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等差数列、等比数列的概念及求和高考真题汇编1


等差数列、等比数列的概念及求和高考真题汇编 1 一、选择题 1.(2009 年广东卷文)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公

比为正数,所以 q ?

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
,则 等

2.(2009 安徽卷文)已知 于 A. -1 B. 1

为等差数列,

C. 3

D.7

【解析】∵ a1 ? a3 ? a5 ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同理可得 a4 ? 33 ∴公差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴
a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。

【答案】B 3.(2009 江西卷文)公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中 项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

【答案】C
2 【 解 析 】 由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 , 再 由

56 d ? 32 得 2 90 S1 0? 10a ?1 d ? 60 ,.故选 C 2 S8 ? 8a1 ?

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 , 所 以

4.(2009 湖南卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于 ( ) B.35 C.49 D. 63

A.13 【解析】 S7 ?

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

或由 ?

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 5.(2009 福建卷理)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 【答案】 :C [解析]∵ S3 ? 6 ? B

5 3

C.- 2

D 3

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

6.(2009 辽宁卷文)已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=- 【答案】B

1 2

7.(2009 四川卷文)等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中 项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 【答案】B 【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100
2
2 8.(2009 宁夏海南卷文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,

B. 100

C. 145

D. 190

S2m?1 ? 38 ,则 m ?
A.38 【答案】C
2 【解析】 因为 ?an ? 是等差数列, 所以,am?1 ? am?1 ? 2am , am?1 ? am?1 ? am ? 0 , 由 得: a m 2

B.20

C.10

D.9

- a m =0,所以, a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即
2

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2 2

=38,解得 m=10,故选.C。 9..(2009 重庆卷文)设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则

?an ? 的前 n 项和 Sn =(
A.



n2 7n ? 4 4

B.

n 2 5n ? 3 3

C.

n 2 3n ? 2 4

D. n ? n
2

【答案】A 【解析】设数列 {an } 的公差为 d ,则根据题意得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ? 5d ) ,解得 d ?

1 或 2

n(n ? 1) 1 n 2 7 n d ? 0 (舍去) ? ? ? ,所以数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 2 2 4 4
二、填空题 10.(2009 全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 答案 24 解析

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 .
11.(2009 浙江理)设等比数列 {an } 的公比 q ? 答案:15 解析 对于 s4 ?

1 S ,前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a4



a1 (1 ? q 4 ) s 1 ? q4 , a4 ? a1q3 ,? 4 ? 3 ? 15 1? q a4 q (1 ? q)


12.(2009 北京文)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an (n ? N ? ) ,则 a5 ? 前 8 项的和 S8 ? 答案 225 解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查. .(用数字作答)

属于基础知识、 基本运算

a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2, a3 ? 2a2 4, a4 ? 2a3 ? 8, a5 ? 2a4 ? 16 ,
易知 S8 ?

28 ? 1 ? 255 ,∴应填 255. 2 ?1
×

13. 2009 全国卷Ⅱ文) ( 设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。 a1 ? 1, s6 ? 4s3 , a4 = 若 则 答案:3

解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3
3 3

14.(2009 全国卷Ⅱ理)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析 ??an ? 为等差数列,? 答案 9

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

15.(2009 辽宁卷理)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

三、解答题 16.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) 求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) 2 ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 , 对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1
?

17.(2009 北京文)设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N , P ? 0) . 数列 {bn } 定义 如下:对于正整数 m, bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (Ⅰ)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(Ⅱ)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2m 项和公式; (Ⅲ)是否存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如
?

果不存在,请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质,考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(Ⅰ)由题意,得 an ? ∴

1 1 1 1 20 n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . 2 3 2 3 3

1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3

(Ⅱ)由题意,得 an ? 2n ? 1, 对于正整数,由 an ? m ,得 n ? 根据 bm 的定义可知
* * 当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ;当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

m ?1 . 2

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ??? b2m ? ?b1 ? b3 ? ?? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ? ?? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m 2 ? 2m . 2 2

(Ⅲ)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

m?q . p

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 ,即 ?2 p ? q ? ?3 p ?1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立. p p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾! 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3
?

∴ 存在 p 和 q,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ?

1 2 1 , ? ? q ? ? .. 3 3 3
?

18.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N

, (, Sn , 点 n )

均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图 像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 n ?1 1 2 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 19.(2009 全国卷Ⅱ文)已知等差数列{ an }中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{ an }前 n 项 和 sn . 解析:本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力,利用方程的思想可求解。 解:设 ?an ? 的公差为 d ,则

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ?a1 ? ?4d
解得 ?

?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ?d ? 2, ?d ? ?2

因此 Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9? 20.(2009 安徽卷文)已知数列{ } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

(Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设

}与{

}的通项公式; <

,证明:当且仅当 n≥3 时,

(n ? 1) ?a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在

求出 an 和bn 后,进而得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n2 ? 2n) ? [2(n ?1)2 ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N * ) 又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2 1 16(n ? 1)2 ? ( )( n ?1)?1 1 n ?1 Cn ?1 (n ? 1)2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? ? ? 1 2 Cn 2n 2 16n 2 ? ( ) n ?1 2

Cn?1 (n ? 1)2 由 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
又n ? 3时

(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn

21.(2009 江西卷文)数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 n ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 故 2 n ?3 3 3? 2 2
22. (2009 天津卷文)已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q
n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *

(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。 (Ⅲ)若 q ? ?1, 证明( ? q)S 2 n 1

2dq(1 ? q 2n ) ? (1 ? q)T2 n ? ,n? N* 2 1? q

(1)解:由题设, S3 ? a1 ? (a1 ? d )q ? (a1 ? 2d )q 2 , 将q ? 1, a1 ? 1, S3 ? 15 代入解得 d ? 4 ,所以 an ? 4n ? 3 n ? N * (2)解:当 a1 ? d , S1 ? d , S 2 ? d ? 2dq, S3 ? d ? 2dq ? 3dq2 ,? S1 , S 2 , S3 成等比数列,
2 所以 S 2 ? S1 S 3 ,即 d ? 2dq) ? d(d ? 2dq ? 3dq2 ) ,注意到 d ? 0 ,整理得 q ? ?2 (

2

(3)证明:由题设,可得 bn ? q n?1 ,则

S 2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ?a2n q 2n?1 T2n ? a1 ? a2 q ? a3 q 2 ? ? ? a2n q 2n?1
①-②得,

① ②

S 2n ? T2n ? 2(a2 q ? a4 q 3 ? ? ? a2n q 2n?1 )
①+②得,

S 2n ? T2n ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 )



③式两边同乘以 q,得 q(S 2n ? T2n ) ? 2(a1q ? a3 q 2 ? ? ? a2n?1q 2n?2 ) 所以 (1 ? q) S 2 n ? (1 ? q)T2 n ? 2d (q ? q 3 ? ? ? q 2 n?1 ) ?

2dq(1 ? q 2n ) 1? q2

(3)证明: c1 ? c2 ? (ak1 ? al1 )b1 ? (ak2 ? al2 )b2 ? (akn ? aln )bn
1

= (k1 ? l1 )db ? (k 2 ? l2 )db q ? ? ? (k n ? ln )db q 1 1 1 因为 d ? 0, b1 ? 0 ,所以

n?1

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
若 k n ? l n ,取 i=n,

若 k n ? l n ,取 i 满足 ki ? li ,且 k j ? l j , i ?1 ? j ? n 由(1) (2)及题设知, 1 ? i ? n ,且

c1 ? c2 ? (k1 ? l1 ) ? (k 2 ? l 2 )q ? ? ? (k n ? l n )q n?1 db1
① 当 ki ? li 时, ki ? li ? ?1 ,由 q ? n , ki ? li ? q ? 1, i ? 1,2?, i ? 1

即 k1 ? l1 ? q ? 1 , (k 2 ? l 2 )q ? q(q ? 1),? (ki ?1 ? li ?1 )q i ?2 ? q(q ? 1) i ?2 所以

c1 ? c2 1 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ? ? (q ? 1)q i ?2 ? q i ?1 ? (q ? 1) ? q i ?1 ? ?1 db1 1? q

因此 c1 ? c2 ? 0 ② 当 ki ? li 时,同理可得

c1 ? c2 ? ?1, 因此 c1 ? c2 ? 0 db1

综上, c1 ? c 2

【考点定位】 本小题主要考查了等差数列的通项公式, 等比数列通项公式与前 n 项和等基本 知识,考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力。 23. (2009 全国卷Ⅱ理)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: I) a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 2 ? a1 ? 2 ( 由 有 a 4 , 由 Sn?1 ? 4an ? 2 ,. ..①

a2 ? 31 ? 2 5 b1 a2 2a1 3 a ? ,? ? ? ?

则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 ...② ..

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又?bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

a 1 3 ? 数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2

?

an 1 3 3 1 ? ? (n ? 1) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 n 2 2 4 4 4

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构造新数列的模型:

an?1 ? pan ? qn ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除以 q n?1 .
总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列 (全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩 法问题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本 技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. (2009 辽宁卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n 解: (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2
2

5分

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3
故 a1 ? 4

1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

1a 25. (2009 陕西卷文)已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2=

an ? an ?1 ,n? N*. 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn} 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。

(1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? )

1 2

1 2

n? 2

1 1 ? (? ) n?1 2 1 5 2 1 2 ? 1 ? [1 ? (? ) n? 2 ] ? ? ( ? ) n?1 , ? 1? 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 n ?1 * 所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) 。 3 3 2
26.(2009 湖北卷文)已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn 解(1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 2n

an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2
两式 相减得? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2
n ?1

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ?? bn ? 2 ? 23 ? 24 ? ?? 2n?1 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4 n?1

-4=

2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6,即Sn ? 2n? 2 ? 6 2 ?1

27. (2009 福建卷文)等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 若 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2

28(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an? 2 ? 4an?1 ? an , bn ?

an?1 ,n? N? . an

(Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值; (Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

1 1 ? n?2 . 64 17 17 72 , b3 ? 4 17

解: (Ⅰ)? a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ?

(Ⅱ)由 an?2 ? 4an?1 ? an 得

an? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an?1 an?1 bn

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 17n (Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

(n ≥ 2)

1 17 ? 成立 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bnbn ?1 17
(n ≥ 2)



1 1 1 1 | bn ?1 ? bn ? 2 |≤ ? ≤ n ?1 | b2 ? b1 |? ? n ? 2 2 17 17 64 17

所以

b2n ? bn ≤ bn?1 ? bn ? bn?2 ? bn?1 ??? b2n ? b2n?1

1 1 ( ) n?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n ?1 1 n 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 ? 1 (n ? N * ) ?(17 ) ? (17 ) ? ? ? (17 ) ? ? 4 ? 1 4? 64 17 n ?2 ? 1? 17


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