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高一数学必修一综合练习

2017-2018 学年度数学寒假作业(一) 一、选择题

1.已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则 A∩B

为( )

A.?

B.{1}

C.[0,+∞)

D.{(0,1)}

2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( )

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

3.若函数 f(x)=?????14???x,x∈[-1, ,

则 f(log43)=(

)

?4x,x∈[0,1],

A.13

B.14

C.3

D.4

4.高为 H、满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,

满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v=f(h)的

大致图象是( )

5.实数 a=0.2 2,b=log 20.2,c=( 2)0.2 的大小关系正确的是( )
1

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<a<c

D.b<c<a

6.设 α ∈{-1,1,12,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的

所有 α 的值为( )

A.1,3

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3

7.函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若

f(a)≤f(2),则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,2]

B.[-2,+∞)

C.[-2,2]

D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

8.函数 f(x)=4x+2x 1的图象(

)

A.关于原点对称

B.关于 y=x 对称

C.关于 x 轴对称

D.关于 y 轴对称

9.已知函数 f(x)=log12x,则方程???12???|x|=|f(x)|的实根个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.2 006

10.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,且 f???13???=0,

则满足 f(log x)>0 的 x 的取值范围是( ) 1 8

A.(0,+∞)

B.???0,12???∪(2,+∞)

2

C.???0,18???∪???12,2???

D.???0,12???

11.已知函数 f(x)=???|-loxg+3x1|1,,0x<>x9≤,9, 若 a,b,c 均不相等,

且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( )

A.(0,9)

B.(2,9)

C.(9,11)

D.(2,11)

12.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送”

的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满 100 元(可以是现金,也可以是奖

励券或二者合计),就送 20 元奖励券;满 200 元,就送 40 元奖励券;满

300 元,就送 60 元奖励券……当日花钱最多的一位顾客共花现金 70 040

元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( )

A.17 000 元

B.17 540 元

C.17 500 元

D.17 580 元

二、填空题

13.设 f(x)=2x2+3,g(x+1)=f(x),则 g(3)=________.

14.设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又 f(x)+g(x)=x-1 1,则 f(x)

=____,g(x)=________.

15.设 P,Q 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“⊙”:P⊙Q={x|x

∈P∪Q,且 x?P∩Q},如果 P={y|y= 4-x2},

Q={y|y=4x,x>0},则 P⊙Q=_______

16.已知函数 f(x)=???2xx2++1a,x,x<x1≥,1, 若 f(f(0))=4a,

则实数 a 等于________.

三、解答题(解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤.)

3

17.已知全集为实数集 R,集合 A={x|y= x-1+ 3-x}, B={x|log2x>1}. (1)求 A∩B,(?RB)∪A; (2)已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值范围.
?x+2,x≤-1, 18.已知函数 f(x)=?x2,-1<x<2,
?2x,x≥2.
(1)求 f[f( 3)]的值; (2)若 f(a)=3,求 a 的值.
19.设 f(x)=lg1+2x3+4xa,且当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意义, 求实数 a 的取值范围.
20.函数 f(x)的定义域为(-3,3),满足 f(-x)=-f(x),且对任 意 x,y,都有 f(x)-f(y)=f(x-y),当 x<0 时,f(x)>0,f(1)=-2.
(1)求 f(2)的值; (2)判断 f(x)的单调性,并证明; (3)若函数 g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式 g(x)≤0 的解集.
4

21.设函数 y=f(x)的定义域为 R,并且满足 f(x+y)=f(x)+f(y), f???13???=1,当 x>0 时,f(x)>0.
(1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)如果 f(x)+f(2+x)<2,求 x 的取值范围.
5

2017-2018 学年度数学寒假作业(一)答案 一、选择题 BBCBC ADDBB CC
10.解析:选 B 由题意知 f(x)=f(-x)=f(|x|), 所以 f(|log 1 x|)>f???13???,因为 f(x)在[0,+∞)上递增,
8
所以|log 1 x|>13,解得 0<x<12或 x>2. 8
11 解析:选 C 作出 f(x)的图象,可知 f(x)在(0,1)上是减函数, 在(1,9)上是增函数,在(9,+∞)上是减函数.∵a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),且 f(1)=0,∴不妨设 a<b<c,则 0<a<1<b<9 <c<11,又∵f(a)=f(b),∴-log3a=log3b,∴ab=1,∴abc=c∈ (9,11),故选 C.
12.解析:选 C 这位顾客花的 70 000 元可得奖励券 700×20=14 000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,才能得到最多优惠,当他 把 14 000 元奖励券消费掉可得 140×20=2 800(元)奖励券,再消费又可 得到 28×20=560(元)奖励券,560 元消费再加上先前 70 040 中的 40 元 共消费 600 元应得奖励券 6×20=120(元),120 元奖励券消费时又得 20 元奖励券.所以他总共会得到 14 000+2 800+560+120+20=17 500(元) 优惠.
二、填空题
6

x

1

13 .11 14.,答案:x2-1 x2-1 15.[0,1]∪(2,+∞) 16.2

三、解答题 17 解:(1)由已知得 A={x|1≤x≤3}, B={x|log2x>1}={x|x>2}, 所以 A∩B={x|2<x≤3}, (?RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}. (2)①当 a≤1 时,C=?,此时 C?A; ②当 a>1 时,若 C?A,则 1<a≤3. 综合①②,可得 a 的取值范围是(-∞,3]. 18.解:(1)∵-1< 3<2,∴f( 3)=( 3)2=3. 而 3≥2,∴f[f( 3)]=f(3)=2×3=6. (2)当 a≤-1 时,f(a)=a+2,又 f(a)=3, ∴a=1(舍去); 当-1<a<2 时,f(a)=a2,又 f(a)=3, ∴a=± 3,其中负值舍去,∴a= 3; 当 a≥2 时,f(a)=2a,又 f(a)=3, ∴a=32(舍去).综上所述,a= 3. 19.解:当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,须 1+2x+4xa>0 恒成立, 也就是 a>-??????12???x+???14???x???(x≤1)恒成立. 令 u(x)=-??????12???x+???14???x???. ∵u(x)=-??????12???x+???14???x???在(-∞,1]上是增函数,
7

∴当 x=1 时,[u(x)]max=-34. 于是可知,当 a>-34时,满足题意, 即 a 的取值范围为???-34,+∞???. 20 解:(1)在 f(x)-f(y)=f(x-y)中, 令 x=2,y=1,代入得:f(2)-f(1)=f(1),所以 f(2)=2f(1)= -4. (2)f(x)在(-3,3)上单调递减.证明如下: 设-3<x1<x2<3,则 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(-3,3)上单调递减. (3)由 g(x)≤0 得 f(x-1)+f(3-2x)≤0, 所以 f(x-1)≤-f(3-2x). 又 f(x)满足 f(-x)=-f(x), 所以 f(x-1)≤f(2x-3), 又 f(x)在(-3,3)上单调递减,

?-3<x-1<3, 所以?-3<2x-3<3,
?x-1≥2x-3,

解得 0<x≤2,

故不等式 g(x)≤0 的解集是(0,2]. 21 解:(1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. (2)令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)是 R 上的奇函数.
8

(3)任取 x1,x2∈R,x1<x2,则 x2-x1>0. ∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)= f(x2-x1)>0, ∴f(x1)<f(x2). 故 f(x)是 R 上的增函数. ∵f???13???=1, ∴f???23???=f???13+13???=f???13???+f???13???=2, ∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f???23???.又由 y=f(x)是 定义在 R 上的增函数, 得 2x+2<23,解之得 x<-23. 故 x∈???-∞,-23???.
9


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