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第八讲不等式解法及应用


第八讲
【典型例题选讲】

不等式解法及应用
x ? 2a x ? (a
2

1 .已知集合 A ? { x | ( x ? 2 )[ x ? ( 3 a ? 1)] ? 0}, B= { x |

? 1)

? 0 },

其中 a ? 1 .

(1)当 a ? 2 时,求 A ? B ; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围; 解: (1)当 a=2 时, A ? ( 2 , 7 ), B ? ( 4 , 5 ) ? A ? B ? ( 4 , 5 ) (2)? B ? ( 2 a , a 2 ? 1)
1

当a ?

?2 a ? 3a ? 1 ,此时 a=-1; 时 , A ? ( 3 a ? 1, 2 ) 要使 B ? A , 必须 ? 2 3 ?a ? 1 ? 2
1 3 1 3 时 , A ? ? , 使 B ? A 的 a 不存在; 时 , A ? ( 2 , 3 a ? 1)
?2a ? 2 ?a
2

当a ? 当a ?

要使 B ? A , 必须 ?

? 1 ? 3a ? 1

此时 1 ? a ? 3

综上可知,使 B ? A , 的实数 a 的取值范围为(1,3] ? {? 1}
2 .已知二次函数 f ( x ) ? ax
2

? bx ? 1 .
1 1

(1)若 f ( x ) ? 0 的解集是 ( , ) ,求实数 a , b 的值;
4 3

(2)若 a 为正整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x ) 在 [0 ,1] 上的最小值为 ? 1 ,求 a 的值. 解: (1)不等式 ax 故方程 ax
1
2 2

? bx ? 1 ? 0 的解集是 (

1 1 , ), 4 3 , x2 ? 1 3

? bx ? 1 ? 0 的两根是 x1 ?

1 4

1 b 7 所以 ? x1 x 2 ? , ? x1 ? x 2 ? ,所以 a ? 1 2 , b ? 7 a 2 a 12

(2)? b ? a ? 2 ,? f ( x ) ? a x ? ( a ? 2 ) x ? 1 ? a ( x ?
2

a?2 2a

) ?
2

(a ? 2) 4a

2

?1,

对称轴 x ?

a?2 2a

?

1 2

?

1 a


1 2 1 a 1 2
a?2 2a (a ? 2) 4a
2

当 a ? 2 时, x ?
?a ? 2

a?2 2a

?

?

?(

,1] ,? f ( x ) m in ? f (

) ? 1?

? ?1

当 a ? 1 时, x ?

a?2 2a

?

1 2

?

1 a

?

3 2

,? f ( x ) m in ? f (1) ? ? 1 成立。

综上可得: a ? 1 或 a ? 2
1 a 1 a 1 a 1 a 1 a ? x ? a 1 a
2

3 .解不等式: x ? 1 ? a x ?
2

x

(a ? 0)

解:由 x ? 1 ? a x ?
2

x

( a ? 0 ) 整理得: x ? ( a ?
2

) x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? a )( x ?

)? 0,

(1)当 a ? (2)当 a ? (3) a ?
1 a

1 a 1 a

时,即 时,即

a ?1
2

? 0 ,即 a ? 1 或 ? 1 ? a ? 0 时,

a a ?1
2

? 0 ,即 0 ? a ? 1 或 a ? ? 1 时, a ? x ?

a

时,即 a ? ? 1 时, ( x ? 1) ? 0 ,无解
1 a ? x ? a}

综上所述:当 a ? 1 或 ? 1 ? a ? 0 时,解集为{ x | 当 0 ? a ? 1 或 a ? ? 1 时,解集为{ x | a ? x ?
4 .已知函数 f ? x ? 满足 f ? lo g a ? ?
x

1 a

} a ? ? 1 时,解集为空集 ,

a a ?1
2

? x ? x ? ,其中 a ? 0 且 a ? 1
?1

① 对于函数 f ? x ? ,当 x ? ? ? 1,1 ? 时, f ? 1 ? m ? ? f ? 1 ? m 2 ? ? 0 ,求 m 的取值范围 ② 当 x ? ? ? ? , 2 ? 时, f ? x ? ? 4 的值恒为负数,求 a 的取值范围
x 解:①由 f ? lo g a ? ?

a a ?1
2 ?t

? x ? x ? ,令 t ? lo g
?1

x a

,则 x ? a t 代入上式有:
?x

f ?t ? ?

a a ?1
2

?x

t

? x

?

∴ f ?x? ?

a a ?1
2

?a

x

?a

? ? a ? 0且 a ? 1?

知 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 恒成立 ∴ f ? x ? 为奇函数 由 f ? 1 ? m ? ? f ? 1 ? m 2 ? ? 0 得: f ? 1 ? m ? ? f ? m 2 ? 1 ? (1)当 0 ? a ? 1 时,
a a ?1
2

? 0,

f

? x ? 在 R 上递增,∴

?1 ? 1 ? m ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? m ?
2 2

2

(2)当 a ? 1 时, f ? x ? 在 R 上递增,∴ ? 1 ? 1 ? m ? 1 ? m ? 1 ? 1 ? m ? 综上: m 的取值范围为 m 1 ? m ? ②由已知得:
a a ?1
2

2

?

2

?
a a ?1
2
2

?a

x

?a

?x

? ? 4 ? 0 对 a ? 2 恒成立,由①知 f ? x ? 在 R 上递增, ?a
2

∴ f ? x ? ? 4 在 ? ? ? , 2 ? 上递增,∴只需 即:
a ? a ? 1? ? a ? 1?
2 2

?a

?2

??4 ? 0
3 ? a ? 2? 3且 a ? 1

? a ? 1? a
2

2

? 4 ? 0 ,即: a ? 4 a ? 1 ? 0 ∴ 2 ?

∴ a 的取值范围为 a 2 ?

?

3 ? a ? 2?

3且 a ? 1

?

【练讲题】
1、已知函数 f ( x ) ? ?
? 2 ? x ? 4 x, x ? 0 ?4 x ? x , x ? 0 ?
2

若 f ( 2 ? a ) ? f ( a ), 则实数 a 的取值范围是(
2

)

A. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? )

B. ( ? 1, 2 )

C. ( ? 2 ,1)

D. ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )

2、在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x ? (1 ? y ) .若关于 x 的不等式 x ? ( x ? a ) ? 0 的解集是集合 { x | ? 1 ? x ? 1}

的子集,则实数 a 的取值范围是( A. [0, 2 ]

) C. [0,1) ? (1, 2 ] D. [ ? 2 , 0 ]
2

B. [ ? 2, ? 1) ? ( ? 1, 0 ]

3、 已知 f ( x ) 是定义在 ( ? 3 , 3 ) 上的奇函数,且当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3 ,那么不等式
f ( x ) · co s x ? 0 的解集是(


?
2 ? x ? 3} ? x ? 3}

A. { x |? 3 ? x ? ? B. { x |?
?
2

?
2

或 0 ? x ? 1或

? x ? ? 1或 0 ? x ? 1或

?
2

C. { x |? 3 ? x ? ? 1 或 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 3} D. { x |?
?
2 ? x ? ? 1 或 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 3}
2

4、 设奇函数 f ? x ? 在 ? ? 1,1 ? 上是增函数, f ? ? 1 ? ? ? 1 , 且 若函数 f ? x ? ? t ? 2 a t ? 1 对所有的 x ? ? ? 1,1 ? ,
a ? ? ? 1,1 ? 都成立,则 t 的取值范围是(

) B. ?
1 2 ? t ? 1 2

A. ? 2 ? t ? 2 C. t ? ? 2 或 t ? 0 或 t ? 2

D. t ? ?

1 2

或t ? 0 或t ?

1 2

0 ? ? 5、定义在 ? ? ? , ? ? ? 0, ? ? 上的偶函数 f ( x ) ,在 ? 0, ? ? 上为减函数,且 f ? 2 ? ? 0 ,则不等式
x ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ? 0 的解集是(

) B. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 0 , 2 ? D. ? ? 2 , 0 ? ? ? 2 , ?? ?

A. ?? 2 , 0 ? ? ? 0 , 2 ? C. ? ? ? , ? 2 ? ? ? 2 , ?? ?

6.某种电热水器的水箱盛满水是 200 升,加热到一定温度可浴用,浴用时,已知每分钟放水 34 升,在放

水的同时注水,t 分钟注水 2t2 升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止. 现假定每人洗浴用水 65 升,则该热水器一次至多可供( ) A.3 人洗澡 B.4 人洗澡 C.5 人洗澡 D.6 人洗澡
? b1 ? A= ( a 1 , a 2 , a 3 ) ,B= ? b 2 ? ? b3 ? ? ? ? ?

7 .设

?1 ? ,记 A☉B=max ?a 1 b 1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ? ,若 A= ( x ? 1, x ? 1,1) ,B= ? x ? 2 ? ? x ?1 ?

? ? ? ,且 A☉ ? ? ?

B= x ? 1 ,则 x 的取值范围为______________

?1, x ? 0 ? 8 .已知符号函数 sgn x ? ? 0 , x ? 0 ,则不等式 ( x ? 1) sgn x ? 2 的解集是_____________. ? ? 1, x ? 0 ?

9 .关于 x的 不 等 式 : 4 - x ? k ( x ? 3) ? 3 3 的 解 集 为 ? m , n ? , 若 n - m = 3 ,则实数 k 的值等于
2



10.若 f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的增函数,且对一切 x ? 0 满足 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) .
y

x

(1)求 f (1 ) 的值; (2)若 f ( 6 ) ? 1, 解不等式 f ( x ? 3 ) ? f ( ) ? 2
x 1

11. 已知函数 f

?x? ?

x ?c
2

ax ? b

为奇函数, f ? 1 ? ? f ? 3 ? , 且不等式 0 ? f ? x ? ?

3 2

的解集是 ? ? 2, ? 1 ? ? ? 2, 4 ? 。

(1)求 a , b , c 的值;
2 (2)是否存在实数 m 使不等式 f ? ? 2 ? s in ? ? ? ? m ?

3 2

对一切 ? ? R 成立?若存在,求出 m 的取值

范围;若不存在,请说明理由。

12. 已知两个非零向量为 b ? ? a ? 1,
?

?

?

? ? ? x ? ,2 ? a ? ?,c ? ? x?2? ? x?2 ? 1

,解关于 x 的不等式: b ? c

? ?

?1

。 (其中 a

? 0)

答案 1-6. CDBCDB
7 .1 ? x ? 1 ?
x
2

8 . { x x ? ? 3 或 x ? 1}

9 . 3

10. (1)? f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) ? f (1) ? f (1) ? f (1) ? 0即 f (1) ? 0
y

(2)?

f (6 ) ? 1? 2 ? 2 f (6 ) ? f ( x ? 3) ? f (

1 x

) ? 2 f (6) ? f ( x

2

? 3 x ) ? 2 f (6 )

f ( x ? 3 x ) ? f (6) ? f (6)
2

即 f(

x

2

? 3x 6

) ? f (6)

? ? ?x ? ? f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上 的 增 函 数 ? ? 2 ?x ? ?

? 3? ? 0 x ? 0 ? 3x 6

? 6

? 3? x ?

3 ? 3 17 2



11. (1)f 解:

? x ? 是奇函数 ?
0

f

??x? ?

? f

? x ? 对定义域内一切 x 都成立 ? b=0,从而 f ? x ? ?

1? c ? ?x ? ?。 a? x?

又?

? f ?2? ? 0 ? ? ? ? f ? f ? ?2 ? ? 0 ?? f ?2? ? 0 ? ? ? f ?

?2? ?

?2? ?

?a ? 0 ?a ? 0 0 ? c ? ? 4 ,再由 f ? 1 ? ? f ? 3 ? ,得 ? 或? , ?c ? 3 ?c ? 3

所以 a ? 0 。 此时, f ? x ? ?
1? 4? ? x ? ? 在 ? 2 , 4 ? 上是增函数,注意到 f a? x?

? 2 ? ? 0 ,则必有 f ? 4 ? ?

3 2

,即

1? 4? 3 ? 4 ? ? ? ,所以 a ? 2 ,综上: a ? 2, b ? 0, c ? ? 4 ; a? 4? 2

(2)由(1) f ? x ? ? ,

1? 4? ? x ? ? ,它在 ? ? ? , 0 ? , ? 0 , ? ? ? 上均为增函数,而 ? 3 ? ? 2 ? sin ? ? ? 1 所 2? x? ? ?
3 3 5 3? 2 2 , ,符合题设的实数 m 应满足 ? m ? ,即 m ? 0 ,故符合题 ? 2 2 6 2?

以 f ? ? 2 ? sin ? ? 的值域为 ? ? 设的实数 m 不存在。 12 解: b ? c
? ? ?

?a

? 1? x

x?2
? 2

?

2?a x?2

,由 b ? c
2

? ?

?1



?a

? 1? x ? 2 ? a x?2
? 2;

?1?

?a

? 2? x ? ?a ? 4? x?2

? 0



(1)当 a (2)当 a

时,原不等式 ? 时, x1 ?
a?4 a?2

x?2

? 0

,∴ x

? 2

, x2 ? 2

,由于

a ?4 a ?2

?2 ?

?a a ?2

,而 a

? 0 ,于是有:

① 当

?a a ?2 ?a a ? 2

? 0

,即 0 ?

a ? 2

时, a ? 2 ? 0 ,

a?4 a?2

x?

a ?4 a ?2 ? 0

? 2

,原不等式 ?
x?

x?2 a?4 a?2 ? 0

,∴ 2 ? x ?

a?4 a?2



② 当

? 0 ,即 a ? 2

时, a ? 2 ? 0 ,

a?4 a?2
? ?

? 2

,原不等式 ? 当a
? 2

x?2

,∴ x ?

a ?4 a ?2

或x

? 2。

综上所得:当 0 ? 当a
? 2

a ? 2

时,不等式的解集为 ? 2 ,
? ? a ?4? ? ? ? 2, ? ? ? a ?2?

a ? 4? ?; a ? 2?

时,不等式的解集为 ? 2 , ? ? ? ;

时,不等式的解集为 ? ? ? ,




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