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2013年全国高考文科数学真题分类汇编:函数(解析版)


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (2013 年高考重庆卷(文) )函数 y

?

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)
C. (2,3)





A. ( ??, 2)
【答案】C

B. (2, ??)

(3, ??) D. (2, 4) (4, ??)

2 . (2013 年高考重庆卷 (文) ) 已知函数

f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
( ) C. 3 D. 4

A. ? 5
【答案】C

B. ? 1

3 . (2013 年高考大纲卷(文) )函数

? 1? f ? x ? ? log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ?的反函数f -1 ? x ? = ? x?
C. 2 ?1? x ? R?
x





A.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

B.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

D. 2 ?1? x ? 0?
x

【答案】A 4 . (2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数

f ? x ? ? ln
C. 1

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( ? 2?
D. 2

?



A. ? 1
【答案】D

B. 0

5 . (2013 年高考天津卷(文) )设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 ,

则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b)
【答案】A

( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0



6 . (2013 年高考陕西卷(文) )设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定义域为 M, 则 CR M 为





A.(-∞,1)
【答案】B

B.(1, + ∞)

C. (??,1]

D. [1, ??)

7 . ( 2013 年上海高考数学试题(文科) ) 函数

f ? x ? ? x2 ?1? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ? x ? , 则 f ?1 ? 2? 的值是
( )

A. 3

B. ? 3

C. 1 ? 2

D. 1 ? 2

【答案】A 8 . ( 2013 年高考湖北卷(文) ) x 为实数 , [ x] 表示不超过

x 的最大整数 , 则函数 f ( x) ? x ? [ x]在 R 上为
( ) D.周期函数

A.奇函数 【答案】D

B.偶函数

C.增函数

9 . (2013 年高考四川卷(文) ) 设函数

f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若存在 b ? [0,1] 使
( C. [e,1 ? e] D. [0,1] )

f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是
A. [1, e]
【答案】A 10. (2013 年高考辽宁卷(文) )已知函数

B. [1,1 ? e]

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值为 B ,则 A ? B ? (
A. a ? 2a ? 16
2



B. a ? 2a ? 16
2

C. ?16

D. 16

【答案】C 11. (2013 年高考北京卷(文) )下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是





A. y ?

1 x

B. y ? e ? x

C y ? ? x2 ? 1


D. y ? lg | x |

【答案】C 12. (2013 年高考福建卷(文) )函数

f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是

( A.
【答案】A 13. (2013 年高考浙江卷(文) )已知 a.b.c∈R,函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c .若 f ? 0? ? f (4) ? f ?1? ,则 (



B.

C.

D. )

A.a>0,4a+b=0 【答案】A

B.a <0,4 a + b =0

C.a >0,2 a + b =0

D.a <0,2 a +b=0

14 . ( 2013 年 高 考 山 东 卷 ( 文 ) ) 已 知 函 数 f ( x) 为 奇 函 数 , 且 当

x ? 0 时 , f ( x) ? x 2 ?

1 , 则 f (?1) ? x
( )

A.2
【答案】D

B.1

C.0

D.-2

15. (2013 年高考广东卷(文) )函数 f ( x ) ?

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
C. (?1,1)





A. (?1, ??)
【答案】C

B. [?1, ??)

(1, ??) D. [?1,1) (1, ??)
( )

16. (2013 年高考陕西卷(文) )设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是

logc b ? logc a A. loga b·

loga a ? loga b B. loga b·

C. loga (bc) ? loga b oga c
【答案】B 17. (2013 年高考山东卷(文) )函数

D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c

f ( x) ? 1 ? 2 x ?

1 的定义域为 x?3
(?3, 0] D. (??, ?3) (?3,1]





A.(-3,0]

B.(-3,1]

C. (??, ?3)

【答案】A 18. (2013 年高考天津卷(文) )已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a

满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2

( D. (0, 2]



A. [1, 2]
【答案】C

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

19. (2013 年高考湖南(文) )函数

f ? x ? ? ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x2 ? 4x ? 4 的图像的交点个数为
C.2 D.3

( A.0

) B.1

【答案】C 20. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) )已知函数

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是 ? ln( x ? 1), x ? 0
( ) C. [?2,1] D. [?2, 0]

A. (??, 0]
【答案】D;

B. (??,1]

21. (2013 年高考陕西卷(文) )设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有





A.[-x] = -[x]
【答案】D

B.[x +

1 ] = [x] C.[2x] = 2[x] 2

1 D. [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2

22 . ( 2013 年高考安徽(文) ) 函数 y ? f ( x ) 的图像如图所 示 , 在区间

? a, b? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数
( )

x1 , x2 ,

, xn ,使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? x1 x2
B. ?2,3, 4?

?

f ( xn ) ,则 n 的取值范围为 xn
C. ?3, 4? D. ?3, 4,5?

A. ?2,3?

【答案】B

23. (2013 年高考湖北卷(文) )

小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间 加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C
【答案】C

时间

O D

时间

24. (2013 年高考湖南(文) ) 已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于____

( A. 4
【答案】B 二、填空题 25. (2013 年高考安徽 (文) ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ?



B.3

C.2

D.1

x ? 1 时. f ( x) ? x(1 ? x) ,

则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) =________________.
【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

26. (2013 年高考大纲卷(文) )设 【答案】-1

f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = ____________.

log x, x ? 1 ? ? 1 2 27. (2013 年高考北京卷(文) )函数 f(x)= ? 的值域为_________. x ? 2 , x ? 1 ?
【答案】(-∞,2) 28. (2013 年高考安徽(文) )函数 y ? ln(1 ? 【答案】

1 ) ? 1 ? x 2 的定义域为_____________. x

? 0,1?

29. (2013 年高考浙江卷(文) )已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. 【答案】10

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 30. (2013 年高考福建卷(文) )已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? ________ 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
【答案】 ? 2

.

31. (2013 年高考四川卷(文) ) lg 【答案】1

5 ? lg 20 的值是___________.
9 ? 1 ? 3x 的实数解为_______. 3 ?1
x

32. (2013 年上海高考数学试题(文科) )方程 【答案】 log3 4

三、解答题

?1 x, 0 ? x ? a ? ?a 33. (2013 年高考江西卷(文) )设函数 f ( x) ? ? a 为 常数且 a∈ (0,1). ? 1 (1 ? x), a ? x ? 1 ?1 ? a ?
(1) 当 a=

1 1 时,求 f(f( )); 2 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0) ? x0,则称 x0,为 f ( x ) 的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期 点,并求二阶周期点 x1,x2; (3) 对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ ABC 的面积为 s(a),求 s(a)在区间[ 大值和最小值.
【答案】解:(1)当 a=

1 1 , ]上的最 3 2

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 3 3 3 3 3 3 2

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? ? a(1 ? a ) ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? a(1 ? a ) ?
当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2 a 1 (a ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 , a), [来源:Z+xx+k.Com] ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

当 a ? x ? a 时由
2

因 f(

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

故x?

a 是 f( x)的二阶周期点; [来源:Z,xx,k.Com] ?a ? a ? 1
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ( x ? a) ? x 解得 x ? ? (a, a2 ? a ? 1) 2 2?a (1 ? a)

因 f(
2

1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a 1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

当 a ? a ? 1 ? x ? 1时,

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. ?a 2 ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) (3)由( 2)得 A( 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因 f(
2

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) 则 s (a) ? ? , s?(a) ? ? 2 ?a 2 ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1)2
因为 a 在[

1 1 1 1 , ]内,故 s?(a) ? 0 ,则 s (a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 3 2
1 1 3 2 1 3 1 1 1 ,最大值为s( )= 33 2 20

故 s (a)在区间[ , ]上最小值为s( )=

34. (2013 年高考安徽(文) )设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .[来源:学科网]

(Ⅰ )求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ )给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.
【答案】解:(1)令 f ( x) ? x ? - 1 ? a )x ? ?a ( ??0
2

解得 x1 ? 0

x2 ?

a 1 ? a2

a ? ? ? I ? ?x | 0 ? x ? ? 1 ? a2 ? ?
? I 的长度 x2 - x1 ?
(2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

a 1 ? a2

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

a 1 ? a2

I'?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 (1 ? a 2 ) 2

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.

I1 ?
I2 ? I min

1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1- k 2 ? 2k ? k 2

1? k 2 1? ( 1 ? k) 1- k ? 2 ? 2k ? k 2
1? x x e . 1 ? x2

35. (2013 年高考湖南(文) )已知函数 f ( x) ? (Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ )证明:当 f ( x1 ) ? f ( x2 ),( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0 . 解(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (??, ??) .

1? x 1? x x x 2 ? 2 x ? 1 1 ? x x ? x[( x ? 1)2 ? 2] x x f '( x) ? ( )' e ? e ? [ ? ]e ? e . 1 ? x2 1 ? x2 (1 ? x 2 )2 1 ? x2 (1 ? x 2 ) 2 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0; 当 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (??,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . 1? x (Ⅱ )当 x ? 1 时,由于 ? 0 , e x ? 0 故 f ( x) ? 0; 同理,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0; 2 1? x 当 f ( x1 ) ? f ( x2 ),( x1 ? x2 ) 时, ,不妨设 x1 ? x2 , 由(Ⅰ)知, x1 ? (??,0), x2 ? (0,1). 下面证明: ?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x), 即证: 1? x x 1? x ?x e ? e . 1 ? x2 1 ? x2 此不等式等价于 1? x (1 ? x)ex ? x ? 0. e 1? x x 2x x 令 g ( x) ? (1 ? x)e ? x ,则 g '( x) ? ? xe (e ? 1). e 1? x 当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0; g ( x) 单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 (1 ? x)ex ? x ? 0. e 所以 ?x ? (0,1), f ( x) ? f (? x). 而 x2 ? (0,1). ,所以 f ( x2 ) ? f (? x2 ). 从而 f ( x1 ) ? f (? x2 ). 由于 x1 , ? x2 ? (??,0), f ( x) 在 (??,0) 单调递增,所以 x1 ? ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 0.


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