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江苏省南通市、泰州市2018届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

2018 届高三年级第一次模拟考试(四) 数学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 参考公式: 柱体的体积公式:V 柱体=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A={-1,0,a},B={0, a}.若 B?A,则实数 a 的值为________. 1+4i 2. 已知复数 z= ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的实部为________. 1-i 3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为 400,400,500.为了解该校学生的 身高情况, 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 65 的样本, 则 应从高三年级抽取________名学生. 4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为________. 5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作 4 个社团中随机选择 2 个,则数学建模社团被选中的概率为________. y≥1, ? ? 6. 若实数 x,y 满足?y≤3, 则 2x—y 的最大值为________. ? ?x-y-1≤0, x2 y2 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F 为抛物线 y2=8x 的焦点,则点 F 到双曲线 - =1 的 16 9 渐近线的距离为________. 8. 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+6a4,则 a3 的值为________. π π 9. 在平面直角坐标系 xOy 中,将函数 y=sin?2x+ ?的图象向右平移 φ?0<φ < ?个单位长度, 3? 2? ? ? 若平移后得到的图象经过坐标原点,则 φ 的值为________. 10. 若曲线 y=xlnx 在 x=1 与 x=t 处的切线互相垂直,则正数 t 的值为________. 11. 如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边 长、高都为 4 cm,圆柱的底面积为 9 3cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为 6 cm 的正三棱柱零件, 则该正三棱柱的底面边长为________cm.(不计损耗) (第 11 题) (第 12 题) 12. 如图,已知矩形 ABCD 的边长 AB=2,AD=1.点 P,Q 分别在边 BC,CD 上,且∠PAQ= → → 45°,则AP·AQ的最小值为________. 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-4,0),B(0,4),从直线 AB 上一点 P 向圆 x2+y2 =4 引两条切线 PC,PD,切点分别为 C,D.设线段 CD 的中点为 M,则线段 AM 的长度的最大值为 ________. 2 ? ?x -2ax-a+1,x≥0, ? 14. 已知函数 f(x)= g(x)=x2+1-2a.若函数 y=f(g(x))有 4 个零点, 则实 ?ln(-x), x<0, ? 数 a 的取值范围是________________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 PABC 中,AB⊥PC,CA=CB,M 是 AB 的中点.点 N 在棱 PC 上,D 是 BN 的中点. 求证:(1) MD∥平面 PAC; (2) 平面 ABN⊥平面 PMC. 16. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a2=b2+c2-bc,a= (1)求 sinB 的值; π (2) 求 cos?C+ ?的值. ? 12? 15 b. 2 17. (本小题满分 14 分) x2 y2 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,两条准线之间的距 a b 2 离为 4 2. (1) 求椭圆的标准方程; 8 (2) 已知椭圆的左顶点为 A, 点 M 在圆 x2+y2= 上, 直线 AM 与椭圆相交于另一点 B, 且△AOB 9 的面积是△AOM 的面积的 2 倍,求直线 AB 的方程. 18. (本小题满分 16 分) 如图,某小区中央广场由两部分组成,一部分是边长为 80m 的正方形 ABCD,另一部分是以 AD 为直径的半圆,其圆心为 O.规划修建的 3 条直道 AD,PB,PC 将广场分割为 6 个区域:Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ 为绿化区域(图中阴影部分),Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域,其中点 P 在半圆弧上,AD 分别与 PB,PC 相 交于点 E,F.(道路宽度忽略不计) (1) 若 PB 经过圆心,求点 P 到 AD 的距离: π (2) 设∠POD=θ,θ ∈?0, ?. 2? ? ①试用 θ 表示 EF 的长度; ②当 sinθ 为何值时,绿化区域面积之和最大. 19. (本小题满分 16 分) 已知函数 g(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)有极值,且函数 f(x)=(x+a)ex 的极值点是 g(x)的极值点, 其中 e 是自然对数的底数.(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求 b 关于 a 的函数关系式; 7 (2) 当 a>0 时,若函数 F(x)=f(x)-g(x)的最小值为 M(a),证明:M(a)<- . 3 20. (本小题满分 16 分) 若数列{an}同时满足:①对于任意的正整数 n,an+1≥an 恒成立;②若对于给定的正整数 k,an-k +an+k=2an 对于任意的正整数 n(n>k)恒成立,则称数列{an}是“R(k)数列”. ? ?2n-1,n为奇数, (1) 已知 an=? 判断数列{an}是否为“R(2)数列”,并说明理由; ?2n, n为偶数, ? (2) 已知数列{bn}是“R(3)数列”,且存在整数 p(p>1),使得 b3p-3,b3p-1,b3p+1,b3p+