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上海理工大学附属中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题(有答案)


2014.4 满分:100 分 一 题号
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完成时间 :90 分钟 三 总分 20 21
ZXXK]

二 13—16 17 18

[来源:学科网

1—12
源:Zxxk.Com]

19

得分 一、填空题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分) 1.由 cos2010? 0 , sin 2010? 0 可知, 2010 弧度的角为第______________象限的角. 2.若角 ? 的终边经过点 P( x,3) ,且 cos ? ? ? 3.函数 y ? lg

1 ,则 x ? 2

?1



x 的定义域为 2? x

4.设函数 f ( x) ? 1 ? x 2 ( x ? 1 ) 的反函数为 f 5.满足方程 3
x ?1

( x) ,则 f ?1 (?2) ? ________________.

? 9 的 x 的值为 _______________________.

6.把 cos? ? 3 sin ? 化为 A sin(? ? ? )( A ? 0,0 ? ? ? 7.已知 log3 2 ? a ,则 log32 18 用 a 表示为

?
2

) 的形式即 为_______________.


8 . 函 数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在 [?1,2] 上 不 .存 .在 .反 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ___________. 9.化简: cos? 10.若 sin ? ?

?? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? _______________. ?2 ?
a ?3 4 ? 2a ? , cos ? ? , ? ? ? ? , 则 a ? ____________________. a?5 a?5 2

11 .已知函数 y ? loga (3 ? ax),(a ? 0, a ? 1) 在 [0,1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围 为 .

? 12 . 已 知 函 数 f (n) ? log( n?1) (n ? 2)(n ? N ) , 若 存 在 正 整 数 k 满 足 :

f ( 1? ) f

(? 2 f)

? ( 3? ) f

k 叫做关于 n 的“对整数” n, ? (k ) 那么我们把 , 则当 n ?[1,10] 时,

“对整数”共有_________ ______个

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分)

s c 13. “o

??

1 ? ”是“ ? ? ”的????????????????????( 2 3
(B) 必要非充分条件 (D) 既非充分又非必要条件



(A) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件

14.若把 1000 ? 化成 k ? 360? ? ? (k ? Z, ? 90? ? ? ? 90? ) 的形式,则 ? 的值等于???? ( ) (B) ? 8? (C) 80 ? (D) ? 80 ? )

(A) 8?

15.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则????????????( A. 0 ? x ? ? 16.函数 y ? e
ln x

B.

?
4

?x?

7? 4

C.

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2
)

? x ? 1 的图像大致是???????????????????(

三、解答题(本 大题共有 5 题,满分 52 分) 17. (本题满分 8 分) 解方程: log2 (9x ? 5) ? log2 (3x ? 2) ? 2

18. (本题满分 8 分) 已知 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ?

1 ,且 ? ? ? ? 2? ,求 tan(2? ? ? ). 5

19. (本题满分 10 分,第(1)题 5 分,第(2)题 5 分)
2 2 (1)已知 tan ? ? ?2 ,求 4sin ? ? 3cos ? 的值.

(2)已知 ? , ? 为锐角, sin ? ?

5 10 , cos ? ? ,求 ? ? ? 的值. 5 10

20. (本题满分 12 分,第(1)题 2 分,第(2)题 4 分,第(3)题 6 分) 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数: ① sin 13? ? cos 17? ? sin 13? cos17? ;② sin 15? ? cos 15? ? sin 15? cos15? ;
2 2 2 2

③ sin 18? ? cos 12? ? sin 18? cos12? ;④ sin 2 (?18?) ? cos2 48? ? sin(?18?) cos48? ;
2 2

⑤ sin 2 (?25?) ? cos2 55? ? sin(?25?) cos55? . (1) 利用计算器求出这个常数; (2) 根据(1)的计算结果,请你写出一个三角恒等式,使得上述五个等式是这个恒等式的特 殊情况; (3)证明你写出的三角恒等式.

21. (第一小题 2 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分,第四小题 3 分,满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值; (2)求 f ( x ) 的反函数 f ?1 ( x) ; (3)讨论 f ( x ) 的单调性,并用定义证明; (4)当 f ( x ) 定义 域区间为 ?1, a ? 2? 时, f ( x ) 的值域为 ?1, ?? ? ,求 a 的值.

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

2013 学年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案与评分意见 一、填空题 1.四; 2. ? 3 ; 7. 3. (0, 2) ; 4. 3 ; 5. ? 3 或 3 ; 6. 2 sin(? ?

?
6

);

a?2 ; 8. ? ?2,1? ; 9. 2 sin ? ; 10.8; 11. ?1,3? ; 12 2. 5a

二、选择题 13.B; 14.D; 15.C; 16.D. 三、解答题 17. (本题满分 8 分) 解: 9x ? 5 ? 4(3x ? 2) ————————2 分

?3 ?

x 2

x ? 4? 3 ? ? 3 ——————— 0 2分

3x ? 1 或3x ? 3 ? x ? 0或x ? 1——————————2 分 经检验 x ? 0 是增根,舍去—————1 分 ? 原方程的解是 x ? 1 ————————1 分

19. (本题满分 10 分,第(1)题 5 分,第(2)题 5 分) 解: (1)原式=

4sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分 sin 2 ? ? cos 2 ? 4 tan 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?2分 = tan 2 ? ? 1 19 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 5

(2) 因为 ? 为锐角, sin ? ? 分 由 ? 为锐角, cos ? ?

2 5 5 ,所以 cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ,--------------5 5

1

10 3 10 ,又 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , --------------- 1 分 10 10

所以 sin(? ? ? )=sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

?

5 10 2 5 3 10 2 ,---------------2 分 ? ? ? ?? 5 10 5 10 2

因为 ? , ? 为锐角,所以 ?

?
2

?? ?? ?

?
2

,所以 ? ? ? ? ?

?
4

.

--------------- 1 分

21. (第一小题 2 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分,第四小题 3 分,满分 14 分) 解: (1)

1 ? mx 1 ? mx 1 ? m2 x 2 ? log a ? log a ? 0 ---- ------1 分 ? x ?1 x ?1 1 ? x2 1 ? m2 x 2 ? ? 1,即? m2 ? 1? x 2 ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立 1 ? x2 解得 m ? ?1 ,经检验 m ? ?1 --------------------- ------------------------------------1 分 x ?1 x ?1 a y ?1 ? ay ? ?x? y (2) y ? log a ? y ? 0? -------------------------2 分 x ?1 x ?1 a ?1 ax ?1 ? f ?1 ( x) ? x ( x ? 0, a ? 0, a ? 1) -------------------------- --------------2 分 a ?1 (3)由(1)可知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ??, ?1? ?1, ??? --------------------1 分 f (? x) ? f ( x) ? log a
设 g ( x) ?

x ?1 , 任取x1 ? x2 ? ?1或1 ? x1 ? x2 x ?1

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ?

2( x2 ? x1 ) ?0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? g ( x1 ) ? g ( x2 )
x ?1 在 ? ??, ?1? 或 ?1, ?? ? 上单调递减 -----------------2 分 x ?1 所以当 a ? 1时,f ( x)在? ??, ?1? 和?1, ??? 上单调递减
所以,函数 g ( x) ? 当 0 ? a ? 1时, f ( x)在? ??, ?1? 和?1, ??? 上单调递增.------------------2 分 (其他方法证明适当给分) (4) 1 ? x ? a ? 2 ? a ? 3

?由(3)可知f ( x) 在? 1,a ? ?2 上单调递减 --------------------------------------1 分 a ?1 2 ? f ( a?2 ) ? 即 1 , la o g ? 化简得 1, a ? a 4 ? ?1 ? a 0 , ? ------2 ?2 分 3 a?2


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