当前位置:首页 >> >>

2010年广东省深圳市福田中学等八校高三数学联考试题(文)

2010 年广东省深圳市福田中学等八校高三数学联考试题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题共 50 分)和第 II 卷(非选择题共 100 分)两部分。考试时间为 120 分钟, 满分为 150 分。 参考公式: 三棱锥的体积公式 V三棱锥 ?

1 sh ,其中 s 表示三棱锥的底面面积, h 表示三棱锥的高。 3

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 M ? x | x ? x ? 3? ? 0 , N ? x | x ? 2 ,则 M ? N = A. ?? 2,0? B. ?0,2?
2

?

?

?

?





C. ?2,3?

D. ?? 2,3? ( )

2.已知命题 p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0, 则 A. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

B. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

C. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

D. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

? ? ? ? 3.向量 a =(1,-2) b =(6,3) , ,则 a 与 b 的夹角为

( D. 150?



A. 60?

B. 90?

C. 120?

4.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 已知 A= A.1 B.2 C. 3 —1

? , a= 3 , b=1,则 c= 3 D. 3

(

)

5.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是 A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ ( ) ② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ? ( )

6. 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图, 则

? ? A. ? = , ? = 2 4 ? ? C. ? = , ? = 4 4

? ? B. ? = , ? = 3 6 ? 5? D. ? = , ? = 4 4

y 1 o 1 3 x

7. 如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形

的直角边长为 1,那么这个几何体的表面积为





A.

3? 3 2
1 6

B. 3 ? 3

C.

D.

3 2

正视图

侧视图

俯视图

8. 已知点 F1、F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 a 2 b2
( )

A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率是 A.

1 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

3 3

9. 对 于 实 数 x , 符 号 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 例 如 [? ] ? 3, [?1.08] ? ?2, 定 义 函 数

f ( x) ? x ? [ x], 则下列命题中正确的是
A. f (3) ? 1 C.函数 f (x) 是周期函数 B.方程 f ( x) ?





1 有且仅有一个解 2

D.函数 f (x) 是增函数

10.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字表示该 段网线单位时间内可以通过的最大信息量。 现从结点 A 向结点 B 传递信息, 信息可以分开沿不 同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为 A.26 C.20 B.24 D.19

3 6

B

4 7

5 6 6 8

12 12

(

)

A

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)


二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4= 12.如图,在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足 条件 时,有 A1C⊥B1D1.

(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13. 直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长, 则
2 2

1 1 ? 的最 a b

小值为



14.某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投

资的

2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利 3

润,对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在两个项目上共 可获得的最大利润为 万元.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ?1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [

?

?

? ?

?
6

,

?
2

] 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值.

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
2

a x

( x ? 0 ,常数 a ? R )

(1)讨论函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由;
? (2)若函数 f (x) 在 x ? [ 2, ? ) 上为增函数,求 a 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)求三棱锥 C-BEP 的体积.
B E A C D P

F

18. (本小题满分 14 分) 设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,

a3 ? 4 构成等差数列.
(1)求数列 {an } 的通项; (2)令 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,? 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

19. (本小题满分 14 分) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若 存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

??? ???? ?

20. (本小题满分 14 分) 已知 a, b, c ? R ,且三次方程 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ? 0 有三个实根 x1 , x2 , x3 .
3 2

(1)类比一元二次方程根与系数的关系,写出此方程根与系数的关系; (2)若 a ? Z , b ? Z且 | b |? 2 , f ( x ) 在 x ? ? , x ? ? 处取得极值且 ?1 ? ? ? 0 ? ? ? 1 ,试求此方 程三个根两两不等时 c 的取值范围.

2010 届高三月考联考

文科数学试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

A

B

B

C

C

A

D

C

D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. 13. 8 ; ; 12. AC⊥BD ( ABCD 是正方形或菱形); 14.

4

31.2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1
……………………………………………………

1分

? 3sin 2x ? cos 2x ? ? 2sin(2 x ? ) . 6 ? f ( x) 的最小正周期是 ? .
(2) 由 f ( x) ? 1, 得 sin ? 2 x ? ∵ x ?[ ∴ x?

………………………………………………………………………………

2分 4分

……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

6分

? ?

??
?

1 ?? 6? 2

………………………………………….8 分

? ?
6 2 ,

] ,∴ 2 x ?

?

? 7? ? 5? ?[ , ] ∴ 2x ? ? 6 2 6 6 6

…………………………

10 分

3

…………………………………………………………………12 分

16.(本小题满分 12 分)
0) ? 解:(1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ,对任意 x ? ( ? ?, ? (0, ? )

f (? x) ? (? x) 2 ? x 2 ? f ( x)
当 a ? 0 时, f ( x) ? x2 ?

?

f (x) 为偶函数

…………………………………

3分

a ( a ? 0, ? 0) x x

取 x ? ?1 ,得 f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0
? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1) ? 函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数……6 分 ? (2)解法一:要使函数 f (x) 在 x ? [ 2, ? ) 上为增函数 ? 等价于 f ( x) ? 0 在 x ? [ 2, ? ) 上恒成立
'
……………………………………………………

8分

即 f ( x) ? 2 x ?
'

a ? 0 在 x ? [ 2, ? ) 上恒成立,故 a ? 2 x3 在 x ? [ 2, ? ) 上恒成立 ? ? x2
……………………………………………………

∴ a ? (2x3 )min ? 16 ∴
16] a 的取值范围是 ( ? ?,

10 分 12 分

……………………………………………………………………

解法二:设 2 ≤ x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ?

a a ( x1 ? x2 ) 2 ? x2 ? ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? a ? ? x1 x2 x1 x2

…………

8分

? 要使函数 f (x) 在 x ? [ 2, ? ) 上为增函数,必须 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立 ? x1 ? x2 ? 0, ,即 a ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) 恒成立
……………………………………………………

10 分

又? x1 ? x2 ? 4 , x1 x2 ? 4

? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? 16

? a 的取值范围是 ( ? ?, 16]
17.(本小题满分 14 分) 证明: (1)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG ∴FG 为△CDP 的中位线 ∴FG //

……………………………………………………………………

12 分

P

1 CD……1 分 2

F G

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点 ∴AB //
1 CD 2

∴FG // AE
B

E

A C

D

∴四边形 AEGF 是平行四边形 ………………2 分 ∴AF∥EG ………3 分 又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE ………4 分 ∴AF∥平面 PCE ………………………………………5 分 (2)∵ PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥AD,PA⊥CD,又 AD⊥CD,PA ? AD=A

∴CD⊥平面 ADP 又 AF ? 平面 ADP ∴CD⊥AF …………………………………………………… 6 分 直角三角形 PAD 中,∠PDA=45° ∴△PAD 为等腰直角三角形 ∴PA=AD=2 …………………………………… 7 分 ∵F 是 PD 的中点 ∴AF⊥PD,又 CD ? PD=D ∴AF⊥平面 PCD ∵AF∥EG ∴EG⊥平面 PCD 又 EG ? 平面 PCE 平面 PCE⊥平面 PCD (3)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE PA 是三棱锥 P-BCE 的高, Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积 VC-BEP=VP-BCE=
……………………………………………………

8分 9分

……………………………………………………

……………………………………………………

10 分 ……………………………………………………11 分

1 1 1 1 1 2 S?BCE ? PA ? ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? 3 3 2 3 2 3



14 分

18.(本小题满分 14 分)

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ? 解: (1)由已知得 : ? (a ? 3) ? (a ? 4) 1 3 ? 3a2 . ? ? 2
设数列 {an } 的公比为 q ,由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

解得 a2 ? 2 .…………………1 分

2 ,a3 ? 2q . q

又 S3 ? 7 ,可知

2 ? 2 ? 2q ? 7 ,即 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 , q
1 . 2

……………………………

4分

解得 q1 ? 2,q2 ?

由题意得 q ? 1 ? q ? 2 . ?a1 ? 1 .……………………………………………………………………… 6 分 , 故数列 {an } 的通项为 an ? 2n?1 .
… ……………………………………………………………………………

8分

(2)由于 bn ? ln a3n?1,n ? 1 2, , ,?

由(1)得 a3n?1 ? 23n 10 分

?bn ? ln 23n ? 3n ln 2 = 3ln 2 ? n
又 bn?1 ? bn ? 3ln 2 ? d

………………………………………………………………………………

?{bn } 是首项为 3 ln 2 公差为 3 ln 2 的等差数列
?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
?

………………………………

12 分

n(b1 ? bn ) n(3ln 2 ? 3n ln 2) 3n( n ? 1) ? ? ln 2. ……………………………………………14 分 2 2 2

19. (本小题满分 14 分) 知: MF ? MN

解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N ,由题意
……………………………………

2分
M

即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等,

由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点,

N
A

x

x ? ?1 为准线,
∴动圆圆心的轨迹方程为 y ? 4 x ……………………………………5 分 (2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0)
2

o

F ?1,0 ?

x ? ?1

由?

? x ? k ( y ? 1)
2 ? y ? 4x

得 y ? 4ky ? 4k ? 0
2

△ ? 16k ? 16k ? 0 ,? k ? 0或k ? 1 …………………………………………………………………………7 分 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k ……………………………………………9 分
2

由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即k
2

??? ???? ?

??? ?

????

……

11 分

? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 y2 ? 0 , (k 2 ?1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ,
∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0

, 4k (k 2 ? 1) ? k 2 ? 4k ? k 2 ? 0 ,解得 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去) 又 k ? ?4 ? 0 ,

…………………………………

13 分

……………………………

14 分

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)由已知,得 x ? ax ? bx ? c ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) ,比较两边系数,
3 2

得 a ? x1 ? x2 ? x3 , b ? x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1 , c ? x1 x2 x3 .

………………………………

4分

(2)令 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,要 f ( x) ? 0 有三个不等的实数根,则函数 f ( x ) 有 一个极大值和一个极小值,且极大值大于 0,极小值小于 0.
……………………………

5分

由已知,得 f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ? 0 有两个不等的实根 ? , ? ,

? f ' (?1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 (1) ? ? ?1 ? ? ? 0 ? ? ? 1 ,? ? f ' (0) ? b ? 0 (2) ? f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 (3) ?

得 ? 3 ? b ? 0 .…………… 6 分

又 | b |? 2, b ? Z ,? b ? ?1 ,将 b ? ?1 代入(1) ,有 ?1 ? a ? 1 ,又 a ? Z (3)

a ? 0 .? f ( x) ? x3 ? x ? c
则? ? ?

f ' ( x) ? 3x2 ?1 ,

………………

8分

3 3 3 3 , f ( x) 在 x ? ? 且 处取得极大值, x ? 在 处取得极小值…10 分 ,? ? 3 3 3 3



f ( x) ? 0 要有三个不等的实数根,
? 3 ? f (? ) ? (? ? 3 则必须 ? 3 ? f( )?( ? 3 ?
解得 ?

3 3 3 ) ? (? ) ? c ? 0 3 3 3 3 3 ) ? ?c ? 0 3 3

………………………

12 分

2 3 2 3 . ?c? 9 9

………………………

14 分