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北京市石景山区2012-2013学年高二上学期期末考试数学文试题


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.复数 z ? ? 1 ? 2 i 所对应的点在( A.第一象限 2.复数
1? i 1? i ?(

) C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限 ) B. ? 1

A. 1
2

C. i )
2 C. (0 , )

D. ? i

3.抛物线 y ? 8 x 的焦点坐标为(
0 A. ( 2 , )
0 B. ( ? 2 , )

? D. (0 , 2 )

4 2 4.已知直线经过点 A (0 , ) 和点 B (1 , ) ,则直线 AB 的斜率为(

) D.不存在

A. 2

B. ? 2

C. ?

1 2

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 是( A.
1 2

) B. 3 ?

1 1

1

1

2

主视图
2
1

左视图

C. 2 ?

2

D. 6

1

俯视图 6.双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的渐近线方程为(



4

4

A. y ? ? x

B. y ? ? 2 x

C. y ? ? 2 x

D. y ? ? 4 x

7.已知命题 q : ? x ? R , x ? 1 ? 0 ,则 ? q 为(
2



x A. ? x ? R , ? 1 ? 0
2

x B. ? x ? R , ? 1 ? 0
2

x C. ? x ? R , ? 1 ? 0
2

x D. ? x ? R , ? 1 ? 0
2

2) 8.过点 P ( ? 1 , 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为(

) D. 2 x ? y ? 4 ? 0

A. x ? 2 y ? 3 ? 0

B. x ? 2 y ? 5 ? 0

C. x ? 2 y ? 3 ? 0

m 9. 已知 ? , 表示两个不同的平面, 为平面 ? 内的一条直线, 则“ ? ? ? ”是 m ? ? ” “ ?

的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

1) B 10.过点 (1 , 的直线 l 与圆 x ? y ? 4 交于 A , 两点,若 | A B |= 2 2 ,则直线 l 的方

程为(

) B. x ? 2 y +1= 0 C. 2 x ? y ? 1= 0 D. x ? y ? 1= 0

A. x + y ? 2 = 0

n l ? 11.已知三条不同直线 m , , ,两个不同平面 ? , ,有下列命题:

① m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ② m ? ? , n ? ? , l ? m , l ? n ,则 l ? ? ③ ? ? ? , ? ? ? = m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? ④ m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? 其中正确的命题是( A.①③ ) B.②④ C.③ D.①②④

12.若椭圆 C 1 :

x

2 2

?

y b1

2 2

a1

? 1 ( a 1 ? b 1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x

2 2

?

y b2

2 2

a2

? 1( a 2 ? b 2 ? 0 )

的焦点相同,且 a 1

? a2

,则下面结论正确的是(

) ② a 1 ? a 2 ? b1 ? b 2 ④
a1 ? a 2 ? b1 ? b 2
2 2 2 2

① 椭圆 C 1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 ③
a1 a2 ? b1 b2

A.②③④

B. ①③④

C.①②④

D. ①②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上. 13.如果复数 z ? ? 2 ? i ,则 z =________, z ? i =________.
3

b 14.命题“ ? a , ? R ,如果 a ? b ,则 a ? b ”的逆命题是____________________.
3 3

15. 椭圆

x

2

?

y

2

9

2

? 1 的焦点为 F1 , 2 , P 在椭圆上, | P F1 | ? 4 , | P F 2 | ? _________; F 点 若 则

? F1 P F 2 的小大为__________.

16.如图,正方体 A B C D - A1 B1C 1 D 1 中, E , F 分别为棱 D D 1 , A B 上的点.已知下列 判断: A1 C ^ 平面 B1 E F ; D B1EF 在侧面 B C C 1 B 1 上的正投影是面积为定值的三 ① ② 角形;③在平面 A1 B1C 1 D 1 内总存在与平面 B1 E F 平行的直线. 其中正确结论的序号为__________(写出所有正确结论的序号).
D1

C1 B1

A1
E

D
A F

C

B

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤.

17.(本小题满分 5 分) 实数 x 取何值时,复数 z ? ( x ? x ? 2 ) ? ( x ? 3 x ? 2 ) i 是实数?是虚数?是纯虚
2 2

数?

18.(本小题满分 6 分) 已知直线 l 与直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 2 4 ,求直线 l 的方程.

19.(本小题满分 6 分)

已知直线 l1 : 2 x ? y ? 0 ,直线 l 2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l 3 : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l 3 相切的圆 C 的标准方程.

20.(本小题满分 7 分)

如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是正方形, O 是正方形 A B C D 的中心,
P O ? 底面 A B C D , E 是 P C 的中点.

求证: (Ⅰ) P A ∥平面 B D E ; (Ⅱ)平面 P A C ? 平面 B D E .

P

E

D
O

C

A

B

21.(本小题满分 8 分)

如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是菱形, ? A B C ? 6 0 ? , P A ? 平面
A B C D ,点 M , 分别为 B C , A 的中点,且 PA ? AB ? 2 . N P

(Ⅰ)证明: B C ⊥平面 A M N ; (Ⅱ)求三棱锥 N ? AMC 的体积; (Ⅲ)在线段 P D 上是否存在一点 E ,使得 N M // 平面 A C E ;若存在,求出 P E 的 长;若不存在,说明理由.
P

N

A

D

B

M

C

22.(本小题满分 8 分)

0 0 已知椭圆的两个焦点 F1 ( ? 3 , ) ,F 2 ( 3 , ) , F1 且与坐标轴不平行的直线 m 与 过

椭圆相交于 M , N 两点,如果 ? M N F 2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1 , ) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定 0 点 E ( m , ) ,使 P E ? Q E 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标及定值;若不存在,请说明 0 理由.
??? ??? ? ?

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷

高二数学(文科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1
B

2
D

3
A

4
B

5
B

6
A

7
C

8
D

9
B

10
A

11
C

12
C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答 错不给分.) 题号 答案 13
?2 ? i , 2 ?
?a , ? R b

14 ,如果 a ? b ,则 a ? b
3 3

15
2 , 20 1
?

16 ②③

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 5 分)
x 解: 令 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 , ? 1 ;
2

x 令 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 , ? ? 1 .
2

?????2 分 ?????3 分 ?????4 分 ?????5 分

所以 当 x ? ? 2 或 x ? ? 1 时,复数 z 是实数; 当 x ? ? 2 且 x ? ? 1 时,复数 z 是虚数; 当 x ? 1 时,复数 z 是纯虚数. 18.(本小题满分 6 分) 解:直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?
3 4

.

因为直线 l 与直线 3 x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,

所以 k l = ?

3 4

.
3 4 x+b ,

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y = 0 ,则 x =
4 3 b.

?????2 分

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 4 , 所以 S =
1 2 | b |?| 4 3 b |= 2 4 ,

所以 b = ? 6 . 所以直线 l 的方程为 y = ?
3 4 x?6 ,

?????4 分

即 3 x + 4 y + 24= 0 或 3 x + 4 y ? 24= 0 . 19.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?
? 2x ? y ? 0,

?????6 分

?x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 4,

得?

? x ? ?2 ,

4 所以直线 l1 和直线 l 2 交点 C 的坐标为 ? ? 2 , ? .

?????3 分

(Ⅱ)因为圆 C 与直线 l 3 相切, 所以圆的半径 r ?
? 6 ? 16 ? 5 3 ? 4
2 2

?

15 5

? 3,

?????5 分

所以圆 C 的标准方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 4 ? ? 9 .
2 2

?????6 分

20.(本小题满分 7 分) 证明: (Ⅰ)连结 O E . 因为 O 是 A C 的中点, E 是 P C 的中点, 所以 O E ∥ A P . 又因为 O E ? 平面 B D E , P A ? 平面 B D E , 所以 P A ∥平面 B D E . (Ⅱ)因为 P O ? 底面 A B C D , 所以 P O ? B D . ?????4 分 ?????3 分 ?????2 分

又因为 A C ? B D ,且 A C ? P O = O , 所以 B D ? 平面 P A C . 而 B D ? 平面 B D E , 所以平面 P A C ? 平面 B D E .

?????5 分 ?????6 分

?????7 分

21.(本小题满分 8 分) 证明: (Ⅰ) 因为 A B C D 为菱形,所以 A B = B C , 又 ? A B C ? 6 0 ,所以 A B = B C = A C . 因为点 M 为 B C 的中点,所以 B C ? A M , 而 P A ? 平面 A B C D , B C ? 平面 A B C D , 所以 P A ? B C .
B
?

P

N

E

A

D

M

C

又 P A ? A M ? A ,所以 B C ? 平面 A M N . (Ⅱ)因为 S ? A M C ?
1 2 AM ?CM ? 1 2 ? 3 ?1 ? 3 2

?????2 分

,

又 P A ? 底面 A B C D , P A ? 2 ,所以 A N ? 1 . 所以三棱锥 N ? A M C 的体积
V ? 1 3

S ?AM C ? A N ?

1 3

?

3 2

?1 ?

3 6



?????4 分 ?????5 分

(Ⅲ)在 P D 上存在一点 E ,使得 N M // 平面 A C E . 取 P D 中点 E ,连结 N E , E C , A E . 因为 N , E 分别为 P A , P D 中点, 所以 NE //
1 2 AD . 1 2 AD ,

又在菱形 A B C D 中, C M //

所以 NE // MC ,即 M C E N 是平行四边形, 所以 NM // EC .

?????6 分

又 EC ? 平面 A C E , NM ? 平面 A C E , 所以 M N // 平面 A C E , 即在 P D 上存在一点 E ,使得 N M // 平面 A C E , 此时 P E ?
1 2 PD ? 2 .

?????7 分

?????8 分

22.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c = 3 , 4 a = 8 , 所以 a = 2 , b =1 , 所以 椭圆的方程为
x
2

+ y =1 .

2

?????2 分

4

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y = k ( x ? 1) , 因为点 (1, 0 ) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ? R .
?x 2 + y =1 , ? 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得 ( 4 k +1) x ? 8 k x + 4 k ? 4 = 0 , ? y = k ( x ? 1) , ?
2

?????3 分

设 P ( x1 ,y1 ) , Q ( x 2 ,y 2 ) , 则由根与系数关系得 x1 + x 2 =
2

8k
2

2

4 k +1

, x1 x 2 =

4k ? 4
2

4 k +1

2

, ?????4 分

所以 y 1 y 2 = k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ,
? ? 则 P E = ( m ? x1 , y 1 ) , Q E = ( m ? x 2 , y 2 ) ,

??? ?

??? ?

所以 P E ? Q E = ( m ? x1 )( m ? x 2 )+ y 1 y 2 = m ? m ( x1 + x 2 )+ x1 x 2 + y 1 y 2
2

??? ??? ? ?

= m ? m ( x1 + x 2 )+ x1 x 2 + k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1)
2 2

=m ?
2 2

8k m 4 k +1
2

2

+

4k ? 4
2

4 k +1
2 2

2

+k (

2

4k ? 4
2

4 k +1

2

?

8k
2

2

+1)

4 k +1



(4 m ? 8 m +1) k + m ? 4 4 k +1
2

?????5 分

要使上式为定值须
??? ??? ? ?

4 m ? 8 m +1
2

m ?4
2

=

4 1

,解得 m =

17 8



所以 P E ? Q E 为定值

33 64

.
3 2 3 2

?????6 分

当直线 l 的斜率不存在时 P (1 ,
17

) , Q (1 , ?

),

由E (

??? ? ??? ? 9 3 9 3 ? ) ,QE = ( , ), , ) 可得 P E = ( , 0 8 2 8 2 8
81 64 ? 3 4 = 33 64

所以 P E ? Q E =

??? ??? ? ?



?????7 分

综上所述当 E (

17

??? ??? ? ? 33 , ) 时, P E ? Q E 为定值 0 . 8 64

?????8 分

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)


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