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浙江省宁波市八校2011-2012学年高一下学期期末联考数学试题


浙江省宁波市八校 2011-2012 学年高一下学期期末联考数学 试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( ). A. x ? 2 y ? 7 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 2.若正实数 a, b 满足 a ? b ? 1 ,则( A. ). B. ab 有最小值 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0

1 1 ? 有最大值 4 a b

1 4
2 2

C. a ? b 有最大值 2 3. 直线 x tan A. ?

D. a ? b 有最小值
2 2

?
7

? y ? 1 ? 0 的倾斜角是(
B.

).

?
7

? 7

C.

5? 7

D.

6? 7
a5 的值为 ( a3
D. ).

4. 设 S n 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和, S 5 ? 3(a 2 ? a8 ) ,则

A.

5 6

B.

1 3

C.

3 5

1 6
A B

5. 如图, O 为△ ABC 的外心, AB ? 4, AC ? 2, ?BAC 为钝角,

M 是边 BC 的中点,则 AM ? AO 的值 (
A. C. 4 7 B. 5 D. 6

).

M
O

C

6. 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n , 记向量 a ? (m, n) ,

第 5 题图

? ?? b ? (1,?1) 的夹角为 ? ,则 ? ? ? 0, ? 的概率( ? 2?
A.

).

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

5 6
?

7. 在平面直角坐标系 xoy 中,横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点.对任意 n ? N , 连接原点 O 与点 Pn (n, n ? 4) ,用 g (n) 表示线段 OPn 上除端点外的整点个数,
第 1 页 共 8 页

则 g (2012 ) =( A. 1

). B. 2 C. 3 D. 4

8. 已 知 点 P 在 直 线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上 , 点 Q 在 直 线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上 , PQ 中 点 为

M ( x0 , y0 ) ,且 y 0 ? x0 ? 2 ,则

y0 的取值范围为( x0
C. ? ?

).

A. ? ?

? 1 ? ,?? ? ? 2 ?

B. ??

? 1 1? ,? ? ? 2 5?

? 1 1? ,? ? ? 2 5?
2

D. ? ? ?,? ? 5

? ?

1? ?

9. 在 ?ABC 中,若角 A, B, C 成公差大于零的等差数列,则 cos A ? cos C 的最大值
2

为( A.

).

1 2

B.

3 2

C.2

D.不存在

10. 已 知 O 是 平 面 上 的 一 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , 动 点 P 满 足

OP ?

OB ? OC AB AC ? ?( ? ) , ? ? (0,??) ,则动点 P 的轨迹一定通 2 AB c o s B AC c o s C
). B.外心 第Ⅱ卷 C.垂心 (非选择题 D.重心 共 100 分)

过 ?ABC 的( A.内心

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题卷的相应位置) 11. 已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5



. http://wx.jtyjy.com/

12. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos A ?

则 tan C ? ▲ 13. 过点 (5,2) 且在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍的直线方程是 14.

2 , sin B ? 5 cosC , 3
▲ .

已 知 数 列 {a n } 是 非 零 等 差 数 列 , 又 a1 , a3 , a9 组 成 一 个 等 比 数 列 的 前 三 项 , 则

a1 ? a3 ? a9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10



.

x y 15. 设 x, y ? R, a ? 1, b ? 1 ,若 a ? b ? 2 , a ? b ? 4 ,则

2 1 ? 的最大值为 ▲ . x y

16. 在平面直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为 (0,1) 、 (4,2) 、 (2,6) ,如果 P( x, y ) 是 ?ABC 围成的区域(含边界)上的点,那么当 ? ? xy 取到最大值时,点 P 的坐标 是 ▲ .

17. 把已知正整数 n 表示为若干个正整数(至少 3 个,且可以相等)之和的形式,若这几个
第 2 页 共 8 页

正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为 n 的一个等差分拆.将这些正整数 的不同排列视为相同的分拆.如: (1,4,7)与(7,4,1)为 12 的相同等差分拆.问 正整数 30 的不同等差分拆有 ▲ 个. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. ( 14 分 ) ?ABC 的 三 个 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 向 量 m ? (?1,1) ,

n ? (cos B cos C , sin B sin C ?
(1)求 A 的大小;

3 ) ,且 m ? n . 2

(2)现在给出下列三个条件:① a ? 1 ;② 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0 ;③ B ? 45 ,
?

试从中选择两个条件以确定 ?ABC ,求出所确定的 ?ABC 的面积. 19. (14 分)已知数列 ?a n ?是首项 a1 ? 等差数列, (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ? log 1 a n ,若 Tn ?
2

1 的等比数列,其前 n 项和 S n 中 S 3 , S 4 , S 2 成 4

1 1 1 1 1 ? ??? ,求证: ? Tn ? . b1b2 b2 b3 bn bn ?1 6 2

20. (14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (1, ? sin A) ,

n ? (sin A,1 ? cos A) .已知 m // n .
(1)若 ? ? 2 ,求角 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ? 21. (15 分)已知函数 f ( x) ? 且 f (1) ?

3 sin A ,求 ? 的取值范围.
bx ? c 1 ( a, c ? R, a ? 0, b ? N )是奇函数, f (x) 有最大值 2 ax ? 1 2

2 . 5

(1)求函数 f (x) 的解析式; (2) 是否存在直线 l 与 y ? f (x) 的图象交于 P、 两点, Q 并且使得 P 、 两点关于点 (1,0) Q 对称,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由. 22. (15 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? b , (b ? 0) , a n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n ,有 2a n ? b
n ?1

nban ?1 , (n ? 2) . a n ?1 ? n ? 1

? 1.

第 3 页 共 8 页

宁波市
一.选择题:

2011 学年 第二学期

八校联考高一期末数学试卷答案
4 A 5 B 6 C 7 C 8 C 9 D 10 B

题号 答案

1 A

2 C

3 D

二.填空题: 11、 14、 17、 19 三.解答题: 18.解:(1)因为 m ? n ,所以 ? cos B cos C ? sin B sin C ? 即: cos B cos C ? sin B sin C ? ? 7 25 1或 12、

5
4

13、 16、

2 x ? y ? 12 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 0

13 16

15、.

5 ( , 5) 2

??

?

3 ? 0 ……………2 分 2

3 3 ,所以 cos( B ? C ) ? ? …………4 分 2 2

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 cos( B ? C ) ? ? cos A 所以 cos A ?

3 , A ? 30? …………………… http://wx.jtyjy.com/…………7 分 2

(2)方案一:选择①②,可确定 ?ABC , 因为 A ? 30 , a ? 1, 2c ? ( 3 ? 1)b ? 0
?

由余弦定理,得: 1 ? b ? (
2 2

3 ?1 2 3 ?1 3 b) ? 2b ? b? 2 2 2 6? 2 ……………10 分 2

整理得: b ? 2, b ?
2

2, c ?

所以 S?ABC ?

1 1 6? 2 1 3 ?1 bc sin A ? ? 2 ? ? ? ……………………14 分 2 2 2 2 4

方案二:选择①③,可确定 ?ABC , 因为 A ? 30 , a ? 1, B ? 45 , C ? 105
? ? ?

第 4 页 共 8 页

又 sin105 ? sin(45 ? 60 ) ? sin 45 cos 60 ? cos 45 sin 60 ?
? ? ? ? ? ? ?

6? 2 4

由正弦定理 c ?

a sin C 1? sin105? 6? 2 ? ? ……………10 分 ? sin A sin 30 2

所以 S?ABC ?

1 1 6? 2 2 3 ?1 ac sin B ? ?1? ? ? ……………14 分 2 2 2 2 4

(注意;选择②③不能确定三角形)

3 1 19. 解: (1)若 q ? 1 ,则 S3 ? ,S4 ? 1, S2 ? , 显然 S 3 , S 4 , S 2 不构成等差数列.--2 分 4 2
∴ q ? 1, 当 q ? 1 时,由 S 3 , S 4 , S 2 成等差数列得

2?

a1 (1 ? q 4 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 2 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

∴ 2q 4 ? q3 ? q 2 ? 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ? (2q ? 1)(q ? 1) ? 0 , ∵ q ?1 ∴ an ? ∴q ? ?

1 ---------------------------------------------5 分 2

1 1 1 ? (? )n ?1 ? (? )n ?1 --------------------4 2 2 http://wx.jtyjy.com/-----------------6 分
1 (2)∵ bn ? log 1 an ? log 1 (? ) n ?1 ? n ? 1 2 2 2


1 1 1 1 ------------------------------------8 分 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 ? ??? b1b2 b2b3 bnbn ?1

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? ) ? ( ? ) ? ?????? ?( -----------------11 分 ? )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2
?Tn ?1 ? Tn ? 1 ? 0 ,?{Tn } 是递增数列. (n ? 2)(n ? 3)
---------------------------------14 分

1 1 ?T1 ? Tn ,? ? Tn ? . 6 2

?? ? 20. 解: (1)由 m // n ,得 2sin 2 A ? 1 ? cos A ? 0

第 5 页 共 8 页

2 c o2 sA ?

, cA ? ? 1 0 os

即 所以

cos ? A A?

1 或 cos A ? ?1 (舍去) , 2
------------------------------------------------------------7分

?
3

?? ? (2)由 m // n ,得 ? sin 2 A ? 1 ? cos A ? 0 ,
即 即 又

?c o2 A? c o s ?? ? ,0 s A? 1 ? ?1 或 cos A ? ?1 (舍去) ,-----------------------9 分 cos ? A ?
2 b2 ? c 2? a 2 (b ? c ) ? a ?2 bc 2 ? 2bc 2bc

cos ? A

?

a2 1 a2 ? 1 ? 。------------ http://wx.jtyjy.com/----------------11 ?1 ? 2 3 bc ?b?c? ? ? ? 2 ?



1 ? ?1 综上, ? 需要满足 ? ? 1 ,得 3 ?
21. 解(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(–x)=-f(x),即 ∴f(x)=

??

3 。--------------------------14 分 2

? bx ? c bx ? c ,∴-bx+c=-bx–c,∴c=0,------------2 分 ?? 2 2 ax ? 1 ax ? 1
当 x≤0 时,f(x)≤0,

bx .由 a>0, b ? N , ax2 ? 1
1 a 1 x? b bx ? 2 1 a 2 2 b 1 a b2 ?

当 x>0 时,f(x)>0,∴f(x)的最大值在 x>0 时取得. ∴x>0 时, f ( x) ? 当且仅当

a 1 x? b bx

即x?

1 时,f(x)有最大值 a

a 1 ∴ =1,∴a=b2 2 b 2



2 b 2 ,∴ > ,∴5b>2a+2 ② 5 a ?1 5 1 把①代入②得 2b2–5b+2<0 解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,a=1,------------4 分 2 x ∴f(x)= 2 -------------------------------------------------------7 分 x ?1
又 f(1)> (2)设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点,且 P、Q 关于点(1,0)对称,

第 6 页 共 8 页

? x0 ? x 2 ? 1 ? y0 ? 0 P(x0,y0)则 Q(2–x0,–y0),∴ ? ,消去 y0,得 x02–2x0–1=0----------9 分 2 ? x0 ? ? ? y0 ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 1 ?
解之,得 x0=1± 2 ,∴P 点坐标为( 1? 2 ,

2 2 )或( 1 ? 2 ,? ), 4 4

进而相应 Q 点坐标为 Q( 1 ? 2 ,?

2 2 )或 Q( 1? 2 , ),-------------11 分 4 4

过 P、Q 的直线 l 的方程:x-4y-1=0 即为所求。---------------------------15 分

22. 解: (1)?

a ? n ?1 1 n n ?1 1 1 ? n ?1 ? ? ? , ? an nban ?1 an a n ?1 b b
-

令 Cn ?

n an

1 1 ? C n ? C n?1 ? b b

------------------------------------------------------2 分

(ⅰ)当 b ? 1 时, C n ? n (ⅱ)当 b ? 1 时, C n ? 数列 ?C n ?

? a n ? 1 -------------------------- 4 分

1 1 1 ? (C n?1 ? ) , (n ? 2) b ?1 b b -1

? ?

1 ? 1 ? 1 n? ? 为等比数列,所以, C n ? ?1 ? ( b )? b ? 1? b ?1 ? ?

an ?

n(b ? 1) nb n (b ? 1) ? ---------------------------- 8 分 1 n bn ?1 1? ( ) b
n ?1

(2)证明: (ⅰ)当 b ? 1 时, 2a n ? 2 ? 1 (ⅱ)当 b ? 1 时, b ? ) (b ? ( ?
2

? 1 ? 2 --------------10 分

1 1 ) ? ? ? (b n ? n ) ? 2n 2 b b 1 1 1 1 (b ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( n ? n?1 ? ? ? 2 ? ) ? 2n b b b b 1 (b ? n )(1 ? b ? ? ? b n?1 ) ? 2n b 2n 1 ?b? n ? n ?1 1? b ??? b b
2n(1 ? b) 1 ?b? n ? n 1? b b
即; 2a n ? b
n ?1

1 b

2n(1 ? b)b n ? b n ?1 ? 1 ? n 1? b

?1

第 7 页 共 8 页

所以:对于一切正整数 n ,有 2a n ? b

n ?1

? 1.----- ------------------15 分

第 8 页 共 8 页


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