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2016


第 11 课时

1.2.2 空间中的平行关系——直线与直线之间的位置关 系

课时目标 1.理解基本性质 4 与等角定理. 2.掌握异面直线所成角的求法.

识记强化

1.基本性质 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,用符号语言表示为若 a∥b,c ∥b,则 a∥c. 2.定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这 两个角相等. 3.空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内,我们就说它们共面,如果两条 直线共面,则它们平行或相交,否则它们是异面直线.与一个平面相交于一点的直线与这个 平面内不经过交点的直线是异面直线.

课时作业

一、选择题(每个 5 分,共 30 分) 1.异面直线是指( ) A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 答案:D 解析:不相交的直线有可能是平行也有可能是异面,故 A 不正确;如图①中,a? α , b? β ,但是,a∩b=A,故 B 不正确;如图②,a? α ,b?α ,但是 a∩b=A,故 C 不正确; D 是异面直线的定义.

2.若 a、b 是异面直线,b、c 是异面直线,则( A.a∥c B.a、c 是异面直线 C.a、c 相交 D.a、c 平行或相交或异面 答案:D

)

1

解析:a、b、c 的位置关系有下面三种情况,如图所示,由图形分析可得答案为 D.

3.空间两个角 α 、β 的两边对应平行,若 α =60°,则 β 为( ) A.60° B.120° C.30° 60°或 120° 答案:D 解析:由等角定理不难知 α 、β 相等或互补. 所以 β =60°或 120°. 4.下列说法中正确的是( ) A.空间中没有交点的两条直线是平行直线 B.一条直线和两条平行直线中的一条相交,则它和另一条也相交 C.已知空间中四条直线 a,b,c,d,如果 a∥b,c∥d,且 a∥d,那么 b∥c. D.分别在两个平面内的直线是平行直线 答案:C 解析:A 中,两直线也可能是异面直线;B 中,两直线也可能异面;D 中两直线也可能 相交或异面,故选 C. 5.过直线 l 外两点可以作 l 的平行线条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 或 1 答案:D 解析:以如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 为例.令 A1B1 所在直线为直线 l,过 l 外的 两点 A,B 可以作一条直线与 l 平行,过 l 外的两点 B,C 不能作直线与 l 平行,故选 D.

6.如图所示,设 E,F,G,H 依次是空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上除端点外 的点, = =λ , = =μ ,则下列结论中不正确的是( A.当 λ =μ B.当 λ ≠μ C.当 λ ≠μ D.当 λ =μ 答案:D 时,四边形 EFGH 是平行四边形 时,四边形 EFGH 是梯形 时,四边形 EFGH 一定不是平行四边形 时,四边形 EFGH 是梯形

AE AH AB AD

CF CG CB CD

)

AE AH EH FG AB AD BD BD EH∥FG,且 EH=FG;当 λ ≠μ 时,EH∥FG,但 EH≠FG,故 A,B,C 都对,只有 D 错误.故
选 D.

解析:由 = =λ ,得 EH∥BD,且 =λ ,同理得 FG∥BD,且 =μ .当 λ =μ 时,

2

二、填空题(每个 5 分,共 15 分) 7.下列叙述中不正确的是________(填序号). ①空间四边形的四个顶点不共面,它有四条边和两条对角线; ②空间四边形不是平面图形, 可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形沿 着公共底边适当翻折而成的空间图形; ③顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形; ④有三个角都是直角的空间四边形是矩形. 答案:④ 解析:由空间四边形的定义知①②③都是正确的.关于④可构造正方体 ABCD-A1B1C1D1, 如图,∠D1AB=∠ABC=∠BCD1=90°,∠AD1C=60°,空间四边形 ABCD1 不是矩形,故④不 正确.

8.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,异面直线 AC 与 B1C1 所成的角的大小为________.

答案:45° 解析:∵B1C1∥BC,∴∠ACB 为异面直线 AC 与 B1C1 所成的角. ∵∠ACB=45°,∴AC 与 B1C1 所成的角的大小为 45°. 9.如图所示,E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 的中点,若 BD =2,AC=4,则四边形 EFGH 的周长为________.

答案:6

EH綊 BD
解析:

? ? 1 ? EH=FG= BD=1, ? 2 1 FG綊 BD? 2 ?
1 2

1 同理 EF=GH= AC=2, 2 ∴四边形 EFGH 的周长为 6. 三、解答题 10.(12 分)如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a. (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA1 成异面直线? (2)求直线 BA1 和 CC1 所成的角的大小.

3

解:(1)因为 A1 不在平面 BC1 上,而点 B 和直线 CC1 都在平面 BC1 内,且 B?CC1,所以直 线 BA1 与 CC1 是异面直线.同理,直线 C1D1、D1D、DC、AD、B1C1 都和直线 BA1 成异面直线. (2)因为 CC1∥BB1,所以 BA1 和 BB1 所成的锐角就是 BA1 和 CC1 所成的角. 因为∠A1BB1=45°,所以 BA1 和 CC1 所成的角是 45°.

11.(13 分)如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,点 D,E 分别是△PAB,△PBC 的重 1 心.求证:DE∥AC,DE= AC. 3 证明:连接 PD,PE 并延长,分别交 AB 于点 G,交 BC 于点 H,则 G,H 分别是 AB 与 BC 的中点,

1 连接 GH,则 GH∥AC,且 GH= AC. 2 PE PD 2 在△PHG 中, = = , PH PG 3 2 ∴DE∥GH,且 DE= GH. 3 1 ∴DE∥AC,DE= AC. 3 能力提升 12.(5 分)

如图正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与 AD1 异面且与 AD1 所成的角为 90°的面对角线(面对角 线是指正方体各个面上的对角线)共有________条. 答案:1

4

解析:与 AD1 异面的面对角线分别为:A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有 B1C 和 AD1 所 成的角为 90°. 13.(15 分)已知 α ∩β =a,b? β ,a∩b=A,c? α ,且 c∥a,求证:b、c 为异面直 线. 证明:证法一:(定理法)如图所示,因为 c? α ,a∩b=A,α ∩β =a,所以 A∈a? α , 而 a∥c,所以 A?c.在直线 b 上任取一点 B(不同于 A).因为 b? β ,所以 B?α ,所以 AB 与 c 是异面直线.即 b、c 是异面直线.

证法二:(反证法)假设 b、c 不是异面直线,即假设 b、c 在同一平面 γ 内,则 b? γ , c? γ .又因为 a∩b=A,所以 A∈γ ,即点 A 和直线 c 均在面 γ 内.又因为 a∥c,A∈a, 所以 A?c.又因为 c? α ,A∈a? α ,所以过 c 与 c 外一点 A 有两个平面 α 和 γ ,这与基本 性质 3 的推论 1 矛盾.故 b、c 为异面直线.

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