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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(海南宁夏卷·文科)(附答案,完全word版)

年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学
数学( 数学(文)试题头说明: 试题头说明: 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分,其中第Ⅱ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~23 题为 选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效. 选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考 试结束,将本试卷和答题卡一并交回. 试结束,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 .答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; . 选择题答案使用 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. .保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 .做选考题时,考生按照题目要求作答, 涂黑. 涂黑. 参考公式: 参考公式: 锥体体积公式 样本数据 x1,x2,…,xn 的标准参 s=

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 + … + ( xn ? x ) 2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 合题目要求的. 1.已知集合 M = x ( x + 2)( x ? 1) < 0 , N = x x + 1 < 0 ,则 M I N = ( A. ( ?11) , B. (?2, 1) C. ( ?2, 1) ? D. (1, 2)

{

}

{

}



2.双曲线

x2 y 2 ? = 1 的焦距为( 10 2
B. 4 2



A. 3 2

C. 3 3

D. 4 3

3.已知复数 z = 1 ? i ,则 A. 2 B. ?2

z2 =( z ?1
C. 2i

) D. ?2i

第 1 页 共 10 页

4.设 f ( x ) = x ln x ,若 f ′( x0 ) = 2 ,则 x0 = ( A. e
2

) 开始 输入 a,b,c

B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2

5.已知平面向量 a = (1, 3) , b = (4, 2) , λ a + b 与 a 垂直, ? ? 则λ =( ) A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2 6.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 项中的( ) A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c

x=a
b>x
否 是 是

x=b

否 输出 x 结束 7.已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ? ai x ) < 1(i = 1, 3) 都成立的 x 取值范围是( 2,
2

x=c



A. ? 0, ?

? ?

1? a1 ?

B. ? 0, ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?


8.设等比数列 {an } 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A. 2 B. 4

S4 =( a2

C.

15 2

D.

17 2

9.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.?λ ∈ R , b = λ a



D.存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1a + λ2 b = 0 10.点 P ( x,y ) 在直线 4 x + 3 y = 0 上,且 x,y 满足 ?14 ≤ x ? y ≤ 7 ,则点 P 到坐标原点 距离的取值范围是( A. [ 0, 5] ) C. [5, ] 10 D. [5, ] 15 )

B. [ 0, ] 10

11.函数 f ( x ) = cos 2 x + 2sin x 的最小值和最大值分别为( A. ?1 , 1 B. ?2 , 2 C. ?3 ,

3 2

D. ?2 ,

3 2

12.已知平面 α ⊥ 平面 β , α I β = l ,点 A ∈ α , A ? l ,直线 AB ∥ l ,直线 AC ⊥ l ,

第 2 页 共 10 页

直线 m ∥α,m ∥ β ,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ... A. AB ∥ m B. AC ⊥ m C. AB ∥ β D. AC ⊥ β



第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 题为必考题, 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答. 题为选考题,考生根据要求做答. 做答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知 {an } 为等差数列, a1 + a3 = 22 , a6 = 7 ,则 a5 = .

14.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 .

15.过椭圆

x2 y 2 + = 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点, O 为坐标 5 4

. 原点,则 △OAB 的面积为 16.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图 甲 3 7 5 5 5 4 8 7 3 3 9 4 8 5 5 7 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6 乙

5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图, ACD 是等边三角形, ABC 是等腰直角三角形, ACB = 90 ,BD 交 AC 于 E , △ △ ∠
o

AB = 2 . (Ⅰ)求 cos∠CAE 的值;

第 3 页 共 10 页

(Ⅱ)求 AE . D C E A B

18. (本小题满分 12 分) 如下的三个图中, 上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图. 它的正视图和俯视 图在下面画出(单位:cm) (Ⅰ)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (Ⅲ)在所给直观图中连结 BC ′ ,证明: BC ′ ∥面 EFG .

D′
G E D A F

C′ B′

2

6

2 2 4

C B 4

19. (本小题满分 12 分) 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校 6 名学 生进行问卷调查.6 人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体. (Ⅰ)求该总体的平均数; (Ⅱ)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知 m ∈ R ,直线 l : mx ? ( m 2 + 1) y = 4m 和圆 C : x 2 + y 2 ? 8 x + 4 y + 16 = 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

第 4 页 共 10 页

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ax ?

b ,曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 = 0 . x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)证明:曲线 y = f ( x) 上任一点处的切线与直线 x = 0 和直线 y = x 所围成的三角形面 积为定值,并求此定值.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 、 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM , 垂足为 P . (Ⅰ)证明: OM OP = OA ;
2

(Ⅱ) N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON ,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交 直线 ON 于 K .证明:∠OKM = 90 .
o

B A N P

K M

O

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程

? ?x = ? x = cos θ, ? 已知曲线 C1: ? ( θ 为参数) ,曲线 C2: ? ? y = sin θ ?y = ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) . 2 t 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′,C2′ .写出

C1′,C2′ 的参数方程. C1′ 与 C2′ 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你
的理由.

第 5 页 共 10 页

2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 文科数学试题参考答案和评分参考 文科数学试题参考答案和评分参考 数学试题参考答案
评分说明: 评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 .本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同, 工考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 参考制订相应的评分细则. 工考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 .对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时, 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分, 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. .解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分. .只给整数分数.选择题不给中间分. 选择题: 一、选择题: 1.C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.D 10.B 11.C 12.D 填空题: 二、填空题: 13. 15 14.

4 π 3

15.

5 3

16. (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤 维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花 的纤维长度的分散程度更大) . (3) 甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm, 乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 上面给出了四个结论.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 注:上面给出了四个结论.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 三、解答题 17.解: (Ⅰ)因为∠BCD = 90 + 60 = 150 , CB = AC = CD ,
o o o

所以∠CBE = 15 .
o

所以 cos∠CBE = cos(45 ? 30 ) =
o o

6+ 2 . ································································· 6 分 4

(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB = 2 , 由正弦定理

AE 2 = . o o sin(45 ? 15 ) sin(90o + 15o )

2sin 30o 故 AE = = cos15o



1 2

6+ 2 4

= 6 ? 2 . ····································································· 12 分

第 6 页 共 10 页

18.解: (Ⅰ)如图 2 6 4 (正视图) 4 (侧视图) 2 2 4 2 2 (俯视图) 6

···························································································· 3 分 (Ⅱ)所求多面体体积

V = V长方体 ? V正三棱锥

1 ?1 ? = 4× 4× 6 ? ×? × 2× 2?× 2 3 ?2 ?
284 D′ C′ (cm 2 ) . ········································································· 7 分 G 3 F A′ B′ (Ⅲ)证明:在长方体 ABCD ? A′B′C ′D′ 中, 连结 AD′ ,则 AD′ ∥ BC ′ . E D 因为 E,G 分别为 AA′ , A′D′ 中点, C 所以 AD′ ∥ EG , A B 从而 EG ∥ BC ′ .又 BC ′ ? 平面 EFG , 所以 BC ′ ∥面 EFG . ········································································································· 12 分 =
19.解: (Ⅰ)总体平均数为

1 (5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) = 7.5 . ·························································································· 4 分 6 . (Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”
从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: , , , , , , , , , , , , (5 6) (5 7) (5 8) (5 9) (5 10) (6 7)

(6, , (6, , (6, , (7, , (7, , (7, , (8, , (8, , (9, .共 15 个基本结 8) 9) 10) 8) 9) 10) 9) 10) 10)
果. 事件 A 包括的基本结果有: (5, , (5, , (6, , (6, , (6, , (7, , (7, .共有 9) 10) 8) 9) 10) 8) 9) 7 个基本结果. 所以所求的概率为

P ( A) =

7 . ························································································································ 12 分 15

20.解: (Ⅰ)直线 l 的方程可化为 y = 直线 l 的斜率 k =

m 4m x? 2 , m +1 m +1
2

m , ····································································································· 2 分 m +1
2

第 7 页 共 10 页

因为 m ≤ 所以 k =

1 2 (m + 1) , 2

1 ≤ ,当且仅当 m = 1 时等号成立. m +1 2
2

m

所以,斜率 k 的取值范围是 ? ? , ? . ················································································ 5 分 2 2 (Ⅱ)不能. ·························································································································· 6 分 由(Ⅰ)知 l 的方程为

? 1 1? ? ?

1 y = k ( x ? 4) ,其中 k ≤ . 2
圆 C 的圆心为 C (4, 2) ,半径 r = 2 . ? 圆心 C 到直线 l 的距离

d=

2 1+ k 2

. ······················································································································· 9 分

由k ≤

1 4 r ,得 d ≥ > 1 ,即 d > .从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦 2 2 5 2π . 3 1 的两段弧.························································ 12 分 2 7 x ?3. 4

所对的圆心角小于

所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 21.解:

(Ⅰ)方程 7 x ? 4 y ? 12 = 0 可化为 y = 当 x = 2 时, y = 又 f ′( x ) = a +

1 . ············································································································ 2 分 2

b , x2

b 1 ? ?2a ? 2 = 2 , ?a = 1, ? 于是 ? 解得 ? ?b = 3. ?a + b = 7 , ? ? 4 4
3 . ·················································································································· 6 分 x 3 (Ⅱ)设 P ( x0,y0 ) 为曲线上任一点,由 y′ = 1 + 2 知曲线在点 P ( x0,y0 ) 处的切线方程为 x
故 f ( x) = x ?

? 3? y ? y0 = ?1 + 2 ? ( x ? x0 ) , ? x0 ?

第 8 页 共 10 页

即 y ? ? x0 ?

? ?

3? ? 3? ? = ?1 + 2 ? ( x ? x0 ) . x0 ? ? x0 ? ? 6? 6 ,从而得切线与直线 x = 0 的交点坐标为 ? 0, ? ?. x0 x0 ? ?

令x =0得y =?

令 y = x 得 y = x = 2 x0 ,从而得切线与直线 y = x 的交点坐标为 (2 x0,x0 ) . ················ 10 分 2 所以点 P ( x0,y0 ) 处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形面积为

1 6 ? 2 x0 = 6 . 2 x
故曲线 y = f ( x) 上任一点处的切线与直线 x = 0 , y = x 所围成的三角形的面积为定值,此 定值为 6 . ···························································································································· 12 分 22.解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ⊥ AM . 又因为 AP ⊥ OM ,在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

OA2 = OM OP .·················································································································· 5 分
(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ⊥ OK . 同(Ⅰ) ,有 OB = ON OK ,又 OB = OA ,
2

所以 OP OM = ON OK ,即 又 ∠NOP = ∠MOK ,

ON OM = . OP OK
o

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM = ∠OPN = 90 . ················································ 10 分 23.解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线. ································································································ 2 分

C1 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 ,圆心 C1 (0, ,半径 r = 1 . 0) C2 的普通方程为 x ? y + 2 = 0 .
因为圆心 C1 到直线 x ? y + 2 = 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点.····························································································· 4 分 (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

第 9 页 共 10 页

? ? x = cos θ, ?x = ′:? ′ :? C1 ? ( θ 为参数) C2 ? 1 ?y = ? y = 2 sin θ ? ? ?

2 t ? 2, 2 (t 为参数) ··························· 8 分 2 4
1 2 x+ , 2 2

化为普通方程为: C1′ : x 2 + 4 y 2 = 1 , C2′ : y = 联立消元得 2 x + 2 2 x + 1 = 0 ,
2

其判别式 ? = (2 2) 2 ? 4 × 2 × 1 = 0 , 所以压缩后的直线 C2′ 与椭圆 C1′ 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. ·························································································································· 10 分

第 10 页 共 10 页


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