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排列组合应用题的解题技巧


排列组合应用题的解题技巧
教学目的

教学过程
课堂练习 课堂小结

1.熟悉解决排列组合问题的基本 方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应 用题的解题技巧; 3.学会应用数学思想分析解决排 列组合问题.

一 复习引入
二 新课讲授 排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下 面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技 巧.

例题1
例题4

例题2
例题5

例题3
例题6

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
m ? n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) 3.排列数公式: P n

n! ? ( n ? m)! m P n ( n ? 1)(n ? 2) ?( n ? m ? 1) m n C ? ? 4.组合数公式: n m m! P m

n! ? m! ( n ? m )!

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 为排列问题,与顺序无关的为组合问题.

例1 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。 8个学生,4个老师,要求老师在学生中间,且老师互不 相邻,共有多少种不同的坐法?

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 P 解 先排学生共有 8 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有P P 7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 P 8 7 种. 结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.

例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 一个人,与5个男生作全排列,有 P66 种排法,其中女生内 部也有P33 种排法,根据乘法原理,共有P66 P33种不同的排 法. 结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.

例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会, 每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解. 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 7 个,即可将白球分成8份,显然有C11 种不同的放法,所以 7 C 名额分配方案有 11 种. 结论3 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列 组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简单的、具 体的问题来求解.

例4 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中 取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 3 1 1 C ? C ? C 共有 23 23 10 种取法. 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.

例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 解 不加任何限制条件,整个排法有 P99 种,“语文安排 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 P9 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 2 种 . 5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 结论
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.

例6 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班 长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 5 C 解 43人中任抽5人的方法有 43 种,正副班长,团支部 5 书记都不在内的抽法有C40 种,所以正副班长,团支部书 5 5 记至少有1人在内的抽法有 C43 ? C40 种. 结论6 排异法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.

练习1 某人射击8枪,命中4枪,那么命中的4枪中恰有3 枪是连中的情形有几种? 练习2 一排8个座位,3人去坐,每人两边至少有一个空 座的坐法有多少种? 练习3 马路上有编号为1,2,3,……10的十只路灯,为节 约电而不影响照明,可以把其中的三只路灯关掉,但不能 同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉马路两端的灯, 问满足条件的关灯方法有多少种? 练习4 A、B、C、D、E五人站成一排,如果B必须站在A 的右边,那么不同的站法有多少种? 练习5 某电路有5个串联的电子元件,求发生故障的不 同情形数目?

小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.

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不凡的一个女子。她说,金??”“金什么?”老太太想起了金钟魁,急问。“就是到这儿,记不清了。”宝音很惭愧。 老太太青筋直跳。她这两天满脑袋满心都是玉坠、金钟魁、宝音、张惠妃,一个“金”字,触动她心病,又涉及灵异神 鬼,她百爪挠心!毓笙在这节骨眼上停下来,她劈开毓笙脑袋的心都有!却也只能捺下性子,好言相劝:“好孩子,你 再想想?好好想想!”“她说??有藏了个什么东西。”宝音一边讲,一边察看老太太神色。老太太更紧张了:“什么 东西。”只凭金像,能打什么不紧?宝音仔细回忆当时的触感,份量与体积比起来,似乎有些不对,莫非是中空的?看 老太太的反应,看来是真的了。她字斟句酌道:“就在嘴边,真真的想不起来,要是有谁能提醒提醒就好了。”老太太 强笑道:“女子藏什么呢?耳环?镯子?坠子?佩饰???”“坠子。”宝音押宝。凭她对老太太这么多年的了解,凭 老太太说到这两字时,微妙的眼神和语气变化。一长串中,只有坠子是真的。老太太手握紧了:“坠子如何?”“也不 知如何??”宝音抬头想想,倒笑了,“那青裙粉岥真是华贵,倒好像是天上仙宫的娘娘。”老太太脸色又变了变。宝 音想,关于宫中,恐怕她又猜对了。“再之后怎样?好好想,”老太太捉着她的手,几乎是用恳求的口气,“这很重 要!”宝音无奈:“实在记不清了,只记得她很悲伤。说完了,又道:‘你好生叫长辈宽心罢!’,袖子朝我拂了拂, 我醒来,便觉身子简直大好了似的。这还其次,更重要是忽的心地清明,想想这些年来,身体不好,让长辈劳了多少神, 又言谈举止不懂事,给长辈们添了多少麻烦??”说到这里,简直哽咽,“外婆,亏您对我这么好,我这么多年也没孝 顺您!”血脉连心,老太太听到这里,也觉感动,然而玉坠太要紧、鬼神也太可怕,单凭“宽心”二字,似是吉兆,也 不够确实,还得把整个梦问出来才能安心嘛!老太太可真急坏了。宝音这时候跟老太太求情:“外婆,老听他们说些鬼 啊什么的,笙儿害怕!不敢睡了,外婆带笙儿睡,好不好?”老太太慨然答应:“跟外婆睡去!”爱抚着毓笙的头发, 叫嘉颜带着乐韵洛月给毓笙收拾东西,还特别嘱咐嘉颜,留意表 的胭脂。很快明蕙就听到了这个消息:韩毓笙一跤跌 进青云里了!因一夜鬼哭,老太太亲自来慰问,说她可怜见的,搀了她的手,带她回去悉心照料。现如今,老太太满房 的丫头,都百鸟朝凤似的捧着毓笙照顾呢!“我们夜里弄鬼哭,想吓她,怎么反而便宜了她?”刘四姨娘来找明蕙商议, 慌得想咬谁一口,“这丫头鬼得狠,会不会知道我们害她?邀了老太太的宠,会不会捅回我们一刀?什么花神泣血夜哭, 该想个主意拆穿那小蹄子才好!”“老太太比你精


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