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空间向量及其加减运算1


一.创设情境
F
如图,一正三角形钢板,三 顶点用等长的绳子绑起,在 力F的作用下静止,三绳子 的受力情况如何?

F
通过这个实验,我们发现三角形钢板受到的

三个力的特点是:(1)三个力不共面,(2)

三力既有大小又有方向,但不在同一平面上。
所以解决这类问题,需要空间知识,而这种 不在同一平面上的既有大小,又有方向的量, 我们称之为“空间向量”。这就是我们今天 所研究的内容:“空间向量及其加减运算”

二.温故知新
2.表示方法
A

1.定义 向量:既有大小又有方向的量
??? ? 向量A B

B

a

3.模(大小) 4.其它向量 零向量:

AB

a

? 长度为0的向量,记为 0 ;

单位向量:长度为1的向量. 相等向量: 相反向量: 平行向量(共线向量): 方向相同或相反的非零向量叫平行向量.

2、平面向量的加法、减法
C

D

C

b
A
B a 向量加法的三角形法则 C

b
A

a

B

向量加法的平行四边形法则

b
A

3、平面向量的加法运算律 加法交换律:

a

B

a?b ? b?a
加法结合律:

向量减法的三角形法则

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

凡涉及空间两个向量的问题,平 面向量中有关结论仍适用于它们。

空间向量加法的推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量.

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

空间中,任意两个向量是否可能异面?
D’

a
A’ B’ M

C’

D
A B

C

结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。

已知平行六面体 ABCD? A' B' C ' D',化简下 例1. 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA';
1 (3) ( AB ? AD ? AA' ). 3
D A A’

D’ B’

C’

C
B

⑴AB ? BC;

D’ A’ B’

C’

⑵AB ? AD ? AA'; 解: AB ? BC ? AC ⑴ ⑵AB ? AD ? AA'
? AC ? AA'

D
A B

C

  AC ? CC' ? ? AC'

结论:始点相同的三个不共面的向量之和,等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始 点的对角线所示向量。——平行六面体法则

1 (3) ( AB ? AD ? AA' ). 3

设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB ? AD ? AA' ) 3 1 ? AC ' 3
A’ D’ B’ C’

G
D

.
C B

? AG.
A

练习1.已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简 ???? ???? 1 ????? ? AB ? AD ? CC ',并标出化简结果的向量: 2

解:设M是线段CC’的中点,则
1 AB ? AD ? CC ' 2
D’ C’ B’ M

? AC ? CM

A’

? AM
D A B
C

练习2.已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ', ???? ???? ???? ? ? ????? ????? 用AB, , ',表示向量BD ' 和 BC ' AD AA

解:

????? ??? ???? ???? ? ? BD ' ? BA ? BC ? BB '
???? ???? ???? ? ? ? ? AB ? AD ? AA '
A’

D’

C’

B’
M

????? ???? ???? ? BC ' ? BB ' ? BC
???? ???? ? ? ? AA ' ? AD
A D B

C

小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量 加法:平行四边形法则 加法:平行四边形法则 或三角形法则 加、 或三角形法则 减法 减法:三角形法则 运算 减法:三角形法则 不共面的三个向量的和:
平行六面体法则 运 算 律
加法交换律 加法结合律

a?b ? b?a

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

类比方法

数形结合思想

1. 空间向量的数乘运算

? ? 实数?与空间向量a的乘积? a 仍然是一个向量.
(1)大小:|λ a|=|λ |· |a|; (2)方向:λ >0时同向, λ <0时反向, λ =0时λ a=0.

1. 空间向量的数乘运算

(3)运算律: ? ? ? ? 分配律:(a+b ? a+? b ? )= ? ? 结合律:(? a)=?? a ?

2. 共线向量
共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互 相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量.规 ? ? 定: o 与任一向量 a 是共线向量.

共线向量基本定理:

? ? ? ? 对空间任意两个向量a, b(b ? 0), ? ? ? ? a // b ? 存在实数?,使得a ? ? b.

uuu r uuu r uuu r 若 OP = xOA + yOB ,则点P、A、B共线的

充要条件是x+y=1;
点P在直线l上

r A 存在实数t,使 A P = ta

?r uuu

? a

P

l B

?
?
? ?

u uuu uur r r OP OA + ta u uuu r uuu uur r OP OA + tAB r r uuu uuu r uuu uuu r OP OA + t (OB - OA ) uuu r uuu r uuu r OP (1 - t )OA + tOB

O

3. 共面向量
平行于同一平面的向量,叫做共面向量

空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面。

3. 共面向量
若向量a,b不共线,则向量p与a,b共面 的充要条件是:存在惟一的有序实数对 (x,y),使p=xa+yb.
?C b A ? B a
?? p

?? p

空间一点P位于平面ABC内

C
P B

? 存在有序实数对(x,y),A uuu r uuu r uuu r
使A P = x A B + yA C
uuu r ? OP uur u uuu r uuu r OA = x A B + yA C

u u u uuu uur r uuu uur r uuu uur r ? OP OA = x (OB - OA ) + y (OC - OA ) uur u uuu r uuu r uuu r ? OP (1 - x - y )OA + xOB + yOC

O

对空间任一点O和不共线三点A、B、C, uuu r uuu r uuu r uuu r 若 OP = xOA + yOB + zOC ,则点P在平 面ABC内的充要条件是 x+y+z=1.

1.若对任一点O和不共线的三点A、B、C, 且有 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的( C ) A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外的 任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、 B、C一定共面?
(1)OB ? OC ? 3OP ? OA (2)OP ? 4OA ? OB ? OC

例1.如图,已知平行四边形ABCD,过平面AC外 一点O作射线OA、OB、OC、OD,在四条射线上 分别取点E、F、G、H,并且使
OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD

O

求证:四点E、F、G、H共面; A

D
B H

C
G F

E

4.小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合. 叫做共面向量.

? ?? ? 定理 a // b (b ? 0)

? ? a ? ?b

? ? a b

p

共面

p ? x? ? yb

推论

??? ? ???? ??? ? OP ? xOA ? yOB ( x ? y ? 1)
判断三点共线, 或两直线平行

??? ? ??? ??? ???? ? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)
判断四点共面, 或直线平行于平面

运用

例2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
D1 C1 B1

(2)

AC ? AB1 ? AD ? x AC1 1

A1

D

C B

A

(1) AB1 ? A1D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1D1 ? C1C
? ( AB ? AA ) ? AD ? (? AA ) A1 1 1
D1 B1 C1

? AB? AD
? AC
? x ? 1.
A D B C

(2) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1 ???? ???? ???? ? ? 解:AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
A1
D1

C1

B1

? x ? 2.
A

D B

C

P89练习:1,2,3.

练习1.空间四边形ABCD中,E、F分别 是BC、CD边的中点,化简:
A

D F B E

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AF ? ( AB ? AC) 2

C

1 (1) AB ? ( BC ? BD ) 2
A

1 (2) AF ? ( AB ? AC ) 2

(1) 原式 ? AB? BF
=AF
D F

(2)原式 =AF ? AE

? EF

B

E

C

练习2.在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x、y的值.

???? ? ??? ??? ???? ? ? ? (1) AC? ? x( AB ? BC ? CC?) ??? ????? ??? ???? ? ? (2) AE ? AA? ? xAB ? yAD ??? ??? ? ? ??? ? ???? (3)AF ? AD ? xAB ? yAA?

A B

E C

D

A B

D C

(1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ' )

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

(1) AC ? AB ? AD ? AA
'

'

? AB ? BC ? CC '

?x ?1

A

E C

D

B
A B

(2) AE ? AA ? A?E
'

1 ?x ? y ? 2

1 ? AA ? ( AB ? AD ) 2
,

D
C


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