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绍兴一中2009学年高一上学期期中考试(数学)[1]

绍兴一中2009学年高一数学期中试卷 第 一学 期
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题中只有一项是符合题目要求的。 1、若 U ? {1, 2, 3, 4}, M ? {1, 2}, N ? {2, 3} ,则 C U ?M ? N ? 是 ( ) (A) {1, 2, 3} (B) {2} (C) {1, 3, 4} (D) {4} ( (D)
1 64

9、设奇函数 f ? x ? 在 ?0 , ? ? ? 上为减函数,且 f ?1? ? 0 , 则不等式 为 (A) ?? 1,0 ? ? ?1, ? ? ? (C) ?? ? , ? 1? ? ?1, ? ? ?
x

f ? x ? ? f ?? x ? x

? 0 的解集

(B) (D)

?? ? , ? 1? ? ?0 ,1? ?? 1,0 ? ? ?0,1?
y





? 1? 2、幂函数 f ( x ) 的图象过点 ? 4 , ? ,那么 f (8 ) 的值为 ? 2?

10、已知函数 f ( x ) ? log a (2 ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 的图象如图所示,则 a, b 满足的关系 ) (
?1




?1

(A) 0 ? b ? a

?1

(B) 0 ? a

?1
?1

? b ?1
?1

(A)

2 4

(B)64

(C) 2 2

3、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增 长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可 选用 ( ) (A) 一次函数 (B)二次函数 (C) 指数型函数 (D) 对数型函数
? 2 e x ?1 , x< 2, ? 则 f ( f (2))的 值 为 4、设 f ( x ) ? ? 2 ? log 3 ( x ? 1), x ? 2. ?

O (C) 0 ? b ? a ? 1 (D) 0 ? a ? b ? 1 二、填空题:本大题有5小题,每小题4分,共20分。请将答案填写在横线上。 ?1 log 3 4 11、 = . log 9 8 12、函数 f ? x ? ?
4?x x ?1 ? log 3 ? x ? 1? 的定义域是
2

x

.





13、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? x ? 1 ,那么当 x ? 0 时,
f ( x) ?
2

; 当 x ? 0 时, f ( x ) ?
2

. . .

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5、 设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ?? ) 时 f(x)是增函数,则 f ( ? 2), f (? ), f ( ? 3) 的大小关系是 ( ) (A) f (? ) > f ( ? 3) > f ( ? 2) (B) f (? ) > f ( ? 2) > f ( ? 3) (C) f (? ) < f ( ? 3) < f ( ? 2) (D) f (? ) < f ( ? 2) < f ( ? 3) 6、已知 a>1,函数 y ? a 与 y ? log a ( ? x ) 的图像只可能是
x

14、函数 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最大值与最小值的和为

15、已知函数 f ( x ) ? log a ( ax ? x ? 3) 在 [2, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 三、解答题:本大题有5小题,共50分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16、计算下列各式(本小题满分 10 分) (Ⅰ) (lg 2 ) 2 ? lg 5 lg 20 ? 1 ; (Ⅱ) 2
1 ?( ) 2

( y



?

?? 4 ? 0
2

?

1 2 ?1

? 2 3 ? 6 12 ? 3

3 2

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B
1 2010

C ,有

D ( )

7、设函数 f ( x ) ? ( x ? 2008 )( x ? 2009 ) ?

17、 (本小题满分 8 分) 已知 U
? R, A ? { x y ? 1 x log 2 ( x ? 1) }, B ? { y y ? ( ) ? 1 , ? 2 ? x ? ? 1}, C ? { x x ? a ? 1} 2
?

(A)在定义域内无零点; (B)存在两个零点,且分别在 (?? , 2008 ) 、 ( 2009 , ?? ) 内; (C)存在两个零点,且分别在 ( ?? , ? 2007 ) 、 ( 2007 , ?? ) 内; (D)存在两个零点,都在 ( 2008 , 2009 ) 内. 8、一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流出,如 果水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v ? f (h ) 的大致图象是 ( )

⑴求 A ? B ;

⑵若 C ? C U A ,求 a 的取值范围.

A

(A) O

B

(B) O

C

(C) O

(D) O

18、 (本题满分 10 分) 函数 f ( x ) ? 2 x 和 g ( x ) ? x 3 的部分图象的示意图如下图所示。设两函数的图象

-1-

交于点 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,且 x1 ? x 2 。 ⑴ 请指出示意图中曲线 C 1 、 C 2 分别对应哪一个函数?

⑵ 若 x1 ? ?a , a ? 1?, x 2 ? ?b , b ? 1? ,且 a , b ? ? , 2 ,3, 4 ,5, 6 , 7 ,8,9 ,10 ,11 ,12 ? , 1 指出 a 、 b 的值,并说明理由; ⑶ 结合函数图象示意图,请把 f ( 6 )、 g ( 6 )、 f ( 2009 )、 g ( 2009 ) 四个数按从小到大的顺序排列。

第 18 题图 19、 (本小题满分 10 分) 某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水,每天零点开始向居民供水,同时以每小时 60 吨的速 水,t 小时内向居民供水总量为 120 6 t ( 0 ? t ? 24 ) . (1)每天几点钟时,蓄水池中的存水量最少? (2)如果池中存水量不多于 80 吨,就会出现供水紧张现象,那么一天中会有几小时出现 这种现象?

度向池中注

20、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
x ? ax ? a
2

,且a ? 1

x

⑴ 当 x ? [1, ?? )时 , 判断 f ( x ) 的单调性并证明; ⑵在(1)的条件下,若 m 满足 f ( 3 m ) ? f ( 5 ? 2 m ) ,试确定 m 的取值范围。 .. ..... . ⑶设函数 g ( x ) ? x ? f ( x ) ? | x 2 ? 1 | ? ( k ? a ) x ? a , k 为常数 . .若关于 x 的方程 g(x)=0 在 个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并比较
1 x1 ? 1 x2

(0,2)上有两

与 4 的大小.

-2-

绍兴一中

2009 学年 高一数学期中考试卷 第一学期

满分 100 分,考试时间 90 分钟。 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题中只有一项是符合题目要 求的。 1、若 U ? {1, 2, 3, 4}, M ? {1, 2}, N ? {2, 3} ,则 C U ?M ? N ? 是 (A) {1, 2, 3} (B) {2} (C) {1, 3, 4} (D) {4} ( D )

? 1? 2、幂函数 f ( x ) 的图象过点 ? 4 , ? ,那么 f (8 ) 的值为 ? 2? 2 4
1 64

( A



(A)

(B) 64

(C) 2 2

(D)

3、某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长 越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系,可选用 ( D ) (A) 一次函数 (B)二次函数 (C) 指数型函数 (D) 对数型函数
? 2 e x ?1 , x< 2, ? 则 f ( f (2))的 值 为 ( 4、设 f ( x ) ? ? 2 ? log 3 ( x ? 1), x ? 2. ?

C ) (D)3

(A)0

(B)1

(C)2

5、设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x ? [0, ?? ) 时 f(x)是增函数,则 f ( ? 2), f (? ), f ( ? 3) 的大小关系是 ( A ) (A) f (? ) > f ( ? 3) > f ( ? 2) (C) f (? ) < f ( ? 3) < f ( ? 2) (B) f (? ) > f ( ? 2) > f ( ? 3) (D) f (? ) < f ( ? 2) < f ( ? 3) ( B ) y

6、已知 a>1,函数 y ? a x 与 y ? log a ( ? x ) 的图像只可能是 y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C ( C )

D

7、方程 log 3 x ? x ? 3 ? 0 的解所在区间是 (A) (0,2) (B) (1,2)

(C) (2,3)

(D) (3,4)

8、一个高为 H,水量为 V 的鱼缸的轴截面如图,其底部有一个洞,满缸水从洞中流出,如果
-3-

水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v ? f (h ) 的大致图象是( D



O (A)

O (B)

O (C)

O (D)
f ? x ? ? f ?? x ? x ? 0 的解集为

9、设奇函数 f ? x ? 在 ?0 , ? ? ? 上为增函数,且 f ?1? ? 0 , 则不等式 ( D ) (A) ?? 1,0 ? ? ?1, ? ? ? (C) ?? ? , ? 1? ? ?1, ? ? ? (B)

?? ? , ? 1? ? ?0 ,1? ?? 1,0 ? ? ?0,1?

(D)

10、已知函数 f ( x ) ? log a (2 ? b ? 1)( a ? 0, a ? 1) 的图象如图所示,则 a, b 满足的关系是
x

( B


?1

(A) 0 ? b ? a (C) 0 ? b
?1

?1

(B) 0 ? a (D) 0 ? a

?1

? b ?1 ?b
?1

y O
?1

x

? a ?1

?1

?1

二、填空题:本大题有5小题,每小题4分,共20分。请将答案填写在答题卷中的横线上。 11、
log 3 4 log 9 8

=

4 3

.

12、函数 f ? x ? ?

4?x x ?1

? log

3

? x ? 1? 的定义域是

?? 1,1? ? (1, 4 ]

2 13、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? x ? 1 ,那么当 x ? 0 时,

f ( x) ?

0

; 当 x ? 0 时, f ( x ) ?
2

f ( x) ? ? x ? x ? 1
2

. -1

14、函数 f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 3 在区间 ? ? 2, 3 ? 上的最大值与最小值的和为
2

15 、已 知函数 f ( x ) ? log a ( ax ? x ? 3) 在 [2, 4] 上 是增函 数, 则实数 a 的 取 值范围 是_
? 1 1? , ? ? ?1, ?? ? __ ? ? 16 8 ?

三、解答题:本大题有5小题,共50分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

-4-

16、计算下列各式(本小题满分 10 分) (Ⅰ) (lg 2 ) ? lg 5 lg 20 ? 1
2

(Ⅱ) 2

1 ?( ) 2

?

?? 4 ? 0
2
2

?

1 2 ?1

? 2 3 ? 6 12 ? 3

3 2

解: (Ⅰ)原式=lg 2+(1- lg2) (1+lg2)—1 =lg 2+1- lg 2- 1=0 (Ⅱ)原式=
2 2

------------2 分 ------------3 分

2 ? ( 2 ? 1) ? 2 3 ? 6 12 ? 3 ? 3 ?3 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? 12 ? ? ? ?2?
2 6 1 1 1

3 2

? ? ? ? 1分

? ? ? ? ? 2分 ? ? ? ? ? 2分

? ?1 ? 2

2 1 1? ? 6 3

1

?3

2

1 1 ? ? 6 3

?5

17、 (本小题满分 8 分)

已知集合 A= ?x 1 ? x ? 7? ,B={x|2<x<10},C={x|x<a },全集为实数集 R. (1)求 A∪B,(CRA)∩B;(2)如果 A∩C≠φ ,求 a 的取值范围。

解:(1) A ? B ? ?x | 1 ? x ? 10 ? (2) ( C R A ) ? B ? ?x | 7 ? x ? 10 ? (3)a 的取值范围是(1,+ ∞) 18、 (本题满分 10 分)

(2 分) (3 分) (3 分)

函数 f ( x ) ? 2 x 和 g ( x ) ? x 3 的部分图象的示意图如下图所示。设两函数的图象 交于点 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ,且 x1 ? x 2 。 (1)请指出示意图中曲线 C 1 、 C 2 分别对应哪一个函数? (2)若 x1 ? ?a , a ? 1?, x 2 ? ?b , b ? 1? ,且 a , b ? ? , 2 ,3, 4 ,5, 6 , 7 ,8,9 ,10 ,11 ,12 ? , 1 指出 a 、 b 的值,并说明理由; (3)结合函数图象示意图,请把 f ( 6 )、 g ( 6 )、 f ( 2009 )、 g ( 2009 ) 四个数按从小到大的顺序排列。

解: (1) C 1 : g ( x ) ? x 3 ; C 2 : f ( x ) ? 2 x
-5-

--------------4 分

第 18 题图

(2)记 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,由 h (1) ? 1, h ( 2 ) ? ? 4 ,由 h (1) ? h ( 2 ) ? 0 得 x1 ? ?1, 2 ?,? a ? 1 同理: h ( 9 ) ? ? 217 , h (10 ) ? 24 ,
h ( 9 ) ? h (10 ) ? 0 ,得 x ? ?9 ,10 ?,? b ? 9 2
-------------------------2 分

----------------------2 分

(3) f ( 6 ) ? g ( 6 ) ? g ( 2007 ) ? f ( 2007 ) -------------------------2 分 19、 (本小题满分 10 分) 某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水,每天零点开始向居民供水,同时以每小时 60 吨的速度 向池中注水,t 小时内向居民供水总量为 120 6 t ( 0 ? t ? 24 ) . (1)每天几点钟时,蓄水池中的存水量最少? (2)如果池中存水量不多于 80 吨,就会出现供水紧张现象,那么一天中会有几小时出现这种现 象? 解:(1)设 t 小时后,蓄水池中的存水量为 y 吨. 则 y ? 400 ? 60 t ? 120 6 t ( 0 ? t ? 24 ) -------------------------2 分 设u ? ∴ 当u ?
t ,则 u ? [ 0 , 2 6 ] , y ? 60 u ? 120 6 u ? 400 ? 60 ( u ?
2

6 ) ? 40 -----2 分
2

6即 t ? 6 时,y 取得最小值 40.
-------------------------1 分

∴ 每天在 6 点钟时,蓄水池中的存水量最少. (2) 由题意得:y≤80 时,就会出现供水紧张. ∴
60 u ? 120 6 u ? 400 ? 80
2

解之得
8

2 6 3

?u?

4 6 3

-------------------------2 分



∴ 20、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
2

?8 3 3 3 3 一天中会有 8 小时出现这种供水紧张的现象.

?t?

32



?t ?

32

?

8

-------------------------2 分 -------------------------1 分

x ? ax ? a x

,且a ? 1

(1) 当 x ? [1, ?? )时 , 判断 f ( x ) 的单调性并证明; (2)在(1)的条件下,若 m 满足 f ( 3 m ) ? f ( 5 ? 2 m ) ,试确定 m 的取值范围。 .. ..... .

(3)设函数 g ( x ) ? x ? f ( x ) ? | x 2 ? 1 | ? ( k ? a ) x ? a , k 为常数 . .若关于 x 的方程 g(x)=0 在(0,2)

-6-

上有两个解 x1,x2,求 k 的取值范围,并比较

1 x1

?

1 x2

与 4 的大小.

解: (1)由题得: f ( x ) ? x ? a ? a ,设1 ? x1 ? x 2 , x 则 f (x ) ? f (x ) ? (x ? a ? a) ? (x ? a ? a) ? x ? x ? a ? a 1 2 1 2 1 2
x1 x2 x1

x2

? ( x1 ? x 2 )

( x1 x 2 ? a ) x1 x 2

-------------------------2 分

? 1 ? x1 ? x 2 , ? x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? 1 ,又 a ? 1 ,得 x1 x 2 ? a ? 0
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f (x ) 在 ?1, ?? ? 上为增函数。
-------------------------2 分

(2)由(1)得: f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,要满足 f ( 5 ? 2 m ) ? f ( 3 m ) 只要1 ? 5 ? 2 m ? 3 m ,得1 ? m ? 2
2 2

-------------------------3 分
2

(3) g ( x ) ? x ? f ( x ) ? | x ? 1 | ? ( k ? a ) x ? a ? x ? kx ? | x ? 1 | g(x)=0 在(0,2)上有两个解 x1,x2,不妨设 0<x1<x2<2,
? 2 x 2 ? kx ? 1 f( g(x) x ) ? ? ? kx ? 1 | x |? 1 | x |? 1

-------------------------1 分 所以 g(x)在(0,1]是单调函数,故 g(x)=0 在(0,1]上至多一个解, 1

若 1<x1<x2<2,则 x1x2=- 2 <0,故不符题意,因此 0<x1≤1<x2<2. 1 k ?? x1 由 g(x1)=0 得 , 所以 k ? ? 1 ; 1 7 k ? ? 2 x2 ? ? k ? ?1 x2 由 g(x2)=0 得 , 所以 2 ;-------------------------2 分 7 ? ? k ? ?1 故当 2 时,方程 g(x)=0 在(0,2)上有两个解. 1 k ?? 2 2 x ? kx 2 ? 1 x1 方法一) :因为 0<x1≤1<x2<2,所以 , 2 =0
2 2 x1 x 2 ? x1 ? x 2 ? 0 消去 k 得 1 1 1 1 ? ? 2 x2 ? ?4 x x2 x x2 即 1 ,因为 x2<2,所以 1 .-------------------------2 分

方法二) :由 g(x1)=0 得 x1= ?

1 k,

-7-

由 2x +kx-1=0 得 x ?
2

?k? 4

k ?8
2

; 因为 x 2 ? (1, 2 ), 所以 x 2 ?

?k? 4

k ?8
2

.



1 x1

?

1 x2

? -k+

?k? 4

k ?8
2

=

1 2

( k ? 8 ? k).
2

而 y=
1 2

1 2

( k ? 8 ? k ) 在 (?
2

7 2

, ? 1) 上是减函数,



( k ? 8 ? k)<
2

1 2

( (?

7 2

) ?8 ?
2

7 2

) =4.

因此,

1 x1

?

1 x2

? 4.

-------------------------2 分

-8-


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