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高一数学必修一综合练习

2017-2018 学年度数学寒假作业(一) 一、选择题 1.已知集合 A={x|y= 1-x2,x∈Z},B={y|y=x2+1,x∈A},则 A∩B 为( ) A.? C.[0,+∞) B.{1} D.{(0,1)} )

2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1)
x

B.(-1,0) D.(1,2)

1? ?? ? ? ,x∈[-1,0?, 3.若函数 f(x)=??4? ?4 ,x∈[0,1],
x

则 f(log43)=(

)

1 A. 3 C.3

B.

1 4

D.4

4.高为 H、 满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示, 其底部碰了一个小洞, 满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v=f(h)的 大致图象是( )

5.实数 a=0.2

2

,b=log

2

0.2,c=( 2)0.2 的大小关系正确的是(
1

)

A.a<c<b C.b<a<c

B.a<b<c D.b<c<a

1 6.设 α ∈{-1,1, ,3},则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的 2 所有 α 的值为( A.1,3 C.-1,3 ) B.-1,1 D.-1,1,3

7 .函数 y = f(x) 是 R 上的偶函数,且在 ( -∞, 0] 上是增函数,若

f(a)≤f(2),则实数 a 的取值范围是(
A.(-∞,2] B.[-2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 4x+1 8.函数 f(x)= x 的图象( 2 A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 )

)

B.关于 y=x 对称 D.关于 y 轴对称 )

1 ?1? 9.已知函数 f(x)=log x,则方程? ?|x|=|f(x)|的实根个数是( 2 ?2? A.1 C.3 B.2 D.2 006

?1? 10.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上递增,且 f? ?=0, ?3? 则满足 f(log 1 x)>0 的 x 的取值范围是(
8

)

A.(0,+∞)

1? ? B.?0, ?∪(2,+∞) 2? ?

2

1? ?1 ? ? C.?0, ?∪? ,2? 8? ?2 ? ?

1? ? D.?0, ? 2? ? 若 a,b,c 均不相等, )

?|log3x|,0<x≤9, 11.已知函数 f(x)=? ?-x+11,x>9,

且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是( A.(0,9) C.(9,11) B.(2,9) D.(2,11)

12.某商店迎来店庆,为了吸引顾客,采取“满一百送二十,连环送” 的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满 100 元(可以是现金,也可以是奖 励券或二者合计),就送 20 元奖励券;满 200 元,就送 40 元奖励券;满 300 元,就送 60 元奖励券??当日花钱最多的一位顾客共花现金 70 040 元,如果按照酬宾促销方式,他最多能得到优惠( A.17 000 元 C.17 500 元 二、填空题 13.设 f(x)=2x +3,g(x+1)=f(x),则 g(3)=________. 14.设 f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,又 f(x)+g(x)= =____,g(x)=________. 15. 设 P, Q 是两个非空集合, 定义集合间的一种运算“⊙”: P⊙Q={x|x ∈P∪Q,且 x?P∩Q},如果 P={y|y= 4-x2}, 1 ,则 f(x) x-1
2

)

B.17 540 元 D.17 580 元

Q={y|y=4x,x>0},则 P⊙Q=_______
x ?2 +1,x<1, 16.已知函数 f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1,

若 f(f(0))=4a,

则实数 a 等于________. 三、解答题(解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤.)
3

17.已知全集为实数集 R,集合 A={x|y= x-1+ 3-x},

B={x|log2x>1}.
(1)求 A∩B,(?RB)∪A; (2)已知集合 C={x|1<x<a},若 C?A,求实数 a 的取值范围.

?x+2,x≤-1, 18.已知函数 f(x)=?x ,-1<x<2, ?2x,x≥2.
2

(1)求 f[f( 3)]的值; (2)若 f(a)=3,求 a 的值.

1+2x+4xa 19.设 f(x)=lg ,且当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意义, 3 求实数 a 的取值范围.

20.函数 f(x)的定义域为(-3,3),满足 f(-x)=-f(x),且对任 意 x,y,都有 f(x)-f(y)=f(x-y),当 x<0 时,f(x)>0,f(1)=-2. (1)求 f(2)的值; (2)判断 f(x)的单调性,并证明; (3)若函数 g(x)=f(x-1)+f(3-2x),求不等式 g(x)≤0 的解集.

4

21.设函数 y=f(x)的定义域为 R,并且满足 f(x+y)=f(x)+f(y),

f? ?=1,当 x>0 时,f(x)>0.
(1)求 f(0)的值; (2)判断函数的奇偶性; (3)如果 f(x)+f(2+x)<2,求 x 的取值范围.

?1? ?3?

5

2017-2018 学年度数学寒假作业(一)答案 一、选择题 BBCBC 10.解析:选 B ADDBB CC

由题意知 f(x)=f(-x)=f(|x|),

?1? 所以 f(|log 1 x|)>f? ?,因为 f(x)在[0,+∞)上递增, ?3? 8 1 1 所以|log 1 x|> ,解得 0<x< 或 x>2. 3 2
8

11 解析:选 C

作出 f(x)的图象,可知 f(x)在(0,1)上是减函数,

在(1,9)上是增函数,在(9,+∞)上是减函数.∵a,b,c 互不相等,且

f(a)=f(b)=f(c),且 f(1)=0,∴不妨设 a<b<c,则 0<a<1<b<9
< c < 11 ,又∵ f(a) = f(b) ,∴- log3a= log3b ,∴ ab = 1 ,∴ abc= c ∈ (9,11),故选 C.

12 .解析:选 C

这位顾客花的 70 000 元可得奖励券 700×20= 14

000(元),只有这位顾客继续把奖励券消费掉,才能得到最多优惠,当他 把 14 000 元奖励券消费掉可得 140×20=2 800(元)奖励券,再消费又可 得到 28×20=560(元)奖励券,560 元消费再加上先前 70 040 中的 40 元 共消费 600 元应得奖励券 6×20=120(元),120 元奖励券消费时又得 20 元奖励券. 所以他总共会得到 14 000+2 800+560+120+20=17 500(元) 优惠. 二、填空题
6

13 .11

14.,答案:

x x -1
2

1 15.[0,1]∪(2,+∞) 16.2 x -1
2

三、解答题 17 解:(1)由已知得 A={x|1≤x≤3},

B={x|log2x>1}={x|x>2},
所以 A∩B={x|2<x≤3}, (?RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}. (2)①当 a≤1 时,C=?,此时 C?A; ②当 a>1 时,若 C?A,则 1<a≤3. 综合①②,可得 a 的取值范围是(-∞,3]. 18.解:(1)∵-1< 3<2,∴f( 3)=( 3)2=3. 而 3≥2,∴f[f( 3)]=f(3)=2×3=6. (2)当 a≤-1 时,f(a)=a+2,又 f(a)=3, ∴a=1(舍去); 当-1<a<2 时,f(a)=a ,又 f(a)=3, ∴a=± 3,其中负值舍去,∴a= 3; 当 a≥2 时,f(a)=2a,又 f(a)=3, 3 ∴a= (舍去).综上所述,a= 3. 2 19.解:当 x∈(-∞,1]时,f(x)有意义,须 1+2x+4xa>0 恒成立, ??1? ?1? ? 也就是 a>-?? ?x+? ?x?(x≤1)恒成立. ??2? ?4? ? ??1? ?1? ? 令 u(x)=-?? ?x+? ?x?. ??2? ?4? ? ??1? ?1? ? ∵u(x)=-?? ?x+? ?x?在(-∞,1]上是增函数, ??2? ?4? ?
7
2

3 ∴当 x=1 时,[u(x)]max=- . 4 3 于是可知,当 a>- 时,满足题意, 4 ? 3 ? 即 a 的取值范围为?- ,+∞?. ? 4 ? 20 解:(1)在 f(x)-f(y)=f(x-y)中, 令 x=2,y=1,代入得:f(2)-f(1)=f(1),所以 f(2)=2f(1)= -4. (2)f(x)在(-3,3)上单调递减.证明如下: 设-3<x1<x2<3,则 x1-x2<0, 所以 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0, 即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(-3,3)上单调递减. (3)由 g(x)≤0 得 f(x-1)+f(3-2x)≤0, 所以 f(x-1)≤-f(3-2x). 又 f(x)满足 f(-x)=-f(x), 所以 f(x-1)≤f(2x-3), 又 f(x)在(-3,3)上单调递减,

?-3<x-1<3, 所以?-3<2x-3<3, ?x-1≥2x-3,

解得 0<x≤2,

故不等式 g(x)≤0 的解集是(0,2]. 21 解:(1)令 x=y=0,则 f(0)=f(0)+f(0), ∴f(0)=0. (2)令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),故函数 f(x)是 R 上的奇函数.
8

(3)任取 x1,x2∈R,x1<x2,则 x2-x1>0. ∵f(x2)-f(x1) =f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1) -f(x1)=

f(x2-x1)>0,
∴f(x1)<f(x2). 故 f(x)是 R 上的增函数. ?1? ∵f? ?=1, ?3? ?2? ?1 1? ?1? ?1? ∴f? ?=f? + ?=f? ?+f? ?=2, ?3? ?3 3? ?3? ?3? ?2? ∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f? ?.又由 y=f(x)是 ?3? 定义在 R 上的增函数, 2 2 得 2x+2< ,解之得 x<- . 3 3 2? ? 故 x∈?-∞,- ?. 3? ?

9


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