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北京市石景山区2012-2013学年高二上学期期末考试数学理试题


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科)
参考公式:球的体积公式 V球 =

4 3 ? R ,其中 R 表示球的半径. 3

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.抛物线 y2 ? 8x 的焦点坐标为( )

0) A. (2 ,

0) B. ( ?2 ,

2) C. (0 ,

? D. (0 , 2)
) D.不存在 ) D. x ? 2 y ? 3 ? 0

4) 2) 2. 已知直线经过点 A(0 , 和点 B (1 , ,则直线 AB 的斜率为(
A. 2 B. ? 2 C. ?

1 2

2) 3.过点 P(?1, 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为(
A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 )

4.已知命题 q : ?x ? R , 2 ?1 ? 0 ,则 ?q 为( x A. ?x ? R ,2 ?1 ? 0 x C. ?x ? R,2 ?1 ? 0 x

B. ?x ? R,2 ?1 ? 0 x D. ?x ? R,2 ?1 ? 0 x

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( ) B. 3 ? 2

1 1
主视图

1

1 A. 2
C. 2 ?

1
左视图

2

D. 6

1
1

2

俯视图

6.棱长为 2 的正方体的外接球的体积为( A. 8 B. 8?

) C. 4 3?

D.

8 2? 3

7.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , AD ? AA ? 1 ,则直线 BD1 与平面 1

BCC1B1 所成角的正弦值为(
A.



D1 A1
D A B

C1 B1
C

3 3 6 3

B.

2 2

C.

1 D. 2

? 8. 已知 ? , 表示两个不同的平面, 为平面 ? 内的一条直线, 则“ ? ? ? ”是 m ? ? ” “ m
的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1) B 9.过点 (1 , 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A , 两点,若 |AB|=2 2 ,则直线 l 的方程
为( ) B. x ? 2 y +1=0 C. 2 x ? y ? 1=0 D. x ? y ? 1=0

A. x +y ? 2=0

10.设双曲线 (

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则此双曲线的离心率为 a2 9



A.

13 2

B.

5 2

C.

3 2

D.

5 2

11. 已知抛物线 C : y2 =4x 的焦点为 F ,直线 y =2 x ? 4 与 C 交于 A , B 两点,则

cos ?AFB= (
A.

) B.

4 5
x2 a1
2

3 5

C. ?

3 5
x2 a2
2

D. ?

4 5

12.若椭圆 C1 :

?

y2 b1
2

? 1( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C2 :


?

y2 b2
2

? 1( a2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是( ① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点 ③

② a1 ? a 2 ? b1 ? b2
2 2 2

2

a1 b1 ? a2 b2
B. ①③④

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④ D. ①②③

A.②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.
3 3 b 13. “ ?a , ? R , 命题 如果 a ? b , a ? b ” 则 的逆命题是___________________________.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , 2 , P 在椭圆上, | PF1 |? 4 , | PF2 |? _________; 14. 椭圆 若 则 F 点 9 2

?F PF2 的小大为__________. 1
15. x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ?1 ? 0 上动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为_______. 圆 16.如图,正方体 ABCD - A BC1D 中, E , F 分别为棱 DD1 , AB 上的点.已知下列 1 1 1 判断:① AC ^ 平面 B1EF ;② D B1EF 在侧面 BCC1B1 1 上的正投影是面积为定值的三角形;③在平面

D1 A1
E

C1 B1

A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线;④平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与
点 E 的位置有关,与点 F 的位置无关.

D

C
B

A

F

其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确结论的序号).

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 6 分) 已知直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 24 ,求直线 l 的方程.

18.(本小题满分 6 分) 已知直线 l1 : 2x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 :3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

19.(本小题满分 6 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, O 是正方形 ABCD 的中心,

PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点.
求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D

C O
B

A

20.(本小题满分 8 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 1, PB ? PD ? 2 ,点

E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2:1.
(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? E 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F , 使得 BF // 平面 ACE .

P

E

A

D

B

C

21.(本小题满分 7 分)

0) 0) 已知平面内一点 P 与两个定点 F1 (? 3 , 和 F2 ( 3 , 的距离的差的绝对值为 2.
(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 C ;

? (Ⅱ)设过 (0 , 2) 的直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原
点) ,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 7 分)

0) 0) 过 已知椭圆的两个焦点 F1 ( ? 3 , ,F2 ( 3 , , F1 且与坐标轴不平行的直线 m 与
椭圆相交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程;

0) (Ⅱ)若过点 (1, 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定
0) 点 E ( m , ,使 PE ? QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明
理由.

??? ??? ? ?

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6

A
7

B
8

A
9

C
10

B
11

C
12

C

B

A

A

D

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答 错不给分.) 题号 答案 13 14 15 16 ②③

?a , ? R ,如果 a3 ? b3 ,则 a ? b b

2, ? 120

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 6 分) 解:直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?

3 . 4

因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等, 所以 kl = ?

3 . 4 3 x+b , 4

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y =0 ,则 x =

4 b. 3

?????2 分

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,

1 4 2 3 所以 b= ? 6 .

所以 S = |b|| b|=24 , ? ?????4 分

所以直线 l 的方程为 y = ?

3 x?6, 4
?????6 分

即 3x +4 y +24=0 或 3 x +4 y ? 24=0 .

18.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4,
?????2 分

4 所以直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标为 ? ?2 , ? .
(Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切, 所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 32 ? 4 2
2

?

15 ? 3, 5
2

?????4 分

所以圆 C 的标准方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 .

?????6 分

19.(本小题满分 6 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, 所以 OE ∥ AP , 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD , 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE . 20.(本小题满分 8 分) ?????6 分 ?????5 分 ?????4 分 ?????3 分 ?????2 分

解: (Ⅰ)正方形 ABCD 边长为 1, PA ? 1 , PB ? PD ? 2 , 所以 ?PAB ? ?PAD ? 90 ,即 PA ? AB , PA ? AD ,
?

因为 AB ? AD ? A , 所以 PA ? 平面 ABCD . ??????2 分

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点,直线 AB , AD , AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建

1 0) 立空间直角坐标系,则 AC ? (1 ,, , AE ? (0 , , ) .
由(Ⅰ)知 AP 为平面 ACD 的法向量,

????

??? ?

2 1 3 3

??? ?

z
P

??? ? AP ? (0 , , , 0 1)

b c 设平面 ACE 的法向量为 n ? (a , ,) ,
由 n ? AC , n ? AE ,

?

?

??? ?

?

??? ?

F

E
D

?a ? b ? 0 , ? 得 ?2 1 ?3 b ? 3 c ? 0, ?
令 c ? 6 ,则 b ? ?3 , a ? 3 ,

A B x

y

C

? 6) 所以 n ? (3 , 3 , ,

?

??????4 分

? ? ??? ??? ? ? n ? AP 6 所以 cos ? AP, ?? ? ??? ? , n ? 3 n AP
即所求二面角的余弦值为

6 . 3
??? ?

??????5 分

1]) 1 ? ? ? (Ⅲ)设 PF ? ? PC (? ? [0 , ,则 PF ? ? (1 , , 1) ? (? , , ? ) , ??? ??? ??? ? ? ? BF ? BP ? PF ? (? ? 1 , ,? ? ) , ? 1

??? ?

??? ?

? 1 ? 6) 若 BF // 平面 ACE ,则 BF ? n ,即 BF ? n ? 0 , (? ? 1, ,? ? ) ? (3 , 3 , ? 0 ,

??? ?

?

??? ? ?

解得 ? ?

1 , 2

??????7 分

所以存在满足题意的点, 当 F 是棱 PC 的中点时, BF // 平面 ACE . 21.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点 P 的轨迹为双曲线, 其中 a ? 1 , c ? 3 ,则 b ? c ? a ?
2 2

??????8 分

2.
??????2 分

y2 =1 . 所以动点 P 的轨迹方程 C : x ? 2
2

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 ,1 ) , B( x2 ,2 ) , y y

? 2 y2 ? 1, ?x ? 由方程组 ? 得 2 ? k 2 x2 ? 4kx ? 6 ? 0 . 2 ? y ? kx ? 2 , ?

?

?

??????3 分

因为直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,

?2 ? k 2 ? 0 , ? 所以 ? 2 2 ?? =(4k ) ? 4 ? (2 ? k ) ? ( ? 6)>0 , ?
即 ? 6<k < 6 且 k ? ? 2 . 由根与系数关系得 x1 ? x2 ?

(?)

??????4 分

?4k ?6 , x1 ? x2 ? , 2 2?k 2 ? k2

因为 y1 ? kx1 ? 2, y2 ? kx2 ? 2 ,
2 所以 y1 y2 ? k x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .

??????5 分 ??????6 分

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2 所以 (1 ? k ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ,

??? ??? ? ?

所以 1 ? k

?

2

? ? 2 ?6 ?k

2

? 2k ?

?4k ? 4 ? 0, 2 ? k2

2 即 k ? 1 ,解得 k ? ?1 ,由 (?) 式知 k ? ?1 符合题意.

所以直线 l 的方程是 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 22.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c= 3 , 4a=8 , 所以 a=2 , b=1 , 所以椭圆的方程为

??????7 分

x2 2 +y =1 . 4

?????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y =k (x ? 1) , 因为点 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ?R .

? x2 2 ? +y =1, 由? 4 消去 y 得 (4k 2 +1)x2 ? 8k 2 x+4k 2 ? 4=0 , ? y =k (x ? 1) , ?
设 P (x1 ,1 ) , Q (x2 ,2 ) , y y 则由根与系数关系得 x1 +x2 =

?????3 分

8k 2 4k 2 ? 4 , x1 x2 = , 4k 2 +1 4k 2 +1
?????4 分

2 所以 y1 y2 =k (x1 ? 1)(x2 ? 1) ,

则 PE = (m ? x1 , y1 ) , QE = (m ? x2 , y2 ) , ? ? 所以 PE ? QE = (m ? x1 )(m ? x2 )+y1 y2
2 = m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +y1 y2 2 2 = m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +k (x1 ? 1)(x2 ? 1)

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

=m ?
2

8k 2 m 4k 2 ? 4 2 4k 2 ? 4 8k 2 + +k ( ? +1) 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
?????5 分



(4m2 ? 8m+1)k 2 +m 2 ? 4 4k 2 +1

要使上式为定值须

4m 2 ? 8m +1 4 17 = ,解得 m= , 2 m ?4 1 8

所以 PE ? QE 为定值

??? ??? ? ?

33 . 64
3 3 ) , Q (1, ? ), 2 2

?????6 分

当直线 l 的斜率不存在时 P (1 ,

??? ? 9 3 ??? ? 9 3 17 ? ) , QE = ( , ) , , 可得 PE = ( , 0) 8 2 8 2 8 ??? ??? 81 3 33 ? ? 所以 PE ? QE = ? = , 64 4 64 ??? ??? ? ? 17 33 综上所述当 E ( , 时, PE ? QE 为定值 . 0) 8 64
由E (

?????7 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)


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