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高中数学选修4-4经典综合试题(含详细答案)


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高中数学选修 4-4 经典综合试题(含详细答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( B. (0, )、 , 0) 1 5 1 2

).

( A. (0, )、 , 0)

(8, C. (0, ?4)、 0)
).

(8, D. (0, )、 0)

5 9

2.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 ? y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ? y ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 ? y ? tan t ?
).

3.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 3
C.

A.

2 3

B. ?

3 2
).

D. ?

3 2

4.点 (1, 2) 在圆 ? A.内部

? x ? ?1 ? 8cos ? 的( ? y ? 8sin ?
B.外部

C.圆上

D.与θ 的值有关 ).

1 ? ?x ? t ? 5.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?
A.一条直线 6.两圆 ? B.两条直线

C.一条射线

D.两条射线 ). D.内含 ).

? x ? ?3 ? 2 cos? ? x ? 3 cos ? 与? 的位置关系是( ? y ? 4 ? 2 sin ? ? y ? 3 sin ?
B.外切 C.相离

A.内切 7.与参数方程为 ?

?x ? t ? ? y ? 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4
2

y2 ?1 A. x ? 4
2

C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4

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8.曲线 ?

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).

? x ? 5cos ? ? ( ? ? ? ? ) 的长度是( ? y ? 5sin ? 3
B. 10? C.

A. 5?

5? 3

D.

10? 3
).

9.点 P( x, y) 是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 C. 11 D. 22

1 ? ?x ? 1? 2 t ? 10.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) ). C. ( 3, ?3) D. (3, ? 3) ). B. (? 3,3)

11.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? A. 2 12.直线 ? B. 3 C. 4

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,则 | PF | 等于(

D. 5 ).

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ? 1? t ?
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13.参数方程 ?

? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________. t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

14.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______.

15.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________. ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?
2 2

16.设 y ? tx(t为参数) ,则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为____________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y ? ?5 ? 3t ?

与 Q(1, ?5) 的距离.

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18.(本小题满分 12 分) 过点 P (

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10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 | PM | ? | PN | 的值及相应的 ? 的值. 19.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, A(?2,0), B(0, 2), C (cos ? , ?1 ? sin ? ) ( ? 为变数), 求 ?ABC 面积的最大值. 20.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积. 21.(本小题满分 12 分)

?
6



1 t ? ?t ? x ? 2 (e ? e ) cos ? ? 分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ?t ? y ? (e ? e ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数;(2) t 为参数, ? 为常数. 22.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 过定点 P ( ?3, ? ) 与圆 C : ?

3 2

? x ? 5cos ? (? 为参数) 相交于 A 、 B 两点. ? y ? 5sin ?

求:(1)若 | AB |? 8 ,求直线 l 的方程; (2)若点 P ( ?3, ? ) 为弦 AB 的中点,求弦 AB 的方程. 答案与解析: 1.B

3 2

2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) . 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?

2.D 3.D 4.A

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制.
k? y ? 2 ?3t 3 ? ?? . x ? 1 2t 2

2 2 ∵点 (1, 2) 到圆心 (?1, 0) 的距离为 (1 ? 1) ? 2 ? 2 2 ? 8 (圆半径)

∴点 (1, 2) 在圆的内部. 5.D

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线.

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2 2 6.B 两圆的圆心距为 (?3 ? 0) ? (4 ? 0) ? 5 ,两圆半径的和也是 5 ,因此两圆外切.

7.D

x2 ? t,

y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 . 4 4

8.D

曲线是圆 x 2 ? y 2 ? 25 的一段圆弧,它所对圆心角为 ? ? 所以曲线的长度为

?
3

?

10? . 3

2? . 3

9.D

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 椭圆为 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22 .
10.D

t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 , 2 2 2

1 ? ?x ? 1? 2 ? 4 ?x ? 3 ? ? 中点为 ? . ?? 3 ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? ?4 ? ? ? 2
2 11.C 抛物线为 y ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , | PF | 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4 .

12.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? x ? ?2 ? t ? ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2
代入 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 ,得 (?5 ? t ) ? (2 ? t ) ? 25, t ? 7t ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2 2

| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 | t1 ? t2 |? 82 .

13.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

2

2

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? (x ? ) x ? ? . ( ) 4 ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

14. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? , t ? ? . 2 2

15.

? 5? ,或 6 6

2 2 直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

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易知倾斜角为

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? 5? ,或 . 6 6
4t ; 1? t2

4t ? ?x ? 1? t2 ? 16. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ,或 x ?

4t ? ?x ? 1? t2 4t ? 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? . 2 1? t 4t 2 ?y ? ? 1? t2 ?
2

17.解:将 ?

?x ? 1? t ? ,代入 x ? y ? 2 3 ? 0 ,得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) , 得 | PQ |?

(2 3) 2 ? 62 ? 4 3 .

? 10 ? t cos ? ?x ? 18.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线 2 ? y ? t sin ? ?
并整理得 (1 ? sin ? )t ? ( 10 cos ? )t ?
2 2

3 ? 0, 2

3 2 则 | PM | ? | PN |?| t1t2 |? , 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , | PM | ? | PN | 的最小值为 ,此时 ? ? . 2 4 2
19.解:设 C 点的坐标为 ( x, y ) ,则 ?
2 2

? x ? cos ? , ? y ? ?1 ? sin ?

即 x ? ( y ? 1) ? 1 为以 (0, ?1) 为圆心,以 1 为半径的圆. ∵ A(?2, 0), B(0, 2) , ∴ | AB |? 4 ? 4 ? 2 2 , 且 AB 的方程为

x y ? ? 1, ?2 2

即 x ? y ? 2 ? 0,

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| ?(?1) ? 2 | 1 ? (?1)
2 2

则圆心 (0, ?1) 到直线 AB 的距离为

?

3 2. 2

∴点 C 到直线 AB 的最大距离为 1 ? ∴ S?ABC 的最大值是

3 2, 2

1 3 ? 2 2 ? (1 ? 2) ? 3 ? 2 . 2 2

? ? ? 3 t ?x ? 1? ? x ? 1 ? t cos 6 ? ? 2 , 20.解:(1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2

? 3 t ?x ? 1? ? 2 ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 , (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 , 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2 .
21.解:(1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2



而 x ? y ? 1,
2 2



x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

? 1;

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x ? t ?t ?e ? e ? cos ? k? ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? , 2y 2 t ?t ?e ? e ? ? sin ? ?

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2x 2y ? t ?2e ? cos ? ? sin ? 2x 2y 2x 2y ? t ?t ? )( ? ), 即? ,得 2e ? 2e ? ( cos ? sin ? cos ? sin ? ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? cos ? sin ? ?


x2 y2 ? 2 ?1. cos 2 ? sin ?

22.解:(1)由圆 C 的参数方程 ?

? x ? 5cos ? ? x2 ? y 2 ? 25 , ? y ? 5sin ?

? x ? ?3 ? t cos ? ? (t为参数) , 设直线 l 的参数方程为① ? 3 ? y ? ? 2 ? t sin ? ?
将参数方程①代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? 25 得 4t ?12(2cos ? ? sin ? )t ? 55 ? 0 ,
2

∴△ ? 16[9(2cos ? ? sin ? ) ? 55] ? 0 ,
2

所以方程有两相异实数根 t1 、 t 2 ,
2 ∴ | AB |?| t1 ? t2 |? 9(2 cos ? ? sin ? ) ? 55 ? 8 ,

化简有 3cos ? ? 4sin ? cos ? ? 0 ,
2

解之 cos ? ? 0 或 tan ? ? ?

3 , 4

从而求出直线 l 的方程为 x ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . (2)若 P 为 AB 的中点,所以 t1 ? t2 ? 0 , 由(1)知 2cos ? ? sin ?

? 0 ,得 tan ? ? ?2 ,
2 2

故所求弦 AB 的方程为 4 x ? 2 y ? 15 ? 0( x ? y ? 25) .

备用题: 1.已知点 P( x0 , y0 ) 在圆 ?

? x ? 3 ? 8cos ? 上,则 x0 、 y0 的取值范围是( ? y ? ?2 ? 8sin ?

).

A. ?3 ? x0 ? 3, ?2 ? y0 ? 2

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B. 3 ? x0 ? 8, ?2 ? y0 ? 8 C. ?5 ? x0 ? 11, ?10 ? y0 ? 6

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D.以上都不对 1.C 由正弦函数、余弦函数的值域知选 C. 2.直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( ?y ? 2 ? t
12 5
B.

).

A.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

2.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0 ,
12 8 16 12 5. | t1 ? t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? ) 2 ? ? ,弦长为 5 | t1 ? t2 |? 5 5 5 5
3.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 | MN |? _______________.
3. 4 p | t1 | 4.参数方程 ? 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴,即 x 轴, | MN |? 2 p | t1 ? t2 |? 2 p | 2t1 | .

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )
y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 , 2 y x x cos ? ?1 x2

4.解:显然

1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? , 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 y2 y 1 1 x ? 即x? ? ? x 2 , x(1 ? 2 ) ? ? 1 , 2 2 x x y y y 2 1? 2 1? 2 1? 2 x x x
得x?

y2 y ? ?1, x x

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即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 .

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5.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 5.解:(1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1,
∴ ? 5 ? 1 ? 2 x ? y ? 5 ? 1. (2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0 , ∴ a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? 即a ?

?
4

) ? 1恒成立,

2 ?1.

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