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高中数学必修1公开课课件1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性_图文

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性

引入1

如图为我市某日24小时内的气温变化

图.观察这张气温变化图:

引入2

德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人

类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得
到了有趣的数据 数据表明,记忆的数量y是
y
100

记忆的数量(百分数)

时间间隔t的函数. 艾宾浩
斯根据这些数据描绘出了著 名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲 线”,如图:

80

60 40
20

o

1

2

3

天数

t

思考1:当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应
的函数值y有什么变化趋势?通过这个实验,

你打算以后如何对待刚学过的
知识?

y记忆的数量(百分数)
100
80

思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线”60
40
20

从左至右是逐渐下降的,对此, 我们如何用数学观点进行解释?

o

1

2

3

天数

t

1.理解单调函数的定义;(重点)
2.理解增函数、减函数的定义;(重点)

3.掌握定义法判断函数单调性的步骤;(难点)
4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性, 求函数的单调区间.

探究点 函数单调性的定义 我们通过几个函数的图象观察函数值随自 变量而变化的规律.

函数值在( ? ?, ? ?)上 随着自变量的增大而增大.

函数值在( ? ?, 0)上随自变量的 增大而减少,在[0, ? ?)上随 自变量的增大而增大.

这种函数在其定义域的一个区间上函数值随
增大而增大 的性质我们称之为“函 着自变量的___________

数在这个区间上是增函数”;函数在其定义域的 增大而减少 的 一个区间上函数值随着自变量的___________ 性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.

如何用函数的解析 式和数学语言进行 描绘?

对函数f(x)=x2而言,“函数值在(0,+∞)上随 自变量的增大而增大”,可以这样描述:在区间 (0,+∞)上任取两个实数x1,x2,得到函数值 f(x1)<f(x2). f(x1)=x12,f(x2)=x22,当x1<x2时,有____________ 请同学们用数学语言描述函数f(x)在(-∞,0]上

函数值随自变量的增大而减小的情况.

函数单调性的相关概念 一般地,设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 f(x1)<f(x2) ,那 量的值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有___________ 么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数.

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变 f(x1)>f(x2) ,那 量的值 x1,x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有___________ 么就说函数 f (x) 在区间D上是减函数.

增函数或减函数 , 如果函数y=f(x)在区间D上是_______________ 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.

对函数单调性的理解 第一、在中学数学中所说的单调性是指严格的单
调性, 即必须是f(x1)<f(x2) (或f(x1)>f(x2)), 而不能是f(x1)≤f(x2) (或f(x1)≥f(x2));

第二、函数的单调性是对定义域内的某个区间而
言的, 是局部概念; 第三、学习函数的单调性,要注意定义中条件和 结论是双向使用的.

例1.下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据
图象说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上, 它是增函数还是减函数?

? 2), [?2,1),[1,3),[3,5], 解:函数 y ? f (x) 的单调区间有 [?5,
? 2), [1,3) 上是减函数,在区间 其中 y ? f (x) 在区间 [?5,

[?2,1),[3,5] 上是增函数.

【变式练习】

整个上午(8:00—12:00)天气越来越暖,
中午时分(12:00—13:00)一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳 下山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:00— 20:00期间气温作为时间函数的一个可能图象,并

说出所画函数的单调区间.
解:单调增区间是 [8,12),[13,18);

单调减区间是
[12,13),[18,20].

k 例2.物理学中的玻意耳定律p ? ( k为正常数)告诉我们, V 对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大. 试用函数的单调性证明之.
k 分析:即要求证明函数p ? 在(0, ? ?) V 上是减函数 .

取值 证明:根据单调性的定义,设V1,V2是定义域(0,+∞)上 的任意两个实数,且V1<V2,
则p(V1 ) ? p(V2 ) ? V ?V k k ? ?k 2 1. V1 V2 VV 1 2

作差变形

由V1,V2 ? (0, ??),得VV 1 2 ? 0;由V 1 ? V2 , 得V2 ? V 1 ? 0.

又k ? 0, 于是p(V1 ) ? p(V2 ) ? 0,
即p(V1 ) ? p(V2 ).

定号 判断

k 所以,函数 p ? , V∈(0,+∞)是减函数,也就是说,当体 V

积减小时,压强p将增大.

【提升总结】
利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:

①取值:即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且

x1<x2;
②作差变形:即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)),并 用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判 断差的符号的方向变形; ③定号:确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1))的符号,

当符号不确定时,可进行分类讨论;
④判断:根据定义得出结论.

探究实践

1 画出反比例函数f(x)= 的图象. x (1)这个函数的定义域I是什么?
(2)它在定义域I上的单调性是怎样的?
证明你的结论.

函数图象如图

(1)函数的定义域是(-?,0)?(0,+?).
( 2)函数在( ? ?, 0)上和(0, ? ?)上 都是减函数.

函数在(-?,0)上单调递减的证明如下:
证明:任取x1 , x2 ? (??, 0), 且x1 ? x2 , 1 1 x2 ? x1 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? . x1 x2 x1 x2
由x1,x 2∈(-∞, 0)得x1x 2 > 0;由x1 < x2得x2 - x1 > 0. 所以f(x1 )- f(x 2 )> 0,

即f ( x1 ) ? f ( x2) .
1 根据函数单调性的定义,函数( f x) ? 在( ? ?,)上是减函数 0 . x

思考交流
已知 y=f(x)与 y=g(x)在区间 A 上均为增函数,判断函数 y=f(x)+g(x)在区间 A 上的增减性.
解析:在区间 A 内任取两个值 x1、x2,设 x1<x2,

∵y=f(x),y=g(x)为增函数, ∴f(x2)-f(x1)>0,g(x2)-g(x1)>0,
∴[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)] =[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0.

∴f(x2)+g(x2)>f(x1)+g(x1), ∴y=f(x)+g(x)在区间 A 上是增函数.

[探究]

在此题的基础上请同学们继续探究.

若 f(x)、g(x)均为减函数,判断 y=f(x)+g(x)的增减性; 若 f(x)为增函数,g(x)为减函数,判断 y=f(x)-g(x),y =g(x)-f(x)的增减性并证明,并概括:增函数+增函数为增 函数,减函数+减函数为减函数,增函数-减函数为增函数, 减函数-增函数为减函数.

1.设函数f ( x) ? (2a ? 1) x ? b 在R上是严格单调减函数,则有( D ) 1 1 1 1 A.a ?    B a . ?     C.a>     D a< . 2 2 2 2

解析:直线y=kx+b在k<0时,单调递减. ∴2a-1<0,即a<
1 2

(1,+∞) 2.函数 y ? 3x2 ? 6 x ? 1 的单调增区间是___________. 3.函数 f(x)=x2-2ax+3在(-∞,4]上是减函数,则 [4,+∞). a的取值范围为________ 提示:可利用函数图象求解.

4.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一个单 调区间上,函数是增函数还是减函数.

解:函数的单调区间是[-1,0),[0,2),[2,4),[4,5].

在区间[-1,0),[2,4)上,函数是减函数;
在区间[0,2),[4,5]上,函数是增函数.

5.证明函数 f(x)? x ? 2 在区间 [?2, ??) 上是增函数. 证明:任取 x1 , x2 ?[?2, ??) ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 2 ? x2 ? 2
? ( x1 ? 2 ? x2 ? 2)( x1 ? 2 ? x2 ? 2) x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 . x1 ? 2 ? x2 ? 2

因为 x1 ? x2 ? 0, x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? 0,

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 f ( x) ? x ? 2 在区间[-2,+∞)上是增函数.

1.函数的单调性定义的内涵与外延: 内涵:是用自变量的大小变化来刻画函数值的变化 情况; 外延:①一般规律:自变量的变化与函数值的变化

一致时是单调递增,自变量的变化与函数值的变化
相反时是单调递减. ②几何特征:在自变量取值区间上,若函数的图象 上升,则为增函数,图象下降则为减函数.

2.函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性 质,即函数可能在其定义域上的某个区间内递增, 在另外的区间上递减,研究函数的单调性一定要注 意在定义域的哪个区间内.

3. 证明函数的单调性的基本步骤是:
(1)取值; (3)定号; (2)作差变形; (4)判断.

如果你希望成功,那么就要以恒心为良友, 以经验为参谋,以小心为兄弟,以希望为哨兵.


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