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椭园双曲线抛物线经典性质总结


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抛物线焦点弦性质总结 30 条

A'

A(X1,Y1)

C'

C(X3,Y3)

a O B' F

B(X2,Y2)

基础回顾 1. 以 AB 为 直 径 的 圆 与 准 线 L 相 切 ; 2. x1 x 2 ?

p2 ;3. y1 y 2 ? ? p2 ;4. ?AC ' B ? 90 ;5. 4 1 1 2 p 2p B ' 三点共线; ? ? ;8.A、 ?A ' FB ' ? 90 ;6. AB ? x1 ? x2 ? p ? 2( x3 ? ) ? ;7. O、 2 2 sin ? AF BF P
'

9.B 、 O 、 A 三点共线; 10. S

AOB

?

S 2 AOB P P2 P ? ( )3 (定值) ; 11. ; 12. AF ? ; 1 ? cos ? AB 2 2sin ?

P ' ' ' ' ' ;13. BC 垂直平分 B F ;14. AC 垂直平分 A F ;15. C F ? AB ;16. AB ? 2P ; 1 ? cos ? 1 1 y P 2 17. CC ' ? AB ? ( AA ' ? BB ' ) ;18. KAB= ;19. tan ? = 2 p ;20. A'B' ? 4 AF ? BF ;21. 2 2 y3 x2 - 2 1 C'F ? A'B' .22.切线方程 y0 y ? m?x0 ? x ? 2 BF ?
性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有 何特殊之处? 结论 1:交点在准线上 先猜后证: 当弦 AB ? x 轴时, 则点 P 的坐标为 ? ?

? ?

p ? ,0 ? 在准线上. 2 ?

结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴. 2、上述命题的逆命题是否成立? 结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点 先猜后证:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点.
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结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.

AA1 ? l , BB1 ? l , 3、 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px (p>0) 焦点弦, Q 是 AB 的中点, l 是抛物线的准线,
过 A,B 的切线相交于 P,PQ 与抛物线交于点 M.则有 结论 6PA⊥PB. 结论 7PF⊥AB. 结论 8 M 平分 PQ. 结论 9 PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA. 结论 10 FA ? FB ? PF 结论 11 S ?PAB
min

2

? p2

二)非焦点弦与切线 思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时, 也有与上述结论类似结果: 结论 12 ① xp ?

y1 y2 y ? y2 , yp ? 1 2 2p

结论 13 PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. 结论 14 ?PFA ? ?PFB 结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16 相关考题 1、已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F,A,B 是抛物线上的两动点,且 AF ? ? FB ( ? >0) ,过 A,B
2

FA ? FB ? PF

2

两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M, (1)证明: FM ? AB 的值; (2)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f ?? ?的表达式,并求 S 的最小值. 2、已知抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两点 A,B;
2

(1)过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D,求证: AF ? DF ; (2)若直线 m 过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点 M,求证:AM⊥BM,且点 M 在直线 l 上. 3、对每个正整数 n, An ?xn , yn ? 是抛物线 x ? 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点
2

Bn ?sn , tn ? , (1)试证: xn ? sn ? ?4 (n≥1)
(2)取 xn ? 2n ,并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点,求证:

FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ? 2n ? 2?n ?1 ? 1(n≥1)
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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)

1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆, 除去长轴的两个端点. 3. 4. 5. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆



xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y 6. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的 a b x0 x y0 y 直线方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ?F 1PF2 ? ? ,则 a b ? 2 椭圆的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y 2 b2 11. AB 是椭圆 2 ? 2 ? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点,则 kOM ? k AB ? ? 2 , a b a 2 b x 即 K AB ? ? 2 0 。 a y0
12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x0 x y0 y x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 . 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 a2 b a b x2 y 2 x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 1 ? ? 2 ? 2 . 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2 a 2 b2 a b

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双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的 圆,除去长轴的两个端点. 3. 4. 5. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)

6.

7.

8.

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 , 则 过 P0 的 双 曲 线 的 切 线 方 程 是 若P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线 a 2 b2 x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b x2 y 2 若P (a>0,b>0) 外 , 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 a b xx y y P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a > 0,b > o )的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,点 P 为双曲线上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t . 2 2 2 x y 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF 1 |? ex0 ? a , | MF 2 |? ex0 ? a .
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点, A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

9.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线 则 K OM

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点, a 2 b2 b2 x b2 x ? K AB ? 2 0 ,即 K AB ? 2 0 。 a y0 a y0 x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 )内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2

12. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在双曲线

x0 x y0 y x0 2 y0 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b a b
13. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则过 Po 的弦 中点 的 轨 迹 方程 是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b
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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

1. 椭圆



2.

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 a 2 b2 x2 y 2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 a b b2 x B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0 x2 y 2 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b

3.

?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2 sin ? c ? ?e. sin ? ? sin ? a

在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有

5.

若椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤ 2 ? 1 a 2 b2

时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.
7. 椭圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .

8.

x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) , O 为坐标原点, P、 Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ .(1) a b 4a 2 b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最大值为 ; ( 3 ) S?OPQ 的最小值是 a 2 ? b2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b2 a 2b 2 . a 2 ? b2 x2 y 2 过椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直 a b
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9.

平分线交 x 轴于 P,则

| PF | e ? . | MN | 2

x2 y 2 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a
11. 设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a > b > 0 )上异于长轴端点的任一点 ,F1 、 F2 为其焦点记 a 2 b2

2b2 ? 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . ?F1PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 2 1 ? cos ? x2 y 2 12. 设 A、B 是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | .(2) ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 a ? c co s2 ? 2a 2 b 2 2 cot ? . tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直线与 a b
椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连 线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相 垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

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椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 a 2 b2 x2 y 2 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C a b b2 x 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 0 (常数). a y0
1.双曲线

x2 y 2 3.若 P 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 右 (或左) 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ?PF1F2 ? ? , a b

?PF2 F1 ? ? ,则
4.设双曲线

c?a ? ? c?a ? ? ? tan co t (或 ? tan co t ). c?a 2 2 c?a 2 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点, a 2 b2 sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F 1F2 P ? ? ,则有

5.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、 右焦点分别为 F1、 F2, 左准线为 L, 则当 1<e≤ 2 ? 1 时, a 2 b2

可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6.P 为 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 双 曲 线 内 一 定 点 , 则 a 2 b2

| AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
x2 y 2 2 2 2 2 2 ? 2 ?1 (a>0,b>0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C . 2 a b x2 y 2 8.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 OP ? OQ . a b 4a 2b 2 1 1 1 1 2 2 ? ? ? (1) ; ( 2 ) |OP| +|OQ| 的最小值为 ;(3) S?OPQ 的 b2 ? a2 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2
7.双曲线 最小值是 9.过双曲线

a 2b 2 . b2 ? a2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂 a 2 b2
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直平分线交 x 轴于 P,则

| PF | e ? . | MN | 2

x2 y 2 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11.设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2 为其焦点记 ?F1PF2 ? ? , a b 2b2 ? 2 则(1) | PF1 || PF2 |? .(2) S ?PF1F2 ? b cot . 2 1 ? cos ? 2 2 x y 12.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ?PAB ? ? , a b 2ab2 | cos ? | . ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | PA |? 2 2 | a ? c co s2 ? | 2a 2 b 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2
13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与 a 2 b2

双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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