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【纯word版】广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟试题数学理试题 Word版含答案


2012-2013 学年度高三理科数学测试题
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符 合题目要求的. 1.在复平面内,复数

i ? (1 ? i ) 2 对应的点位于 1? i

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在抽查某批产品尺寸的过程中,样本尺寸数据的频率分布表如下,则 m 等于 分组 频数 频率

[100, 200]
10
0.05

(200,300]
30
0.15

(300, 400]
40
0.2

(400,500]
80
0.4
C. 30

(500, 600]
20

(600, 700]

m
b
D. 40

a

A. 10

B. 20

3.已知集合 P = {x| x (x +1)≥0},Q = {x| A. {x|x<1} B.{x|x≤-1}

1 <0},则 P∩Q 等于 x ?1

C.{x|x≥0 或 x≤-1}

D.{x| 0≤x<1 或 x≤-1}

4.已知 ? , ? 是两个不同的平面, l , m, n 是不同的直线,下列命题不正确的是 ... A.若 l ? m, l ? n, m ? ? , n ? ? , 则 l ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则 m ? ? 5.已知实数列-1,x,y,z,-2 成等比数列,则 xyz 等于 Ks5u B. ?4 C. ?2 2 D. ?2 2 B.若 l / / m, l ? ? , m ? ? , 则 l / /? ? D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , ,则 m ? n

A.-4

6.男女生共 8 人,从中任选 3 人,出现 2 个男生,1 个女生的概率为 A.2 人 B.3 人 C.4 人

15 ,则其中女生人数是 28

D.2 人或 3 人

7.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,点 P( x, y) 为该抛物线上的动点,又点 A(?1, 0), 则

| PF | 的最小值是 | PA |

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 3 3

?y ? x ? ? 8.设 m ? 2 ,点 P( x,y ) 为 ? y ? mx 所表示的平面区域内任意一点,M (0, 5) ,O 为坐标原点, f (m) 为 ?x ? y ? 1 ?

OP ? OM 的最小值,则 f (m) 的最大值为 10 10 A. ? B. 3 3

C. 0

D. 2

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答 9.已知向量 c ? (2 x ? 1, 4) , d ? (2 ? x ,3) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于 10.不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|的解集为
?lg x 11.设 f ( x) ? ? a ? 2 ? x ? ?0 3t dt ?
4
? ?
? ?

. .

x?0 x? 0

,若 f ( f (1)) ? 27 ,则 a ?



开始

12.设 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,若在 x ??0, 2? ? 上关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个 不等的实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 的值为 13.如图所示的流程图,根据最后输出的变量 S 具有的数值,则 S 的末位数 字是__________.

S ? 1, n ? 2013, i ? 1

i ? 2013?
否 是

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的, 只计算前一题的得分. 14.如图,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7, C 是圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=________. 15. 在极坐标系中, ? ? 4cos ? 上的点到直线 ? (sin ? ? cos ? ) ? 2 的最大 圆 距离为 .

S=S×n 输 出 S

i ? i ?1
结束

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的一系列对应值如下 表:

x
y

?

?
4

0
1

0

? 6 1 2

? 4
0

? 2
?1

3? 4
0

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在 ?ABC 中, AC ? 2 , BC ? 3 , f ( A) ? ?

1 (A 为锐角) ,求 ?ABC 的面积. 2

17. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人独立参加某企业的招聘考试,根据三人的专业知识、应试表现、工 2 1 1 作经验等综合因素,三人被招聘的概率依次为 , , . 用 ? 表示被招聘的人数。 3 2 3 (1)求三人中至少有一人被招聘的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 18. (本小题满分 14 分)如图所示的几何体是由以等边三角形 ABC 为底面的棱柱 被平面 DEF 所截面得,已知 FA⊥平面 ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O 为 AB 的中点. (1)求证:OC⊥DF; (2)求平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小; (3)求多面体 ABC—FDE 的体积 V.

19. (本小题满分 14 分) 曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对称中心、坐标轴为对称轴、离心率相等的椭圆.点 M 的坐标是(0,1),线段 MN 是曲线 C1 的短轴,并且是曲线 C2 的长轴 . 直线 l : y ? m(0 ? m ? 1) 与曲线 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左 侧) ,与曲线 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . (1)当 m =

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程;Ks5u 2 4

(2)若 OC ? AN ,求 m 的值. 20. (本小题满分 14 分) 设 {an } 是各项都为正数的等比数列, ?bn ? 是等差数列,且 a1 ? b1 ? 1, , a3 ? b5 ? 13, a5 ? b3 ? 21. (1)求 {an } , ?bn ? 的通项公式; (2)记 {an } 的前 n 项和为 Sn ,求证:

a a1 a2 n ? ??? n ? ?1; S1 S2 Sn 2

(3)若 i , j 均为正整数,且 1 ? i ? j ? n, 记所有可能乘积 ai ? b j 的和 Tn ,求证: Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 ? n2 .

21. (本小题满分 14 分)
3 已知函数 f (x) = ln x, g ( x) ? 2 ? ( x ? 0). x

(1)试判断当 f ( x)与g ( x) 的大小关系; (2)试判断曲线 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 是否存在公切线,若存在,求出公切线方程,若不存在,说明理由; (3)试比较 (1 + 1× (1 + 2× ……(1 +2012× 2) 3) 2013)与 e
4021

的大小,并写出判断过程.

2012-2013 学年度高三理科数学测试题答案 一、选择题: 1、D;2、B;3、D;4、 A ;5、 C ;6、D ;7、B ;8、A 二、填空题: 9、

1 ? 5? ;10、 (1,+ ? ) ;11、3;12、 或 ; 2 2 2

13、答案 1,解析:事实上 S 具有的数值为 20132012,根据题目要求只需考虑 3n 的尾数变化即可.首先来观 察 3n 的末位数字的变化规律. n 3n 的末位数字 14、 35 ;15、 2 ? 2 2 三、解答题: 16 解: (Ⅰ)由题中表格给出的信息可知,函数 f ( x ) 的周期为 T ? 所以 ? ? 2 9 3 7 4 1 5 3 … …

3n 的末位数字的变化是以 4 为周期的规律循环出现.2012 被 4 整除,所以 20132012 的末位数字为 1.

2?

3? ? ? ?? , 4 4

?

?2.

……………………………………………………………2 分

注意到 sin(2 ? ( ?

?
4

) ? ? ) ? 0 ,也即 ? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ) ,由 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

?
2

………………4 分

所以函数的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? (Ⅱ)∵ f ( A) ? cos 2 A ? ?

?
2

) (或者 f ( x) ? cos 2 x ) ………………………………………5 分

1 ? ,且 A 为锐角,∴ A ? ………………………………………6 分 2 3
3

2? BC AC AC ? sin A 2 ? 3 ,…………………7 分 ? 在 ?ABC 中,由正弦定理得, ,∴ sin B ? ? sin A sin B BC 3 3
∵ BC ? AC ,∴ B ? A ?

?
3

,∴ cos B ?

6 , 3

………………………………………8 分

∴ sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

3 6 1 3 3 2? 3 ,………………10 分 ? ? ? ? 2 3 2 3 6

∴ S?ABC ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 . …………………………………12 分 ? AC ? BC ? sin C ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 6 2
1

17.解: (1)记甲、乙、丙三人被招聘分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则 P( A ) ? 2 , P( A ) ? 1 , P( A ) ? 1 ,…………2 分
3
2

2

3

3

所以三人中至少有一人被招聘的概率为 1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 8 . …………………5 分 3 2 3 9 (2)由题知 ? 的取值有 0,1,2,3, ……………………………………………………………………6 分
1 7 7 1 P(? ? 0) ? , P(? ? 1) ? , P(? ? 2) ? , P(? ? 3) ? . ……………………………………………………………9 分 9 18 18 9

? 的分布列为

?
P

0 1 9

1 7 18

2 7 18

3 1 9 ……………10 分

所以 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 7 7 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 9 18 18 9 2

…………………………12 分 …………………………2 分

18.解: (1)证法一:? FA⊥平面 ABC, OC ? 平面 ABC,? FA ? OC , 又 CA=CB 且 O 为 AB 的中点,? AB ? OC , ? OC ? 平面 ABDF,

…………………………4 分

? DF ? 平面 ABDF,? OC ? DF . …………………………5 分
证 法 二 : 如 图 , 以 O 为 原 点 , OB 、 OC 、 Oz 分 别 为 x 轴 、 y 轴 、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ,

C ? (0, 3 , 0), (1, 0,E D 1), (0, 3 ,? ? F 3),

…………………………2 分 ( 1, 0, 2). …Ks5u

??? ? ???? ??? ???? ? OC ? (0, 3,0), DF ? (?2,0,1),?OC ? DF ? 0. 即 OC ? DF .
……………5 分 (2)解法一:解:设平面 ABC 的法向量为 n1 ? (0,0,1), 设平面 DEF 的法向量为 n2 ? (1, y, z), DE ? (?1, 3, 2),

??

…………………………6 分

?? ?

??? ?

?? ???? ? ?n2 ? DE ? 0 ??1 ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? 由 ? ?? ???? 得? , ? ?n2 ? DF ? 0 ??2 ? z ? 0 ? ?
解得 ?

z

?y ? ? 3 ? , ?z ? 2 ?

…………………………8 分 y …………………10 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 2 ? 所以 cos ? n1 , n2 ?? ??? ?? ? , ? 2 | n1 | ? | n2 | 1? 2 2

x

故平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小为

解 法 二 : 设 平 面 DEF 与 平 面 ABC 相 交 所 成 锐 二 面 角 的 大 小 为 ? , 依 题 中 的 条 件 可 求 得 DE= 2 2, DF ? 5, EF ? 5,? S ?DEF ?
cos ? ?

? 4

…………………11 分

1 1 ? 3 ? 2 2 ? 6, S ?ABC ? ? 22 ? sin 600 ? 3, 由空间射影定理得 2 2
…………………11 分

? S?ABC 2 ? ? ,?? ? . 故平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小为 4 S?DEF 2 4
BMN , ? DQ ? MN ,

解法三:延长 ED、FD 交直线 CB、AB 于 M、N 两点,过 B 点作 MN 的垂线交 MN 于 Q 点,连结 DQ,

? DB ?

平 面

所 以

?DQB

为 二 面 角 的 平 面 角 ,

2S 1 3 ? MN ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos 600 ? 3, S?BMN ? ?1? 2 ? sin 600 ? , BQ ? ?BMN ? 1, 2 2 MN

? tan ?DQB ? 1, ?DQB ? 450 ,故平面 DEF 与平面 ABC 相交所成锐二面角的大小为 45
(3)解法一:由(1)知 OC ? 平面 ABDF,且 EC ? 平面 ABC,

0

……………11 分

1 1 ?V ? VE ? ABDF ? VE ? ABC ? ? OC ? S梯形ABDF ? ? EC ? S ?ABC 3 3 1 1 1 1 ? ? 3 ? ? 2(1 ? 2) ? ? 3 ? ? 2 ? 3 ? 2 3 …………………14 分 3 2 3 2
所以多面体 ABC—FDE 的体积为 2 3. 解法二:在原来的几何体再补一个相同的几何体得到一个直三棱柱,其 底面为 ABC,高为 4,

1 1 ? 4 ? ? 22 sin 600 ? 2 3. 所以多面体 ABC—FDE 的体积为 2 3. 2 2 x2 x2 2 2 19.解: (1)解:设曲线 C1 的方程为 2 ? y ? 1 ,C2 的方程为 2 ? y ? 1 ( a ? 1, 0 ? b ? 1 )…2 分 a b
所以多面体 ABC—FDE 的体积 V ?

a2 ?1 ∵C1 ,C2 的离心率相同,∴ ? 1 ? b 2 ,∴ ab ? 1 , 2 a
Qm ?

………………………3 分

3 1 3 代入曲线方程,则 x 3 令 ? ? 1,? x A ? ? a. ,? y ? 2 a 4 2 2 2

2

x2 3 1 ? ? 1,? xC ? b . 2 b 4 2

?当 m =

3 1 3 时,A (? a , 3 ) ,C ( , ) .……………5 分 2 2a 2 2 2
…………6 分

?a ? 2 5 1 1 5 ? 5 ? 又∵ AC ? ,? b ? a ? .由 ?a ? b ? ,且 a ? 1,0 ? b ? 1 ,解得 ? 1 2 ? 2 2 4 4 ?b ? 2 ?ab ? 1 ? ?
∴C1 ,C2 的方程分别为 x ? y 2 ? 1 , 4 x ? y ? 1 . 4
2 2
2

2

…………………7 分
x2 2 ? y 2 ? 1 ,得 xC ? b 1 ? m 2 b

(2)令 y ? m 代入曲线方程, x ? y 2 ? 1 ,得 x A ? ?a 1 ? m 2 , a2 由于 ab ? 1 ,所以 A (- a 1 ? m ,m), C (
2

………9 分

1 1 ? m 2 ,m) . a

………10 分

由于 MN 是曲线 C1 的短轴,所以 N (0,?1) . ∵OC⊥AN,? OC ? AN ? 0 ( ? ) .. ∵ OC =(

???? ????

.................... 11 分

????

???? 1 , 1 ? m 2 ,m) AN =( a 1 ? m 2 ,-1-m), a
………………12 分 ………………14 分

代入( ? )并整理得 2m2+m-1=0, ∴m ?

1 1 或 m ? ?1 (舍负) ,∴ m ? . 2 2

?1 ? 2d ? q 4 ? 21 ? ? 20.解: (1)设 {an } 的公比为 q (q ? 0), ?bn ? 的公差为 d ,则 ?1 ? 4d ? q 2 ? 13 …………………2 分 ?
n?1 解得 d ? 2, q ? 2, 所以 an ? 2 , bn ? 2n ?1. …………………………………………………………5 分

(2)证法一:由题意得 Sn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1, ……………………………………………………………6 分 1? 2

an 2n?1 1 1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? n ) ? (1 ? n?1 n?1 ) ? (1 ? n?1 ), ……………………………………8 分 Sn 2 ? 1 2 2 ?1 2 2 ? 2 ?1 2 2
1 a a a 1 2n ) ? 1 (n ? 2 ? 1 ) ? n ? 1 ……………………………………9 分 所以 1 ? 2 ? ? ? n ? (n ? 1 S1 S2 Sn 2 2 2n ?1 2 1? 2 1?
(2)证法二:由题意得 Sn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1, ………………………………………………………………6 分 1? 2

an 2n?1 1 1 1 1 ? n ? (1 ? n ) ,当 n ? 2 时 2n ? 1 ? (1 ? 1) n ? 1 ? 1 ? Cn ? Cn2 ? ? ? Cnn ? 1 ? Cn ? Cn2 ? n(n ? 1) 2 Sn 2 ? 1 2 2 ?1
且 n ? 1 也成立,? 所以

1 1 1 ? 2( ? ) …………………………………………………………………8 分 2 ?1 n n ?1
n

a a1 a2 n 1 n ? ?? ? n ? ?1? ? ? 1 ………………………Ks5u S1 S2 Sn 2 n ?1 2

…………………………9 分 (3)证法一:由题意 Tn ? a1b1 ? (a1 ? a2 )b2 ? (a1 ? a2 ? a3 )b3 ? ?? (a1 ? a2 ? ?? an )bn

? (21 ?1)b1 ? (22 ?1)b2 ? ?? (2n ?1)bn ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? ?? 2n ? bn ? (b1 ? b2 ? ?? bn ) …………11 分
令 S ? 21 ? b1 ? 22 ? b2 ? ?? 2n ? bn ,
1 2

2S ? 22 ? b1 ? 23 ? b2 ? ?? 2n?1 ? bn
3 n n?1

以上两式相减得 ?S ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? (2n ?1) ? 2

, ? S ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6, ………13 分

又 b1 ? b2 ? ? ? bn ? n2 ,所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 ? n2 ……………………………………………14 分 证法二:用数学归纳法证明。 (1)当 n ? 1 时, T1 ? a1b1 ? 1,(2 ?1 ? 3) ? 21?1 ? 6 ?12 ? 1, 所以结论成立。………………………10 分 (2)假设当 n ? k (k ? 1) 时结论成立,即 Tk ? (2k ? 3) ? 2k ?1 ? 6 ? k 2 。…………………………11 分 当 n ? k ? 1 时, Tk ?1 ? Tk ? (a1 ? a2 ? ?? ak ?1 )bk ?1 ? (2k ? 3) ? 2k ?1 ? 6 ? k 2 ? (2k ?1 ?1) ? (2k ? 1)

? [2(k ? 1) ? 3) ? 2k ?2 ? 6 ? (k ?1)2 ,所以当 n ? k ? 1 时也成立……………………………………………13 分
综合(1)(2)知 Tn ? (2n ? 3) ? 2 、
n?1

? 6 ? n2 对任意 n ? N * 都成立………………………………14 分
x x

21 解:(1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F '( x) ? 1 ? 32 ……1分 由 F '( x) ? 0, 得x=3 , 当0<x<3时,F '( x) ? 0, 当x ? 3时F '( x) ? 0 ? x =3 时,……………………… 2 分

F ( x) 在区间 (0,3) 单调递减,在区间 (3,+?) 单调递增,……………………… 3 分
所以 F ( x) 取得最小值为 F (3)=ln3-1>0 ,? F ( x) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) …………4 分

(2)假设曲线 f ( x)与g ( x) 有公切线,切点分别为 P(x0 ,ln x0 ) 和 Q(x1 , 2 ?

3 ). ……………………… 5 分 x1

因 为 f ?( x) ?
y?

1 3 n , g ?( x) ? 2 , , 所 以 分 别 以 P(x0 , l x0 x x

和 Q(x1 , 2 ? 3 ) 为 切 线 的 切 线 方 程 为 ) x1

x 3x 6 ? ln x0 ? 1, y ? 2 ? 2 ? . ……………………… 6 分 x0 x1 x1
? 3 x12

令 ? x0 ?

?1

? ?ln x ? 1 ? 2 ? 6 ? 0 x1 ?

即 2ln x1 ? 6 ? (3 ? ln 3) ? 0. ……………………… 8 分 x1

h 令 h( x) ? 2ln x1 ? 6 ? (3 ? ln 3). 所以由 h?( x) ? 2 ? 6 ? 0 得 x1 ? 3. 显然, 0 ? x1 ? 3 时, ?( x) ? 0 , x1 ? 3 时, 当 当 x1 x1 x 2
1

h?( x) ? 0 ,所以 h(x)min =ln3-1>0 ,……………………… 9 分
所以方程 2ln x1 ?

6 ? (3 ? ln 3) ? 0. 无解,故二者没有公切线。…………………………10 分 x1
3 ? ln( x ? 1) 对任意的 x>0 都成立, x ?1
3 3 ? 2? , ……………………11 分 k (k ? 1) ? 1 k ( k ? 1)

(3)由(1)得 2 ?

所以 ln[1 ? k ( k ? 1)] ? 2 ?

3 ? ? 3 ? ? ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)] > ? 2 ? ???2? ? ?? 1? 2 ? ? 2?3 ? ?
? ? 1 3 ? 1 1 ? 3 ? ?2 ? ……………………13 分 ? = 2n ? 3 ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1) ? ? 2n ? 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3, 令 n =2012, n(n ? 1) ? ? ? ?

则 ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013) >2× 2012-3=4021,
4021 所以(1 + 1× (1 + 2× ……(1 +2012× 2) 3) 2013) ? e …………………………14 分

2012-2013 学年度高三理科数学测试题答题卡
班级 姓名 座号 成绩

三 题号 一 二 16 分数 17 18 19 20 21 总 分

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.每小题选出答案后,请填下表中. 题号 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上. 1 2 3 4 5 6 7 8

9. 13.

10.
选做题: (

11.


.12.
(填上题号和答案)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、

17、

18、

第 19 题、第 20 题、第 21 题答在背面


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