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学案§1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)


学案§ 任意角的三角函数(第一课时) 学案§1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)
汶上一中 丁阳会 2010-4-13 【学习目标】 学习目标】 1. 知识与技能 (1) 借助单位圆能够理解任意角的三角函数的定义; (2) 根据三角函数的定义能够理解其定义域、 三角函数值的符号及诱导 公式一。 2. 过程与方法 通过参与知识的“发现”与“形成”的过程,培养合情推理的能力,体会 函数模型思想,数形结合思想,培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问 题的能力。 3. 情感、态度与价值观 在学习中开阔视野, 感受着数学文化的熏陶, 从中感悟数学概念的合理性、 严谨性、科学性,感悟数学的本质,培养追求真理的精神。 学习重点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义。 【学习重点】 学习难点】 任意角的三角函数概念的建构过程。 【学习难点】 知识结构】 【知识结构】 锐角三角函数→任意角三角函数→定义域→函数值的符号→诱导公式一 【学习过程】 学习过程】 一、复习引入 回顾:锐角的三角函数如何定义? 如图,设锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴 的正半轴重合,那么它的终边在第一象限,在 α 的终边 上任取一点 P( a, b ),它与原点的距离 r = a 2 + b 2 > 0, 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的长度为 a , O 线段 MP 的长度为 b ,则 sin α = = ; cos α = = ; tan α = 改变终边上 P 点的位置,这三个比值会改变吗?为什么?
y

P( a , b )
r

α
M
=

x
.

二、新课导学 探究任务一: 探究任务一:任意角的三角函数的定义. 将点取在使线段 OP 的长 r = 1 的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐 标系内的点的坐标表示锐角三角函数为: sin α = ; cos α = ; tan α = ;
1

上述锐角 α 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么, 角的概念 推广以后,我们应该如何推广到任意角呢? 新知: 新知:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆叫 做单位圆. 如图,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x, y ),那么: 叫做 α 的正弦,记做 sin α ; (1) y (2 ) 叫做 α 的余弦,记做 cos α ; α 的终边 (3 ) 叫做 α 的正切,记做 tan α . 即 sin α = ; cos α = ; tan α = . P(x,y) 说明: (1 ). x O (2 ). (3 ). (4 ). 5π 的正弦、余弦和正切值. 例1. 求 3

小结 如何求一个角的三角函数值: 7π 变式练习: 的正弦、余弦和正切值吗? 变式练习:你能求出 6

.

例2.

已知角 α 的终边过点 P0 (? 3,?4 ) ,求角 α 的正弦、余弦和正切值.

小结: 小结:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何 求它的三角函数值呢?

变式练习: 变式练习:已知角 θ 的终边过点 P(? 12,5) ,求角 θ 的正弦、余弦和正切值.

2

探究任务二 探究任务二:三角函数的定义域与符号. 请根据上述任意角的的三角函数定义,先将正弦、余弦、正切函数在弧度 制下的定义域填入下表,再将这三种函数的值在各个象限的符号填入下图中的 括号. 三角函数 sin α cos α tan α
y

定义域

y +

y















) (



x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin α cos α tan α 新知: 新知:三角函数在各象限内的符号规律的记忆法则: 如果角的终边落在坐标轴呢?请完成下表。 角α 0 90 180 270 360
角 α 的弧度数
sinα cosα tanα

.

sin θ < 0 成立时,角 θ 为第三象限角. 例 3.求证:当且仅当不等式组 { . tan θ > 0

例 4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1) cos 250 ;
°

(2) sin( ?

π

4

);

3

变式练习: (2007 北京理 1)已知 cos α ? tan α ﹤0,那么角 α 是( 变式练习: A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 探究任务三 探究任务三:终边相同的角同一三角函数的值有何关系? 新知: 新知:诱导公式一.
sin(α + k ? 2π ) =



, cos(α + k ? 2π ) =

, tan (α + k ? 2π ) =



其中 k ∈ Z 说明: 1). ( (2 ). 例 5.求下列三角函数值: 9π 11π (1) cos ; (2) tan( ? ) 4 6

三、总结提升 (1) 本节是如何定义任意角的三角函数的?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)你能写出各三角函数的定义域吗? (4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时该如何应用公 式一?

四、作业 必做题:习题 1.2 A 组第 2、7、8 题. 选做(探究)题: ( 1、 2007 全国卷Ⅱ1) cos 330 = (
A. )

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

2、已知角 α 的终边在直线 y=2x 上,求 α 的正弦、余弦和正切值. 3、求函数 y =

sin x cos x tan x + + 的值域. sin x cos x tan x
4


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