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2013陕西延安中学高三数学(理)第一次模拟考试


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陕西省延安市延安中学高 2013 届第一次模拟考试

数学(理科)试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷 (选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若 x, y ? R ,

A ? ?x y ? 2x ? x2

? ,B ? ? y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=





A. (2, ??)

C. ? 0,1? ? (2, ??) D. ? 0,1? ? [2, ??) ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2. 设向量 a , b 满足: a ? 1 , b ? 2 ,a ? (a ? b ) ? 0 , a 与 b 的夹角是 则
A. 30
?

B. ? 0,1? ? (2, ??)

(

)

B. 60

?

C. 90

?

D. 120 )

?

3.下列命题错误的是
2



A.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为”若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0
2

B.若命题 p : ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 都有x ? x ? 1 ? 0
2 2

C.若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 D. " x ? 2" 是x ? 3 x ? 2 ? 0" 的充分不必要条件
2

4 . 若 ( ) A. ? 7

z ? sin ? ?

3 4 ? (cos ? ? )i 5 5 1 7

是 纯 虚 数 , 则

tan(? ?

?
4

)

的 值 为

B. ?

C. 7

D. ?7 或 ?

1 7

5.将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ( )

? ?

??

? 的图象向右平移 个单位后,所得的图象对应的解析式为 6 6?

?

A. y ? sin 2x

B. y ? cos 2x

C. y ? sin(2 x ?

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

6.由曲线 y ? x , y ? x 围成的封闭图形面积为
2 3

A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

7 12

7.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一或最后 一 步 , 程 序 B 和 C 在 实 施 时 必 须 相 邻 , 问 实 验 顺 序 的 编 排 方 法 共 有 ( )

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A.34 种

B.48 种

C.96 种

D.144 种

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 8 . 设 x, y 满 足 约 束 条 件 ? y ? x , 则 的 取 值 范 围 是 x ?1 ?4 x ? 3 y ? 12 ?



) B. ? 2, 6? C. ?3,10?
2

D. ?3,11? 9. 已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A, B 是抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 , 则线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 ( ) 3 A. 4 B. 5 4 7 C. 4 D.1

A. ?1,5?

10.已知数列{ an }满足 1 ? log 3 a n ? log 3 a n ?1 (n ? N ? ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则

log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是 3 1 1 A. B. ? 5 5

C. ?5

D. 5

第Ⅱ卷(非选择题, 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。.把答案 开始 填在答题卡相应题号后的横线上. 11.在 (1 ? x )(1 ? x) 的展开式中, x 5 的系数是
3 5

.

x=1,y=1,z=2

12.今年“3·5”,某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋 精神?”的调查,在 A、B、C、D 四个单位回收的问卷数依次成 等差数列,共回收 1000 份,因报道需要,再从回收的问卷中按 单位分层抽取容量为 150 的样本,若在 B 单位抽 30 份,则在 D 单位抽取的问卷是 份. . z≤10 否 输出 z 结束 (第 13 题图) 是 z=x+y y=z x=y

13.执行如右图所示的程序框图,输出的结果是
3 2

14. 对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , 定义 y ? f ' ' ( x) 是 函数 y ? f ' ( x) 的导函数。若方程 f ' ' ( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称 点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f (x) 的“拐点” 。有同学发现:任何一

个三次函数既有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心。根据这一发现,对于函数

g ( x) ?


1 2 3 2011 1 3 1 2 1 , 则 g( x ? x ? 3x ? ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? g( ) 的 值 3 2 12 2012 2012 2012 2012
.
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15. (考生注意:请在下列 A、B、C 三题中选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A. (不等式选做题)不等式 | x ? 3 | ? | x ? 1|? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范
2

围为



B O
?

B. (几何证明选做题)如右图, AB 是圆 O 的直径,直线 CE 与圆

O 相切于点 C , AD ? CE 于点 D ,若圆 O 的面积为 4? , ?ABC ? 30 ,
则 AD 的长为 . C

A D E

C. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 A 的坐标为 ? 2 2,

? ?

?? ? ,曲线 C 的方程为 4?


? ? 2cos ? ? 0 ,则 OA ( O 为极点)所在直线被曲线 C 所截弦的长度为

三、解答题:本大题有 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c .

??? ??? ? ?

17. (本小题共 12 分) 甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每次考试每人必须从备选的 6 道题中随机抽出 3 道题进 行测试,在备选的 6 道题中,甲答对其中每道题的概率都是

3 ,乙只能答对其中的 3 道题.答对 5

一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)得 0 分. (Ⅰ)求乙得分的分布列和数学期望; (Ⅱ)规定:每个人至少得 20 分才能通过测试,求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA?CD,PA = 1, PD= 2 ,E 为

PD 上一点,PE = 2ED.
(Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC?若存在, 指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
B A

P

E D

C

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19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ,数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? f (a n ) (n ? N ? ) x?3

(Ⅰ)求数列 ?a n ?的通项公式 a n ; (Ⅱ )若数列 ?bn ?满足 bn ?

3n an an ?1 , 2

Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求证: S n <

1 . 2

20. (本小题共 13 分)设函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论函数 h( x) ?

a 3 2 ? x ln x , g ( x) ? x ? x ? 3 . x

f ( x) 的单调性; x

(Ⅱ) 如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立, 求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

21.(本题满分 14 分) 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点.
2

①若 AF ? 2 FB ,求直线 AB 的斜率; ②设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积的最 小值.

??? ?

??? ?

延安中学 2013 届高三第一次模拟试题参考答案
一、选择题答案 1-5、CBCAD 二、填空题 11、-9 12、60 6-10、ACDBC

13、13

14、3016.5

15、A.[—1,4] B.1 C. 2

16.(1)由正弦定理得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C
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又 b cos C ? 3a cos B ? c cos B ,∴ sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,… 2 分 即 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ,∴ sin ? B ? C ? ? 3sin A cos B ,… ∴ sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,∴ cos B ? (2)由 BA ? BC ? 2 得 ac cos B ? 2 ,又 cos B ? 4分 6分

1 ,∴ ac ? 6. 。。。。。。。。。。8 分 。。。。。。。。。 3 由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 2 2 可得 a 2 ? c 2 ? 12 ,。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。10 分
∴ ? a ? c ? ? 0 ,即 a ? c ,∴ a ? c ?
2

??? ??? ? ?

1 3

。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。

。。。。。。。。。。。。。。。。。。 6 .。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

17、解:设乙的得分为 X , X 的可能值有 0,10, 20,30 .............1 分 ...........

P( X ? 0) ?

C33 C6
3

1 ? 20
? 9 20

P( X ? 10) ?

C32C31 C6
C33 C6
3

3

?
1 20

9 20
........5 分 .......

P( X ? 20) ?

C31C32 C6
3

P( X ? 30) ?

?

乙得分的分布列为:

X P

0
1 20

10
9 20

20
9 20

30
1 20
.........6 分 ........

EX ? 0 ?

1 9 9 1 ? 10 ? ? 20 ? ? 30 ? ? 15 20 20 20 20
............. 分 .............8 .............9 分 ............

所以乙得分的数学期望为 15 (2) 乙通过测试的概率为

1 9 1 ? ? 20 20 2 3 5
3 2

甲通过测试的概率为( ) ? C3 ( )

3 5

2

2 81 ? ............. .............11 分 5 125

甲、乙都没通过测试的概率为(1 ?

1 81 22 ) ? (1 ? )? 2 125 125 22 103 ? 125 125
.....12 分 ....

因此甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率为 1 ?

18 题参考答案

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或建立坐标系用向量法求解。 (Ⅲ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,0, 0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) ,E(0 , 2 1 , ), AC = (1,1,0), 3 3

AE = (0 ,

2 1 , ) 3 3

设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则

?n ? AC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ,即: ? , 令y = 1 , ? ?n ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
则 n = (- 1,1, - 2 ) 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF = (0 ? -------------10 分

? CP ,

? ? 1), 使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0.

又因为: BF = BC + CF = (0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ),
? BF ? n = ? + 1-

? - 2? = 0 ,

?? =

1 , 2 ----------------12 分

所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC. 19.解: (Ⅰ)由已知: a n ?1 ?

an 1 3 ? ? ? 1. a n ? 3 a n ?1 a n

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?

1 a n ?1

?

1 1 1 1 1 3 ? 3( ? ), 并且 ? ? 2 an 2 a1 2 2

,

.......... ........ 2分 .......... ....... 3分 .......... ........ 6分
...........8分

? 1 1? 3 ? 数列? ? ?为以 为首项, 3为公比的等比数列, 2 ? an 2 ? 1 1 3 2 ? ? ? ? 3 n ?1 ,? a n ? n . an 2 2 3 ?1
(Ⅱ)bn ? 2 ? 3n (3 ? 1)(3 ? 1)
n
n?1

?

1 1 ? n ?1 3 ?1 3 ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? n ? n ?1 ? ? n ?1 ? ...........12分 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1 2

20. 【解】 (Ⅰ) h( x) ?

a 2a 1 x 2 ? 2a , ? ln x , h?( x) ? ? 3 ? ? x x2 x x3

....1 分 ...

① a ? 0, h? x) ? 0 ,函数 h( x)在(0, ??)上单调递增 ( ② a ? 0 , h? x) ? 0, x ? (

........ 分 ........2

.. 2a ,函数 h( x)的单调递增区间为( 2a , ??) ...3 分 ..... 分 .....4

h? x) ? 0,0 ? x ? (

2a ,函数 h( x)的单调递减区间为(0, 2a )

(Ⅱ)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M ,........5 分 ........ 考察 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

2 3

........6 分 .......

x
g '( x)
g ( x)

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0

?
递减

0
极(最)小值 ? 85
27

?
递增

?3

1

.........8 分 ........

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 , ........ 分 ........9 [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 27 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; ........ ........10 分
(Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立 x
......11 分 .....

等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立,

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记 h( x) ? x ? x 2 ln x ,所以 a ? hmax ( x )

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) ? 0 。

1 2 1 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 2

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 (1, 2] 上递减,

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1
所以 a ? 1 。 另解 m( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x , m '( x) ? ?3 ? 2 ln x , 由于 x ? [ , 2] , m '( x) ? ?3 ? 2 ln x ? 0 , 所以 m( x) ? h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x 在 [ , 2] 上递减, 当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x 2 ln x 在区间 [ ,1) 上递增, 在区间 (1, 2] 上递减, 所以 h( x) max ? h(1) ? 1 ,所以 a ? 1 。 21 题答案

......... .........12 分 ......... .........13 分

1 2

1 2

1 2

1 2

......... .........12 分 ........ ........13 分

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....... .......10 分

........13 分 ....... .....14 分 ....

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