?5
在 ?ABD 中,由余弦定理得

①?????2 分

cos D ?

AD 2 ? BD 2 ? AB 2 72 ? 72 ? AB 2 ? , 2 AD ? BD 2? 7? 7

②?????4 分

由∠C=∠D 得: cos C ? cos D , 解得: AB ? 7 ,所以, AB 长度为 7 米. (Ⅱ)小李的设计符合要求. 理由如下:

?????6 分

S?ABD ?

1 AD ? BD sin D , 2

S?ABC ?

1 AC ? BC s i n , C 2

因为 AD ? BD ? AC ? BC ,

所以 S?ABD ? S?ABC . ????8 分

故选择 ?ABC 建造环境标志费用较低.

因为: AD ? BD = AB ? 7 ,所以 ?ABD 是等边三角形,∠D= 60? . 故, S ?ABC ?

1 AC ? BC sin C =10 3 , 2
????12 分

所以,总造价为: 5000 ?10 3=50000 3 元.

18.[解析] (Ⅰ)编号为 004. ????3 分 (Ⅱ) a,b,c,d,e 的值分别为
5

13,

4,

0.30,

0.08, 1. ?????6 分

(Ⅲ) 在被抽到的学生中获一等奖的人数为 2(人),占样本的比例是

2 =0.04,即获一等奖的概率 50

为 4%,所以获一等奖的人数估计为 200×4%=8(人),随机变量 X 的可能取值为 0, 1, 2, 3 .

1 , 56 30 P ? X ? 2? ? , 56 P ? X ? 0? ?
X P

P ? X ? 1? ?

15 , 56 10 P ? X ? 3? ? . 56
0 1 56
1 15 56 2 15 28

随机变量 X 的分布列为:

3 5 28

????????????10 分

1 15 15 5 105 15 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? = , 56 56 28 28 56 8 15 所以 随机变量 X 的数学期望为 . ???????12 分 8
因为 EX ? 0 ? 19(Ⅰ)证明:因为, AB ? AC , BC ?
2 2 2

2 AB ,

所以, AB ? AC ? BC ? AB ? AC , 又因为, 四边形AA B1B是正方形 ,所以, AB ? AA , 1 1 又因为, AA1 ? AC ? A ,所以, AB ? 平面 AA1C; 又因为, 四边形AA B1B 是正方形 , 1 所以, A1B1 ? 平面 AA1C; ???????4 分

(Ⅱ)证明:取 BC 中点 D,连结 AD,B1D, C1D. 因为, B1C1

1 BC , 2

所以, B1C1DB是? , C1D 又AA 1

B1B C1D ,
6

B1B ,? A A 1

所以, A ADC1是平行四边形, 1 所以, A C1 // AD ,所以 AD //平面 A1C1C; 1 同理, B1D //平面 A1C1C; 又因为, B1D ? AD ? D ,所以,平面 ADB 1//平面 A1C1C; 所以,AB1//平面 A1C1C; ???????8 分

(Ⅲ)由(1) AB ? 平面 AA1C,又二面角 A ? AB ? C 是直二面角, 1 可知, AA , AC, AB两两互相垂直, 建立如图所示坐标系,设 AB =2, 1

( B(0,2,0),(0,0,2), C(2,0,0),(1,1,2), 则 A 0,0,0), A1 C1
所以, A C1 ? (1,1,0) , A C ? (2,0, ?2) . 1 1

?????

???? ?

????? ?? ?? ? A1C1 ? m ? 0, ? ? 设平面 A1C1C 的一个法向量为 m=(x,y,1), ? ???? ?? 由 ? A1C ? m ? 0. ? ??? ? ?? 得: m=(1,-1,1), CB ? (?2, 2,0) . 又
所以, cos? m, CB? =-

?? ??? ?

6 6 .????12 分 ,故 BC与平面A CC1 所成角的正弦值为 1 3 3

20. 解: (Ⅰ)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? y2 ? 5(m ? 3) , 将点 A 的坐标 代入圆 C 的方程,得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 , 即 (3 ? m)2 ? 4 ,解得 m ? 1,或m ? 5 . ∵ m ? 3, ∴ m ? 1.
2 2

∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 5 . (Ⅱ)直线 PF1 能与圆 C 相切,

?????????4 分

依题意设直线 PF1 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 , 若直线 PF1 与圆 C 相切,则

k ? 0 ? 4k ? 4 k ?1
2

? 5.
7

11 1 ,或 k ? . ????????7 分 2 2 36 11 当k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去. 11 2 1 当 k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 4 , 2
2 ∴ 4k ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ?

∴ c ? 4,F1 (?4,0),F2 (4,0) . ∴由椭圆的定义得:

2a ? AF1 ? AF2 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2 .
[

∴ a ? 3 2 ,即 a ? 18, ∴ e ?
2

4 3 2

?

2 2 1 ? , 3 2

故直线 PF1 能与圆 C 相切. 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为

????????10 分

x2 y2 ? ? 1. 18 2

把直线方程带入椭圆方程并化简得, 13 y2 ? 16 y ? 2 ? 0 . 故 S?ABF2 ? 4 y1 ? y2 ?
24 10 . 13

???12 分

21 解: (Ⅰ) f ( x) ? ax ? x ln x , f ?( x) ? a ? 1 ? ln x ,
1 依题意 f ?( ) ? a ? 1 ,所以 a ? 1 . e

??2 分

(Ⅱ)因为, g ( x) ?

f ( x) ? x x ln x x ? 1 ? ln x ? ,所以, g ?( x) ? . x ?1 x ?1 ( x ? 1)2

1 设 ? ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则 ? ?( x) ? 1 ? x .

??4 分

当 x ? 1 时, ? ?( x) ? 1 ?

1 ? 0, ? ( x) 是增函数. x

对 ?x ? 1 , ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,即当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , 故 g ( x) 在 (1 , ? ?) 上为增函数, 当 0 ? x ? 1 时, ? ?( x) ? 1 ?
1 ? 0, . ? ( x) 是减增函数. x

??6 分

对 ?x ? (0,1) , ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,即当 0 ? x ? 1 时, g / ( x) ? 0 ,
8

故 g ( x) 在 (0 , 1) 上为增函数, 所以, g ( x) 的单调增区间为 (0 , 1) , (1 , ? ?) . (Ⅲ)要证 即
mn nm

??8 分

?

n ln n ln m ? ? ln n ? ln m , ,即证 m m n

n ?1 m ?1 m ln m n ln n ln m ? ln n , ? . n m m ?1 n ?1
mn nm

??10 分,
n . m

因为 m ? n ? 1 ,由⑵知, g (m) ? g (n) ,所以

?

??12 分

22.(Ⅰ)证明:连结 AD, BC .因为 AB 是 ? o 的直径, 所以, ?ADB ? ?ACB ? ?EFA ? 90 ,
?

故,A, D, E, F 四点共圆, ?DEA ? ?DFA .??5 分

? (Ⅱ)在 直角? EFA和直角? BCA中, EAF ? ?CAB ,

EA AF = , 在 直角? EFA中,AF 2 ? EF 2 ? AE 2 , AB AC 1 2 设 AF ? a, 则AB ? 3 ? a.? a ? (3 ? a ) ? (3 ? a ) ,解得 a ? 1. 2
所以, ? EFA∽? BCA. 所以 AF的长为1 . 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程, (Ⅰ) x ? 3 y ? 12 ? 0 ,
x2 y 2 ? ? 1. 27 3

??10 分

??5 分

(Ⅱ)设 P (3 3 cos? , 3sin ? ) ,

?d ?

3 3 cos ? ? 3sin ? ? 12 2
?

6 cos(? ? ) ? 12 6 ? , 2
??10 分

?

∴ 当 cos(? ? ) ? 1 时, dmin ? 3 . 6

24: 解: (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x) ? 5x ? 1 可化为 2x ? 3 ? 1.--------------2 分 由此可得

x ? 2 或 x ? 1.

9

故不等式 f ( x) ? 5x ? 1 的解集为 x x ? 1或x ? 2 . --------------------5 分 (Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

?

?

| 2 x ? a | ?5 x ? 0 ,此不等式化为不等式组

a ? a ? ?x ? , ?x ? , 2 或? 2 ? ?2 x ? a ? 5 x ? 0 ?? ? 2 x ? a ? ? 5x ? 0, ? ?
? ?x ? ? 即? ?x ? ? ? a a ? , ?x ? 2 , ? 2 或 ? a ?x ? ? a , ? 7 3 ?

--------------------------7 分

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x x ? ? ? .

? ?

a? 3?

由题设可得 ?

a ? ?1 ,故 a ? 3 .----------------------------------------------------------10 分 3

10


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