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直线与方程复习课001


一.斜率k→直线的倾斜角α
定义:一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小 正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x轴平 行或重合 时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范 围是.α∈ [0 ,π).

斜率k:1..k=tanα
0°≤α <90° 90°< α <180° α =90°

2.k不存在

3.K=(y2-y1)/(x2-x1)
练习:已知A?2,3?, B?? 3,?2?, 若直线l过点P?1,1?与线段AB 相交, 求l的斜率K的范围_________

二.直线方程的五种形式
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线

点斜式 点P ( x1,y1 )和斜率k y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 1 斜截式 斜率k和y轴上的截距 两点式 截距式 一般式
y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 ? 不垂直于x、y轴的直线 点P ( x1,y1 )和点P2 ( x2,y2 ) 1 y1 ? y2 x1 ? x2

在x轴上的截距a 在y轴上的截距b

x y ? ?1 a b

不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线

Ax ? By ? C ? 0 A、B不同时为零

基础自测
1.下列四个命题中,假命题是( ) A.经过定点P(x0,y0)的直线不一定都可以用方程

y-y0=k(x-x0)表示
B.经过两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线 都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1) 来表示 C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程 + =1表示

D.经过点Q(0,b)的直线都可以表示为y=kx+b

2.判断选择何种直线方程,并求出直线方程. (1)在x轴,y轴上的截距分别为4,-2

(2)斜率为2,在y轴上的截距为-2
(3)经过点(1,2),(2,-1) (4)经过点(2,-1),k=2

三.直线与直线的位置关系
1.有斜率的两直线l1:y=k1x+b1;l2:y=k2x+b2; 有:①l1∥l2

?

k1=k2且b1≠b2; ② l1⊥l2

?

k1· 2=-1; k ③l1与l2相交

?

k1≠k2 l1与l2重合



?

k1=k2 且b1=b2。

2.一般式的直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0 有:①l1∥l2 ? A1B2-A2B1=0;B1C2-B2C1≠0 ②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 ③l1与l2相交? A B -A B ≠0 1 2 2 1 ④l1与l2重合 ? A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。

注意 : 与Ax ? By ? C ? 0平行的直线设成Ax ? By ? m ? 0 垂直..... Bx - Ay ? m ? 0

练习
1.l1 : 2 x ? ?m ? 1? y ? 4 ? 0, l2 : mx ? 3 y ? 2 ? 0 若l1 // l2 , 求m
2.l1 : ?a ? 2?x ? ?1 ? a ? y ? 1 ? 0, l2 : ?a ? 1?x ? ?2a ? 3? y ? 2 ? 0 若l1 ? l2 , 求a

四.二元一次方程组的解与两条直线的位置关系

?l1 , l2相交 ? 唯一解 ? A1x ? B1 y ? C1? 0 ? ?无穷多解 ? ?l , l 重合 ?1 2 ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ? ? ?l , l ? ? 无解 ? 1 2平行
五.无论?取何实数 方程 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 表示过 ? 两个交点的直线. ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

练习
1.求证 : 无论m取何值, 直线mx ? 2?m ? 1?y ? 1 ? 0恒过定点

2.求过点?1,2 ? 且与直线2 x ? y ? 1 ? 0垂直的直线方程.

六.平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是

| P P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 1
2

2

七.

( 点 x0,y0) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

八.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的 距离是
d= C1 - C 2 A 2 + B2

例题1:已知直线 l 过定点 P (1, 2) , 在下列 条件下,求直线l 的方程.

y 3 2
1 O

(1)斜率是直线2 x ? y ? 1 ? 0
P(1,2)

斜率的两倍 (2)倾斜角是直线2 x ? y ? 1 ? 0 倾斜角的两倍

1

2 3 x

问题:已知直线 l 过定点 P (1, 2) , 在下列 条件下,求直线l 的方程.
y 3 2
1 O 1 2 3 x

(1)截距相等
P(1,2)

(2)原点到直线l的距离为2
(3)原点到直线l的距离最大时
(4)与点A(?1,0), B(3,1) 距离相等

问题:已知直线 l 过定点 P (1, 2) , 在下列 条件下,求直线l 的方程.
y ?B 3 P(1,2) 2 1 O 1 2 3 x

与x轴y轴的正半轴 分别交于A, B两点

A ?

与x轴y轴的正半轴分别交于A, B两点,
(1) ?OAB的面积为10时
(2)?OAB的面积最小时 (3)?OAB的周长最小时
(4) OA ? OB 最小时 (5) PA ? PB 最小时
y? B 3 P(1,2) 2 1 O 1
?

A

2 3 x

一题多变 加强联系 一题多解 比较优劣 多题一解 抓住本质


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