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向量组线性相关性的几种判定方法


第 13 卷第 1 期 20 04年3 月

河南教育学院学报( 自然科学版)
Journal of Henan Institute of Education ( Natural Science )

Vol . 13 No . 1 Mar. 2004

文章编号 : 1007 -0834( 2004) 01 -0015 -03

向量组线性相关性的几种判定方法
刘正理
( 信阳教育学院 数学系 , 河南 信阳 464000)    摘要 : 探讨了矩阵的初等行变换 、向量组的秩 、用克莱姆法则或 系数矩阵的秩判别齐次 线性方程 组有无非零 解 等相关知识在 判定向量组线性相关性中的运用 , 归纳 出判定 向量组 线性相关 性的四 种方法 , 研究 了四种 判定方 法 之间的关系及应用时应注意的题设条件 . 关键词 : 向量组 ; 线性相关 ; 线性无关 ; 判定方法 中图分类号 : O172     文献标识码 : A

   线性代数以行列式 、矩阵 、 线性方程组 、向量空 间作为主要研究内容 . 为了研究向量空间的结构 , 必 须研究向量之间的关系 , 于是向量组线性相关性的 判定问题随之出现 . 笔者在教学中发现 , 这一问题的 解决 , 不仅要用到向量组线性相关或线性无关的概 念 , 还涉及行列式 、 矩阵 、线性方程组等诸多知识点 . 因此 , 对向量组的线性相关性的判定方法进行研究 和整理是十分必要的 . 下面把判定向量组线性相关 性的几种常用方法归纳如下 : 1  定义法 对于各 分量均 未给 出的 向量组 α 1, α 2 , …… , α m , 由向量组线性相关或线性无关的定义出发 , 考 虑下式 k 1 α 0 成立时 , 如果 1 +k 2 α 2 +… … +k mα m = 系数 k 1 , k 2 , …… , k m 不 全为 零 , 则向 量组 α 1, α 2, …… , α 如果 k 1 =k 2 =… … =k m =0 , 则 m 线性相关 ; 向量组 α 1,α 2 , … …, α m 线性无关 . 2  秩法    对于各分量都给出的向 量组 α 1, α 2 , … …, α m , 计算以 α 若 1,α 2 , … …, α m 作行构成的矩阵 A 的秩 . r( A) <m , 则向量组线性相关 ; 若 r( A) =m , 则向量 组线性无关 . 3  判别齐次线性方程组有无非零解法    对于各分量都给出的向 量组 α 1, α 2 , … …, α m , 若以 α 1,α 2 , … …, α m 为系数向量的齐次线性方程组
收稿日期 : 2004 -01 -08

x1 α 0 有非零解 , 则向量组 1 +x 2 α 2 +…… + xmα m = 线性相关 ; 若齐次线性方程组只有零解 , 则向量组线 性无关 . 4  行列式法   对于各分量都给出的向量组 α 1, α 2 , …… , α m, 当向量组中向 量的个数 m =向量的 维数 n 时 , 以 α 0 , 则向 1,α 2 , … …, α m 作列构成方阵 A , 若 det A = 量组 α 若 det A ≠ 0 , 则向量 1, α 2 , …… , α m 线 性相关 ; 组α 1, α 2 , …… , α m 线性无关 . 例 1  若向量组 α 1, α 2,α 3 线性无关 , 又 β1 =α 1+ 2α 3α 2α 4α 2 , β2 =α 2+ 3 , β3 =α 1+ 2+ 3 , 判定向量组 β1 , β2 , β3 的线性相关性 . 解  设有数 k 1 , k 2 , k 3 , 使 k 1 β1 +k 2 β2 +k 3 β3 = 0 , 即 k1 ( α 2α α 3α k 3( α 2α 1+ 2 )+k 2 ( 2+ 3) + 1+ 2+ 4α 0 , 整理 , 得( k 1 +k 3) α ( 2 k 1 +k 2 +2k 3 ) α 3) = 1+ 2+ ( 3k 2 + 4 k 3) α 0 3= 由题设 α 1, α 2,α 3 线性无关 , 根据向量组线性无 关的定义 , 可得 k 1 +k 3 = 0 2 k 1 +k 2 +2k 3 = 0 3 k2 + 4 k 3 =0 解之 , 得 k 1 =k 2 =k 3 = 0 因此 , β1 , β2 , β3 线性无关 . 例 2  讨论向量组 α 1= ( 2 , 1 , 0 , 5) ,α 2= ( 7,

作者简介 : 刘正理( 1950 —) , 女 , 河南信 阳人 , 信阳教育学院数学系高级讲师 .

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5 , 4 , -1) ,α 3= ( 3, 7,4, 11) 的线性相关性 . 解法一  计算以 α , α , α 作行构成的矩阵 A 1 2 3 的秩 , 利用初等行变 换将 A 化成阶梯 形矩阵来 求 r( A) ,即
-1) ×r 3 + r1 2 1 0  5 ( ( -2) ×r 3 + r2 A= α 2 = 7 5 4 1 3 7 4 11 α 3 r 1 +r2 1 8 -4 16 3 × r 1 + r3 1 9 -4 21 3 7 4 11 1 8 4 16 ( -1) ×r2 + r3 0 17 8 37 0 17 8 37 1 8 4 16 0 17 8 37 0 0 0 0 由阶梯形矩阵知 , r ( A)=2 <3 =m , 故 向量组 α , α , α 线性相关 . 1 2 3

α 1= ( 1 , 2 , 1 , 3) ,α 2 =( 4 , -1 , -5 , 6) ,α 3 = ( 1, 3, 4 , -7) ,α ( 2,1, 1 , 0) 4= 解法一  设 A = [α 1  α 2  α 3  α 4 ] , 计算 方阵 A 的行列式 , 即 1 4 1 2 (-2)×r +r 1 2 2 1 3 1 (-1)×r 1 +r3 det A = 1 5 4 -1 3 6 7 0 1 4 1 2 0 9 5 -3 = 0 0 9 5 -3 3 6 7 0 故向量组 α 1,α 2,α 3, α 4 线性相关 . 解法二  计算以 α , α 1 2, α 3,α 4 作行构成的矩阵 A 的秩 , 利用初等行变换将 A 化成阶梯形矩阵来求 r( A) ,即 -4) ×r 1 +r2 α 1 1 2 1 3 ( 4 = A= 1 α 3 2 α 4 α 2 1 3 1 -5 -4 -1 6 7 0
1 3 1 5 1 3 ( -1) ×r 1 +r3 ( -2) ×r 1 +r4
T T T T

α 1

解法二   考虑以 α 1, α 2, α 3 为系数向量的齐次 线性方程组 x 1 α x2 α 0 有无非零解 . 1+ 2 +x 3 α 3= 上述方程组即 2 x1 + 7 x2 + 3 x3 = 0 x1 5 x2 7 x3 = 0 4 x2 + 4 x3 = 0 5 x 1 -x 2 11 x 3 = 0 利用初等行变换 将方程组的系数矩阵 A 化为 阶梯形矩阵 , 即 2 7  3 1 5 7 1 5 -7 r 1 r2 2 7  3 A= 0 4  4 0 4  4 5 1 11 5 1 -11 1 5 7 ( -2) ×r 1 + r2 ( -5) ×r 1 + r4 0 17 17 0 4 4 0 24 24
1 ×r2 17 1 ×r3 4 1 ×r4 24

×r 2 ×r 3 ×r 4

1 2 1 3 r 2 r3 0 1 1 2 0 3 3 2 0 1 1 2 1 2 1 3 ( -3 ) × r2 +r 3 ( -1 ) × r2 +r 4 0 1 1 2 0 0 0 4 0 0 0 0 由阶梯形矩阵知 , r ( A) =3 <4 =m , 故向量组 α 1, α 2,α 3,α 4 线性相关 . 解法三  考虑以 α 1,α 2, α 3,α 4 为系数向量的齐 次线性方程组 x 1 α 0 有无非 1 +x 2 α 2 +x 3 α 3 +x 4 α 4= 零解 上述方程组即 x1 + 4 x 2 +x 3 + 2 x4 = 0 2 x 1 -x 2 -3 x 3 +x 4 = 0 x1 5 x 2 -4 x 3 -x 4 = 0 3 x1 + 6 x 2 -7 x 3 =0 利用初等行变换将方程组的系数 矩阵 A 化为 阶梯形矩阵 , 即

1 0 0 0 1 0 0 0

2 9 5 3 2 1 3 3 1 1 1 1

1 -9 -5 -3 3 2 2 2

 3 6 10 6

5 -7 1 1 1 1 1 1 1 5 -7 ( -1) ×r 2 + r3 ( -1) ×r 2 + r4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 由阶梯形矩阵知 , r( A) =2 < 3 =m , 亦即齐次线 性方程组有非零解 , 故向量组 α 1, α 2,α 3 线性相关 . 例3   判定下列向量组的线性相关性 1 0 0 0 · 16 ·

1 A= 2 1 3 1   0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

4 1 5 6 4 9 9 6 4 3 9

1 3 4 7  1 5 5 10 1 5 5

2 1 1 0 2 -3 -3 -6 2 3 3 3

( -2) × r1 +r 2 ( -1) × r1 +r 3 ( -3) × r1 +r 4

方程组中未知量的个数 , 故判定向量组线性相关 . 例 3 的解法一运用了行 列式法 , 以 α 1, α 2, α 3, α 4 作列 构成方阵 A , 利用行列式的性质 , 计算出 det A = 0,故 判定向量组 α 例 3 的解法二 1, α 2, α 3, α 4 线性相关 . 运用了秩法 . 例 3 的解法三运用了判别齐次线性方 程组有无非零解法 . 以上四种判定方法既有联系又有区别 , 联系是 : ( 1) 运用定义法时 , 要解一个齐次线性方程组 , 由该 方程组是否有非零解判定向量组的线性相关性 , 在 运用定义法的同时 , 也运用了判别齐次线性方程组 有无非零解法 , 如例 1 . ( 2) 秩法与判别齐次线性方 程组有无非零解法的出发点不同 , 但实质是一样的 , 都是要利用矩阵的初等行变换将相应的矩阵化为阶 梯形矩阵 , 从而分别求出向量组的秩与系数矩阵的 秩 , 然后再作出判断 , 如例 2 . ( 3) 行列式法实质上是 根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量 的齐次线性方程组有无非零解 , 然后再对向量组的 线性相关性作出判定 , 所以能运用行列式法进行判 定时 , 也可以用秩法和判别齐次方程组有无非零解 法 , 如例 3 . 区别是 : 适用的前提条件不同 , 定义法适 用于各分量均未具体给出的向量组 ; 秩法和判别齐 次线性方程组有无非零解法适用于各分量都具体给 出的向量组 ; 行列式法适用于各分量都具体给出且 向量组中向量的个数与向量的维数相等的向量组 . 因此 , 在对向量组的线性相关性进行判定时 , 要根据 题设条件适当选择判定方法 .
参 考 文 献
[ 1]  钱椿林 .线性代数[ M].北京 : 电子工业出版社 , 2001. [ 2]  魏战 线 .工 程数 学 : 线性 代数 [ M] .沈 阳 : 辽 宁大 学 出版 社 , 1999.

1 × r4 2 r 2 r4

 

( -1 ) × r3 +r 4 3× r2 +r 3

 

9 5 4 1 2 3 5 3 0 10 6

0 0 0 0 由阶梯形矩阵知 , r( A) =3 < 4 =m , 亦即齐次线 性方程组有非零解 , 故向量组 α 1, α 2, α 3, α 4 线性相 关. 以上三例中 , 例 1 运 用了定义法 . 由 α 1, α 2, α 3 线性无关 , 根据向量组线性无关的定义 , 通过解齐次 线性方程组 , 求出 k 1 =k 2 =k 3 =0 , 再根据向量组线 性相关性的定义 , 判定向量组 β1 , β2 , β3 线性无关 ; 例 2 的解法一运用了秩法 , 以 α 1, α 2,α 3 作行构成矩 阵 A , 利用矩阵 的初等 行变换 将 A 化成 阶梯形 矩 阵 , 从而求出该向量组的秩 , 由于向量组的秩小于向 量组中向量的个数 , 因此判定向量组 α 1, α 2,α 3 线性 相关 . 例 2 的解法二运用了判别齐次线性方程组有 无非零 解法 , 利用初 等行 变换 将齐次 线性 方程 组 x1 α 0 的系 数矩阵 化为阶 梯形 矩 1 + x2 α 2 + xmα m = 阵 , 从而求出系数矩阵的秩 , 由于系数矩阵的秩小于

Several Kinds of the Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group
LIU Zheng-li
( Department of Mathematics , Xinyang Education College , Xinyang 464000 , China)

Abstract : Vectors group' s related linearity and irrelevant linerity are two basic concepts of linearity algebra. Judging the vectors group' s related linearity is the emphases in the teaching , and is also difficult point . This text induces out four kinds of methods of judging the related linearity . Studying the nexus between four kinds of judging methods , and the qualification which must be attention in application . Key words : vectors group ; related linearity ; irrelevant linearity ; judging method

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