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2012—2013学年中山市高二文科数学上学期期末调研考试

2012—2013 学年中山市高二文科数学第一学期
期末调研考试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.试卷满分 150 分.考试时间 100 分钟.

第Ⅰ卷
第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目 要求. 一.选择题 (1)不等式

x?2 ? 0 的解集为 x ?3
(B) {x | ?3 ? x ? 2} (D) {x | x ? ?2}

(A) {x | ?2 ? x ? 3} (C) {x | x ? ?2 ,或 x ? 3}

(2)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于 (A)1 (B)

5 3

(C)- 2

(D)3

(3)在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为 (A)

2π 3

(B)

5π 6

(C)

3π 4

(D)

π 3

x2 y2 (4)双曲线 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9
(A) y ? ?

3 x 2

(B) y ? ?

2 x 3

(C) y ? ?

9 x 4

(D) y ? ?

4 x 9

(5)已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3 , a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? (A)64 (B)81 (C)128 (6)对任意实数 a , b , c ,在下列命题中,真命题是 (A) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的必要条件 (C) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的充分条件
2

(D)243

(B) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的必要条件 (D) " ac ? bc " 是 " a ? b " 的充分条件

(7)抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(8)曲线 y ? sin x ? e 在点 (0,1) 处的切线方程是
x

(A) x ? 3 y ? 3 ? 0 (C) 2 x ? y ? 1 ? 0

(B) x ? 2 y ? 2 ? 0 (D) 3x ? y ? 1 ? 0

x2 (9)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3
外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 (A) 2 3 (B)6 (C) 4 3 (D) 12

(10)设 a,b,c 都是实数.已知命题 p : 若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ;命题 q : 若 a ? b ? 0 , 则 ac ? bc .则下列命题中为真命题的是 (A) (?p) ? q (B) p ? q (C) (?p) ? (?q) (D) (?p) ? (?q)

(11)已知 a ? 0 , b ? 0 ,则 (A)2

1 1 ? ? 2 ab 的最小值是 a b
(C)4
2

(B) 2 2

(D)5

(12)过点(-1,0)作抛物线 y ? x ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 (A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0

第Ⅱ卷
第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. (13)设{an}是等差数列,若 a2 ? 3 , a7 ? 13 ,则数列{an}前 8 项的和为________.

x2 y 2 1 (14)设椭圆 2 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点为 F (2,0) ,离心率为 , m n 2
则此椭圆的方程为______________. (15)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间 [?1,1] 上的最大值是_________.
3 2

(16)直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,
2

垂足分别为 P,Q,则梯形 APQB 的面积为__________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分) 在△ABC 中, cos B ? ?

5 4 , cos C ? ,AB=13,求 BC. 13 5

(18)(本小题满分 12 分) 设等比数列{ an }的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知 a3 =2, S 4 ? 5S 2 , 求{ an }的通项公式. (19)(本小题满分 12 分) 在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货车和 8 辆 乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输 费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,问如何安排车辆才能使运输费用 最少?最少为多少元? (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正 方形,短轴长为 2. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 过 P(? , ) 且与椭圆相交于 A,B 两点,当 P 是 AB 的中点时, 求直线 l 的方程.

1 1 2 2

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ?

9 2 x ? 6x ? 1. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值.

(22)(本小题满分 12 分) 设 F 是抛物线 G: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,过 F 且与抛物线 G 的对称轴垂直的直线被抛物
2

线 G 截得的线段长为 4. (Ⅰ)求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两点,且满足 FA⊥FB,延长 AF、BF 分别交抛物线 G 于点 C、D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

高二数学(文科)第一学期期末调研考试 答
一.选择题:
(1)A (2)C (3)A (4)A (5)A (6)B (7)D (8)C (9)C (10)D (11)C (12)D



二.填空题:
(13) 64,(14)

x2 y2 ? ? 1 ,(15) 2, (16) 48. 16 12

三.解答题:
(17)(本小题满分 10 分) 解: 由 cos B ? ? 分

5 得 B 为钝角, A, C 为锐角, ? 0, 13

?????2

12 , 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5
且 sin B ? ∴

??3 分 ?4 分

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
∵AB=13,由正弦定理得 ∴

33 . 65

?????6 分 ??8 分

BC AB , ? sin A sin C

BC ?

AB ? sin A 33 5 ? 13 ? ? ? 11 . sin C 65 3

?????10

分 (18)(本小题满分 12 分) 解:∵数列{ an }是等比数列,∴ a1 ? 0 , an ? a1q
n ?1

, Sn ?

a1 (1 ? q n ) , 1? q

??2 分

? a1q 2 ? 2, (1) ? 依题意可得: ? a1 (1 ? q 4 ) , a1 (1 ? q 2 ) ? 5 ? ? 1? q 1 ? q (2) ?
4 2 2 2

??5 分

由(2)得 1 ? q ? 5(1 ? q ) , (q ? 4)(q ? 1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ? 1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . ???8 分

当 q ? ?1 时,代入(1)得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1) 当 q ? ?2 时,代入(1)得 a1 ? (19)(本小题满分 12 分)

n ?1



?10 分 ?12 分

1 1 ,通项公式 an ? ? (?2) n ?1 . 2 2
?

解:设需要甲型车辆 x 台( x ? N ) ,乙型车辆 y 台( x ? N ) . 则由题意可得: 0 ? x ? 4 , 0 ? y ? 8 , 20 x ? 10 y ? 100 , 运费 z ? 400 x ? 300 y 元.

?

?1 分 ??4 分 ?5 分

? 0? x?4 ? 作出点 P( x, y ) 所满足的不等式组 ? 0 ? y ? 8 ? 2 x ? y ? 10 ?
表示的平面区域(如 图). 由右图可见,在满足约束条件下, 目标函数 z ? 400 x ? 300 y 在 B 点取得最小 值. 解方程组 ? 所以, ?????9 分 ?????8 分

?

x?4

?2 x ? y ? 10

可得 x ? 4 , y ? 2

zmin ? 400 x ? 300 y ? 2200 .

????10 分

答:甲型车辆安排 4 台,乙型车辆安排 2 台,使运输费用最少,最少为 2200 元. ?12 分 (20)(本小题满分 12 分) 解:设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

??1 分

?b ? c ? (Ⅰ)由已知可得 ?2b ? 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

?a 2 ? 2 ? 2 ?b ? 1 . ?c 2 ? 1 ?

?4 分

x2 ? y 2 ? 1. ∴所求椭圆方程为 2
(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,

???5 分

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ?

1 2

1 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 2

???6 分



x12 x2 2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 ? 1, 2 2
y1 ? y2 1 x ?x ?? ? 1 2 . x1 ? x2 2 y1 ? y2
???8 分

上面两式相减得:

∵P 是 AB 的中点,∴

x1 ? x2 1 y ? y2 1 ?? , 1 ? , 2 2 2 2
y1 ? y2 1 ? , x1 ? x2 2
?10 分

代入上式可得直线 AB 的斜率为 k ? ∴直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .

当直线 l 的斜率不存在时,将 x ??

1 14 1 ) , 代 入 椭 圆 方 程 并 解 得 A(? , 2 4 2

1 14 B(? , ? ), 2 4
这时 AB 的中点为 ( ?

1 1 , 0) ,∴ x ? ? 不符合题设要求. 2 2
??12 分

综上,直线 l 的方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . (特别说明:没说明斜率不存在这种情况扣 2 分) (21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) .
' 2

??3 分 ??4 分 ??5 分 ??6 分 ??7 分

∴当 x ? 1或 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;
'

∴函数 f ( x) 的递增区间是 (??,1) , (2, ??) ; 函数 f ( x) 的递减区间是 (1, 2) . (Ⅱ)∵ f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) .
' 2

又 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
'
2

?9 分

∴ ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 解得 m ? ? 即 m 的最大值为 ? (22)(本小题满分 12 分) 解: (I)∵抛物线 G 的焦点为 F (

3 , 4

??11 分 ??12 分

3 . 4

p , 0) , 2 p p p ∵直线 x ? 与 G 的交点为 ( , p) , ( , ? p ) , 2 2 2
∴依题意可得 2 p ? 4 ,∴ p ? 2 , ∴抛物线 G 的方程为 y ? 4 x .
2

??1 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分

(II)设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) ,由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,且 k ? 0 , ∵直线 AC 过焦点 F (1,0) ,所以直线 AC 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ??6 分 ∵点 A,C 的坐标满足方程组 ?

? y ? k ( x ? 1),
2 ? y ? 4 x,

∴消去 y 得: k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,

??7 分

4 ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 , 由根与系数的关系得: ? k ? ? x1 x2 ? 1.
∴ AC ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

? 4(1 ?

1 ). k2

????8 分

因为 AC ? BD ,所以 BD 的斜率为 ? 同理,可以求得: BD ? 4(1 ? k ) .
2

1 1 ,从而 BD 的方程为 y ? ? ( x ? 1) . k k
??9 分

∴ S ABCD ?

1 1 AC ? BD ? 8(2 ? k 2 ? 2 ) ? 32 ,当且仅当 k 2 ? 1 时,等号成立, 2 k
??12 分

所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32.


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