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2011届高三数学一轮巩固与练习:古典概型、几何概型


(高考、中考、考研、留学英国)

巩固 1.袋中有红色、黄色、绿色球各一个,每次任取一个球,有放 回地抽取三次,所取球的颜色全相同的概率是( ) 1 1 A.9 B.8 1 1 C.3 D.6 解析:选 A.记“所取球的颜色全相同”为事件 A,有放回地抽取 三次共有 27 个等可能事件, 事件 A 包含其中的 3 个基本事件, ∴P(A) 3 1 =27=9.故选 A. 2.(2010 年北京海淀区高中质检)如图,四 边形 ABCD 是一个边长为 1 的正方形,△MPN 是正方形的一个内接正三角形, MN∥AB, 且 若 向正方形内部随机投入一个质点, 则质点恰好落 在△MPN 的概率为( ) 1 3 A.2 B. 2 3 3 D. 4 C. 3 3 S△MNP 4 解析: D.易知质点落在三角形 MNP 内的概率 P= S 选 =1= ABCD 3 4. πx 3. (2009 年高考山东卷)在区间[-1,1]上随机取一个数 x, 2 的 cos 1 值介于 0 到2之间的概率为( ) 1 2 A.3 B.π 1 2 C.2 D.3 πx 解析: A.在区间[-1,1]上随机取一个实数 x, 2 的值位于[0,1] 选 cos πx 1 区间,若使 cos 2 的值位于[0,2]区间,取到的实数 x 应在区间[-1,

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1 2×3 2 2 1 -3]∪[3,1]内,根据几何概型的计算公式可知 P= 2 =3. 4.在 5 个数字 1、2、3、4、5 中,若随机取出三个数字,则剩下 两个数字都是奇数的概率是________(结果用数值表示). 3 答案:10 5.已知函数 f(x)=-x2+ax-b.若 a、b 都是从区间[0,4]内任取的 一个数,则 f(1)>0 成立的概率是________. 解析: f(1)=-1+a-b>0, a-b>1, 即 如图, 9 2 S△ABC 9 A(1,0), B(4,0), C(4,3), △ABC=2, S P= = S正方形 4×4 9 =32. 9 答案:32 6.(2009 年高考福建卷)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各 一个,现依次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得 总分为 5 的概率. 解:(1)一共有 8 种不同的结果,列举如下,(红,红,红)、(红、 红,黑)、(红,黑,红)、(红,黑,黑)、(黑,红,红)、(黑,红,黑), (黑,黑,红),(黑,黑,黑). (2)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A. 事件 A 包含的基本事件为:(红,红,黑)、(红,黑,红)、(黑, 红,红),事件 A 包含的基本事件数为 3. 3 由(1)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P(A)=8.

练习

1.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从 中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )

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1 1 A.5 B.4 4 1 C.5 D.10 解析:选 C.从盒中的 10 个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件 总数为 10,其中抽到合格铁钉(记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以 8 4 所求的概率为 P(A)=10=5.故选 C. 2. 如图, 有一圆盘, 其中阴影部分的圆心角为 45°, 向圆盘内投镖,如果某人每次都投入圆盘内,那么他投 中阴影部分的概率为( ) 1 1 B.4 A.8 1 3 C.2 D.4 45 1 解析:选 A.P=360=8. 3.如图,三行三列的方阵中有 9 个数 aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中 任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 4 3 A.7 B.7 1 13 C.14 D.14 解析:选 D.从 9 个数中任取 3 个数共有 C93=84 种取法,三个数 分别位于三行或三列的情况有 6 种. 84-6 13 ∴所求的概率为 84 =14.

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5.在平面直角坐标系 xOy 中,设 M 是横坐标与纵坐标的绝对值 均不大于 4 的点构成的区域, 是到原点的距离不大于 1 的点构成的 N 区域,向 M 中随机投一点,则落入 N 中的概率为( ) π π B.32 A.64 π π C.16 D.4 解析:选 A.根据题意可得点 M(x,y)满足|x|≤4 且|y|≤4,其构成 的区域是以原点为中心,边长为 8 的正方形,面积为 S1=64,N 点所 表示的平面区域是以原点为圆心,以 1 为半径的圆及其内部,面积为 S2 π S2=π,故向 M 中投一点,落入 N 中的概率为 P=S =64. 1 6.一个坛子里有编号为 1,2,…,12 的 12 个大小相同的球,其 中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的 都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为( ) 1 1 A.22 B.11 3 2 C.22 D.11

7.两根相距 9 m 的电线杆扯一根电线,并在电线上挂一盏灯, 则灯与两端距离都大于 3 m 的概率为________. 解析:灯挂在电线上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区 域的几何度量为 =9 m,记“灯与两端距离都大于 3 m”为事件 A, 则把电线三等分, 当灯挂在中间一段上时, 事件 A 发生, A=3 m, 即

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A 3 1 ∴P(A)= =9=3. 1 答案:3 8.任取一个三位正整数 n,则对数 log2n 是一个正整数的概率是 ________. 解析:∵26=64,27=128,28=256,29=512,210=1024, ∴满足条件的正整数只有 27,28,29 三个, 3 1 ∴所求的概率 P=900=300. 1 答案:300 9. 已知函数 f(x)=2ax2-bx+1, a 是从 若 区间[0,2]上任取的一个数,b 是从区间[0,2] 上任取的一个数,则此函数在[1,+∞)上递 增的概率为________. 解析:令 t=ax2-bx+1,函数 f(x)在[1, +∞)上递增,根据复合函数单调性的判断方 法,则 t=ax2-bx+1 须在[1,+∞)上递增, -b ∴- 2a ≤1,即 2a≥b.

0≤a≤2 由题意得0≤b≤2 2a≥b

,画出图示得阴影部分面积.

1 2×2-2×2×1 3 ∴概率为 P= =4. 2×2 3 答案:4

10.将一颗骰子先后抛掷两次,得到的点数分别记为 a,b.

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x≥0 (1)求点 P(a,b)落在区域y≥0 x+y-5≤0

内的概率;

(2)求直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率. 解:(1)先后两次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记 a,b,则 事件总数为 6×6=36.

x≥0 ∵y≥0 x+y-5≤0

表示的平面区域如图所示:

当 a=1 时,b=1,2,3,4; a=2 时,b=1,2,3 a=3 时,b=1,2; a=4 时,b=1 共有(1,1)(1,2)…(4,1)10 种情 况. 10 5 ∴P=36=18. (2)∵直线 ax+by+5=0 与圆 2 x + y2 = 1 相 切 的 充 要 条 件 是 5 2 2 2 2=1,即 a +b =25, a +b ∵a、b∈{1,2,3,4,5,6} 满足条件的情况只有:a=3,b=4 或 a=4,b=3 两种情况, 2 1 ∴直线与圆相切的概率 P=36=18. 1 ∴直线 ax+by+5=0 与圆 x2+y2=1 不相切的概率为 P=1-18= 17 18. 11.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数 中任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. 解:设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根” ,当 a≥0,b≥0 2 2 时,方程 x +2ax+b =0 有实根的充要条件为 a≥b. http://bbs.indexedu.com

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(1)基本事件共有 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2), (2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 9 3 P(A)=12=4. (2)试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件 A 的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}, 1 3×2-2×22 2 所以所求的概率为 P(A)= =3. 3×2 12.有赤玉 2 块,青玉 3 块,白玉 5 块,将这 10 块玉装在一个 袋内,从中取出 4 块.取出的玉中同色的 2 块作为一组.赤色一组得 5 点,青色一组得 3 点,白色一组得 1 点,得点合计数用 x 表示. (1)x 共有多少种值?其中最大值是什么,最小值是什么? (2)x 取最大值的概率是多少? (3)x 取最小值的概率是多少?x 取最小值时,取出 3 种不同颜色 的玉的概率是多少? 解:(1)满足条件的同色组有两组的情况为: {赤,赤,青,青}…8 点,{赤,赤,白,白}…6 点,{青,青, 白,白}…4 点,{白,白,白,白}…2 点. 同色组只有一组的情况为: {赤,赤,△,○}…5 点(△,○为异色的玉,下同),{青,青, △,○}…3 点,{白,白,△,○}…1 点. 由上可知,x 共有 7 种值,最大值为 8,最小值为 1. 即赤玉 2 块, (2)取出的不同方法总数为 C104=210.x 取最大值时, 2 2 青玉 2 块的取法种数为 C2 C3 =3, 3 1 故其概率为210=70. (3)x 取最小值有两种情形: {白, 白, 白, △}(△为白色以外的玉), {白, 赤, 白, 青}, 这两种情形的取法数分别为 C53C51=50 和 C52C21C31 =60, 50+60 11 所以 x 取最小值的概率为 210 =21. x 取最小值时,取 3 种不同颜色的玉的取法只有 C52C21C31=60 http://bbs.indexedu.com

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60 6 种,故所求概率为 =11. 60+50

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