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新人教二次函数综合题复习(含答案)


二次函数综合题专练
一.解答题 2 1.如图,已知抛物线 y=﹣x +mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(3,0) (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标. (2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点,当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标.

2.如图,已知点 A(0,2) ,B(2,2) ,C(﹣1,﹣2) ,抛物线 F:y=x ﹣2mx+m ﹣2 与直线 x=﹣2 交于 点 P. (1)当抛物线 F 经过点 C 时,求它的表达式; (2)设点 P 的纵坐标为 yP,求 yP 的最小值,此时抛物线 F 上有两点(x1,y1) , (x2,y2) ,且 x1<x2≤﹣ 2,比较 y1 与 y2 的大小; (3)当抛物线 F 与线段 AB 有公共点时,直接写出 m 的取值范围.

2

2

3.如图,二次函数 y=ax +bx 的图象经过点 A(2,4)与 B(6,0) . (1)求 a,b 的值; (2)点 C 是该二次函数图象上 A,B 两点之间的一动点,横坐标为 x(2<x<6) ,写出四边形 OACB 的 面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式,并求 S 的最大值.

2

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4.如图 1,抛物线 y=ax +b 的顶点坐标为(0,﹣1) ,且经过点 A(﹣2,0) .

2

(1)求抛物线的解析式; 2 (2)若将抛物线 y=ax +b 中在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方,x 轴上方的图象保持不变,就得到 2 了函数 y=|ax +b|图象上的任意一点 P,直线 l 是经过(0,1)且平行与 x 轴的直线,过点 P 作直线 l 的垂 线,垂足为 D,猜想并探究:PO 与 PD 的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.

5.某文具店购进一批纪念册,每本进价为 20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价不低于 20 元且 不高于 28 元,在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y(本)与每本纪念册的售价 x(元)之间满足一 次函数关系:当销售单价为 22 元时,销售量为 36 本;当销售单价为 24 元时,销售量为 32 本. (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少?

6.某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价 120 元时,房间会全部住满,当每个房间每天的定价 每增加 10 元时, 就会有一个房间空闲, 如果游客居住房间, 宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用, 设每个房间定价增加 10x 元(x 为整数) . (1)直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式. (2) 设宾馆每天的利润为 W 元, 当每间房价定价为多少元时, 宾馆每天所获利润最大, 最大利润是多少? (3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于 5000 元,②宾馆为游 客居住的房间共支出费用没有超过 600 元,③每个房间刚好住满 2 人.问:这天宾馆入住的游客人数最少 有多少人?

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7.为备战 2016 年里约奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场的长度 OD 为 18 米,位于球场中线处球网的高度 AB 为 2.43 米,一队员站在点 O 处发球,排球从点 O 的正上方 1.8 米 的 C 点向正前方飞出,当排球运行至离点 O 的水平距离 OE 为 7 米时,到达最高点 G 建立如图所示的平 面直角坐标系. (1)当球上升的最大高度为 3.2 米时,求排球飞行的高度 y(单位:米)与水平距离 x(单位:米)的函 数关系式. (不要求写自变量 x 的取值范围) . (2)在(1)的条件下,对方距球网 0.5 米的点 F 处有一队员,他起跳后的最大高度为 3.1 米,问这次她 是否可以拦网成功?请通过计算说明. (3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度 h 的取值范围是多少?(排球压线属 于没出界)

8.已知,点 M 是二次函数 y=ax (a>0)图象上的一点,点 F 的坐标为(0, 原点 O 与点 M,F 在同一个圆上,圆心 Q 的纵坐标为 .

2

) ,直角坐标系中的坐标

(1)求 a 的值; (2)当 O,Q,M 三点在同一条直线上时,求点 M 和点 Q 的坐标; (3)当点 M 在第一象限时,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为点 N,求证:MF=MN+OF.

9.小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时红灯,他立即 刹车减速并在乙处停车等待,爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度 v(m/s)与时间 t(s)的关系如图 1 中 2 的实线所示,行驶路程 s(m)与时间 t(s)的关系如图 2 所示,在加速过程中,s 与 t 满足表达式 s=at (1)根据图中的信息,写出小明家到乙处的路程,并求 a 的值; (2)求图 2 中 A 点的纵坐标 h,并说明它的实际意义; (3)爸爸在乙处等待 7 秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过 程中,速度 v(m/s)与时间 t(s)的关系如图 1 中的折线 O﹣B﹣C 所示,行驶路程 s(m)与时间 t(s) 2 的关系也满足 s=at ,当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起,求此时妈妈驾车的行驶速度.

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11.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园. 如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(分钟) ,纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数.图中曲线对应的函数解析式为 y= ,10:00 之后来的游客较少可

忽略不计. (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待.从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,馆外等待的游 客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?

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二次函数综合题专练答案
参考答案与试题解析

一.解答题(共 11 小题) 1. (2016?宁波)如图,已知抛物线 y=﹣x +mx+3 与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标 为(3,0) (1)求 m 的值及抛物线的顶点坐标. (2)点 P 是抛物线对称轴 l 上的一个动点,当 PA+PC 的值最小时,求点 P 的坐标.
2

【分析】 (1)首先把点 B 的坐标为(3,0)代入抛物线 y=﹣x +mx+3,利用待定系数法即可求得 m 的值, 继而求得抛物线的顶点坐标; (2)首先连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小,然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式,继而求得答案. 2 2 【解答】解: (1)把点 B 的坐标为(3,0)代入抛物线 y=﹣x +mx+3 得:0=﹣3 +3m+3, 解得:m=2, 2 2 ∴y=﹣x +2x+3=﹣(x﹣1) +4, ∴顶点坐标为: (1,4) . (2)连接 BC 交抛物线对称轴 l 于点 P,则此时 PA+PC 的值最小, 设直线 BC 的解析式为:y=kx+b, ∵点 C(0,3) ,点 B(3,0) , ∴ 解得: , ,

2

∴直线 BC 的解析式为:y=﹣x+3, 当 x=1 时,y=﹣1+3=2, ∴当 PA+PC 的值最小时,点 P 的坐标为: (1,2) .

【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题.注意找到点 P 的位置是解 此题的关键.
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2. (2016?雅安)我们规定:若 =(a,b) , =(c,d) ,则 ? =ac+bd.如 =(1,2) , =(3,5) ,则 ×3+2×5=13. (1)已知 =(2,4) , =(2,﹣3) ,求 ; ,问 y=

=1

(2)已知 =(x﹣a,1) , =(x﹣a,x+1) ,求 y= 象是否相交,请说明理由.

的函数图象与一次函数 y=x﹣1 的图

【分析】 (1)直接利用 =(a,b) , =(c,d) ,则 ? =ac+bd,进而得出答案; (2)利用已知的出 y 与 x 之间的函数关系式,再联立方程,结合根的判别式求出答案. 【解答】解: (1)∵ =(2,4) , =(2,﹣3) , ∴ =2×2+4×(﹣3)=﹣8;

(2)∵ =(x﹣a,1) , =(x﹣a,x+1) , ∴y=
2

=(x﹣a) +(x+1)
2

2

=x ﹣(2a﹣1)x+a +1 2 2 ∴y=x ﹣(2a﹣1)x+a +1 2 2 联立方程:x ﹣(2a﹣1)x+a +1=x﹣1, 2 2 化简得:x ﹣2ax+a +2=0, 2 ∵△=b ﹣4ac=﹣8<0, ∴方程无实数根,两函数图象无交点. 【点评】此题主要考查了根的判别式以及新定义,正确得出 y 与 x 之间的函数关系式是解题关键. 3. (2016?三明)如图,已知点 A(0,2) ,B(2,2) ,C(﹣1,﹣2) ,抛物线 F:y=x ﹣2mx+m ﹣2 与直 线 x=﹣2 交于点 P. (1)当抛物线 F 经过点 C 时,求它的表达式; (2)设点 P 的纵坐标为 yP,求 yP 的最小值,此时抛物线 F 上有两点(x1,y1) , (x2,y2) ,且 x1<x2≤﹣ 2,比较 y1 与 y2 的大小; (3)当抛物线 F 与线段 AB 有公共点时,直接写出 m 的取值范围.
2 2

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【分析】 (1)根据抛物线 F:y=x ﹣2mx+m ﹣2 过点 C(﹣1,﹣2) ,可以求得抛物线 F 的表达式; (2)根据题意,可以求得 yP 的最小值和此时抛物线的表达式,从而可以比较 y1 与 y2 的大小; (3)根据题意可以列出相应的不等式组,从而可以解答本题 【解答】解: (1)∵抛物线 F 经过点 C(﹣1,﹣2) , 2 2 ∴﹣2=(﹣1) ﹣2×m×(﹣1)+m ﹣2, 解得,m=﹣1, ∴抛物线 F 的表达式是:y=x +2x﹣1; 2 2 (2)当 x=﹣2 时,yp=4+4m+m ﹣2=(m+2) ﹣2, ∴当 m=﹣2 时,yp 的最小值﹣2, 2 2 此时抛物线 F 的表达式是:y=x +4x+2=(x+2) ﹣2, ∴当 x≤﹣2 时,y 随 x 的增大而减小, ∵x1<x2≤﹣2, ∴y1>y2; (3)m 的取值范围是﹣2≤m≤0 或 2≤m≤4, 理由:∵抛物线 F 与线段 AB 有公共点,点 A(0,2) ,B(2,2) , ∴ 或 ,
2

2

2

解得,﹣2≤m≤0 或 2≤m≤4. 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式,解题 的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题. 4. (2016?安徽)如图,二次函数 y=ax +bx 的图象经过点 A(2,4)与 B(6,0) . (1)求 a,b 的值; (2)点 C 是该二次函数图象上 A,B 两点之间的一动点,横坐标为 x(2<x<6) ,写出四边形 OACB 的 面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式,并求 S 的最大值.
2

【分析】 (1)把 A 与 B 坐标代入二次函数解析式求出 a 与 b 的值即可; (2)如图,过 A 作 x 轴的垂直,垂足为 D(2,0) ,连接 CD,过 C 作 CE⊥AD,CF⊥x 轴,垂足分别为 E,F,分别表示出三角形 OAD,三角形 ACD,以及三角形 BCD 的面积,之和即为 S,确定出 S 关于 x 的函数解析式,并求出 x 的范围,利用二次函数性质即可确定出 S 的最大值,以及此时 x 的值. 2 【解答】解: (1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax +bx, 得 ,解得: ;

(2)如图,过 A 作 x 轴的垂直,垂足为 D(2,0) ,连接 CD,过 C 作 CE⊥AD,CF⊥x 轴,垂足分别为 E,F,
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S△OAD= OD?AD= ×2×4=4; S△ACD= AD?CE= ×4×(x﹣2)=2x﹣4; S△BCD= BD?CF= ×4×(﹣ x +3x)=﹣x +6x, 则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x +6x=﹣x +8x, 2 ∴S 关于 x 的函数表达式为 S=﹣x +8x(2<x<6) , 2 2 ∵S=﹣x +8x=﹣(x﹣4) +16, ∴当 x=4 时,四边形 OACB 的面积 S 有最大值,最大值为 16.
2 2 2 2

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数的最值,熟练掌握二次函数的性质是解 本题的关键. 5. (2016?柳州)如图 1,抛物线 y=ax +b 的顶点坐标为(0,﹣1) ,且经过点 A(﹣2,0) .
2

(1)求抛物线的解析式; 2 (2)若将抛物线 y=ax +b 中在 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方,x 轴上方的图象保持不变,就得到 2 了函数 y=|ax +b|图象上的任意一点 P,直线 l 是经过(0,1)且平行与 x 轴的直线,过点 P 作直线 l 的垂 线,垂足为 D,猜想并探究:PO 与 PD 的差是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由. (注:在解题过程中,如果你觉得有困难,可以阅读下面的材料) 附阅读材料: 1.在平面直角坐标系中,若 A、B 两点的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 A,B 两点间的距离 为|AB|= ,这个公式叫两点间距离公式.

例如:已知 A,B 两点的坐标分别为(﹣1,2) , (2,﹣2) ,则 A,B 两点间的距离为 |AB|=
4 2 2 4

=5.
2 2 2

2.因式分解:x +2x y +y =(x +y ) . 【分析】 (1)待定系数法求解可得;
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(2)先根据题意表示出翻折后抛物线解析式,再求出 y=1 时 x 的值,继而可分﹣2≤x≤2、﹣2

≤x<

﹣2 或 2 、x<﹣2 或 x>2 三种情况,根据两点间距离公式列式表示出 PO 与 PD 的差即可 得出答案. 2 【解答】解: (1)根据题意设抛物线解析式为 y=ax ﹣1, 将点 A(﹣2,0)代入,得:4a﹣1=0, 解得:a= , ∴抛物线的解析式为 y= x ﹣1;
2

(2)如图,

根据题意,当﹣2≤x≤2 时,y=﹣ x +1; 当 x<﹣2 或 x>2 时,y= x ﹣1;
2

2



可得点 M(﹣2

,1) 、点 N(2
2

,1) ,

①当﹣2≤x≤2 时,设点 P 坐标为(a,﹣ a +1) , 则 PO﹣PD= = a +1﹣ a =1; ②当﹣2 ≤x<﹣2 或 2 时,设点 P 的坐标为(a, a ﹣1) , ﹣[1﹣( a ﹣1)]
2 2 2 2 2

﹣[1﹣(﹣ a +1)]

2

则 PO﹣PD= = a +1﹣2+ a = a ﹣1; ③当 x<﹣2 则 PO﹣PD= = a +1﹣ a +2
2 2 2 2

或 x>2

时,设点 P 的坐标为(a, a ﹣1) , ﹣[( a ﹣1)﹣1]
2

2

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=3; 综上,当 x<﹣2 、﹣2≤x≤2 或 x>2 时,PO 与 PD 的差为定值. 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的变化及两点间距离公式,分类讨论 思想的运用是解题的关键. 6. (2016?葫芦岛)某文具店购进一批纪念册,每本进价为 20 元,出于营销考虑,要求每本纪念册的售价 不低于 20 元且不高于 28 元, 在销售过程中发现该纪念册每周的销售量 y (本) 与每本纪念册的售价 x (元) 之间满足一次函数关系:当销售单价为 22 元时,销售量为 36 本;当销售单价为 24 元时,销售量为 32 本. (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元? (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为 w 元,将该纪念册销售单价定为多少元时,才能使 文具店销售该纪念册所获利润最大?最大利润是多少? 【分析】 (1)设 y=kx+b,根据题意,利用待定系数法确定出 y 与 x 的函数关系式即可; (2)根据题意结合销量×每本的利润=150,进而求出答案; (3)根据题意结合销量×每本的利润=w,进而利用二次函数增减性求出答案. 【解答】解: (1)设 y=kx+b, 把(22,36)与(24,32)代入得: 解得: , ,

则 y=﹣2x+80; (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得 150 元的利润时,每本纪念册的销售单价是 x 元, 根据题意得: (x﹣20)y=150, 则(x﹣20) (﹣2x+80)=150, 整理得:x ﹣60x+875=0, (x﹣25) (x﹣35)=0, 解得:x1=25,x2=35(不合题意舍去) , 答:每本纪念册的销售单价是 25 元; (3)由题意可得: w=(x﹣20) (﹣2x+80) 2 =﹣2x +120x﹣1600 2 =﹣2(x﹣30) +200, 此时当 x=30 时,w 最大, 又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元, ∴x<30 时,y 随 x 的增大而增大,即当 x=28 时,w 最大=﹣2(28﹣30) +200=192(元) , 答:该纪念册销售单价定为 28 元时,才能使文具店销售该纪念册所获利润最大,最大利润是 192 元. 【点评】 此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用、 待定系数法求一次函数解析式等知识, 正确利用销量×每本的利润=w 得出函数关系式是解题关键. 7. (2016?鄂州)某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间定价 120 元时,房间会全部住满,当每个房 间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲,如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用,设每个房间定价增加 10x 元(x 为整数) . (1)直接写出每天游客居住的房间数量 y 与 x 的函数关系式.
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2 2

(2) 设宾馆每天的利润为 W 元, 当每间房价定价为多少元时, 宾馆每天所获利润最大, 最大利润是多少? (3)某日,宾馆了解当天的住宿的情况,得到以下信息:①当日所获利润不低于 5000 元,②宾馆为游 客居住的房间共支出费用没有超过 600 元,③每个房间刚好住满 2 人.问:这天宾馆入住的游客人数最少 有多少人? 【分析】 (1)根据每天游客居住的房间数量等于 50﹣减少的房间数即可解决问题. (2)构建二次函数,利用二次函数的性质解决问题. (3)根据条件列出不等式组即可解决问题. 【解答】解: (1)根据题意,得:y=50﹣x, (0≤x≤50,且 x 为整数) ; (2)W=(120+10x﹣20) (50﹣x) 2 =﹣10x +400x+5000 2 =﹣10(x﹣20) +9000, ∵a=﹣10<0 ∴当 x=20 时,W 取得最大值,W 最大值=9000 元, 答:当每间房价定价为 320 元时,宾馆每天所获利润最大,最大利润是 9000 元; (3)由 解得 20≤x≤40

当 x=40 时,这天宾馆入住的游客人数最少, 最少人数为 2y=2(﹣x+50)=20(人) . 【点评】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式等知识,解题的关键是构建二次函数解决实际问题中 的最值问题,属于中考常考题型. 8. (2016?朝阳)为备战 2016 年里约奥运会,中国女排的姑娘们刻苦训练,为国争光,如图,已知排球场 的长度 OD 为 18 米,位于球场中线处球网的高度 AB 为 2.43 米,一队员站在点 O 处发球,排球从点 O 的 正上方 1.8 米的 C 点向正前方飞出,当排球运行至离点 O 的水平距离 OE 为 7 米时,到达最高点 G 建立如 图所示的平面直角坐标系. (1)当球上升的最大高度为 3.2 米时,求排球飞行的高度 y(单位:米)与水平距离 x(单位:米)的函 数关系式. (不要求写自变量 x 的取值范围) . (2)在(1)的条件下,对方距球网 0.5 米的点 F 处有一队员,他起跳后的最大高度为 3.1 米,问这次她 是否可以拦网成功?请通过计算说明. (3)若队员发球既要过球网,又不出边界,问排球飞行的最大高度 h 的取值范围是多少?(排球压线属 于没出界)

【分析】 (1)根据此时抛物线顶点坐标为(7,3.2) ,设解析式为 y=a(x﹣7) +3.2,再将点 C 坐标代入即 可求得; (2)由(1)中解析式求得 x=9.5 时 y 的值,与他起跳后的最大高度为 3.1 米比较即可得; 2 (3)设抛物线解析式为 y=a(x﹣7) +h,将点 C 坐标代入得到用 h 表示 a 的式子,再根据球既要过球网, 又不出边界即 x=9 时,y>2.43 且 x=18 时,y≤0 得出关于 h 的不等式组,解之即可得.
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2

【解答】解: (1)根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7,3.2) , 设抛物线解析式为 y=a(x﹣7) +3.2, 将点 C(0,1.8)代入,得:49a+3.2=1.8, 解得:a=﹣ , (x﹣7) +
2 2

∴排球飞行的高度 y 与水平距离 x 的函数关系式为 y=﹣



(2)由题意当 x=9.5 时,y=﹣ 故这次她可以拦网成功;

(9.5﹣7) +

2

≈3.02<3.1,

(3)设抛物线解析式为 y=a(x﹣7) +h, 将点 C(0,1.8)代入,得:49a+h=1.8,即 a= ∴此时抛物线解析式为 y= (x﹣7) +h,
2

2



根据题意,得:



解得:h≥3.025, 答:排球飞行的最大高度 h 的取值范围是 h≥3.025. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用题,求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,再根据 题意确定范围.
2

9. (2016?淄博)已知,点 M 是二次函数 y=ax (a>0)图象上的一点,点 F 的坐标为(0, 标系中的坐标原点 O 与点 M,F 在同一个圆上,圆心 Q 的纵坐标为 . (1)求 a 的值; (2)当 O,Q,M 三点在同一条直线上时,求点 M 和点 Q 的坐标; (3)当点 M 在第一象限时,过点 M 作 MN⊥x 轴,垂足为点 N,求证:MF=MN+OF.

) ,直角坐

【分析】 (1)设 Q(m, ) ,F(0,
2

) ,根据 QO=QF 列出方程即可解决问题.

(2)设 M(t,t ) ,Q(m, ) ,根据 KOM=KOQ,求出 t、m 的关系,根据 QO=QM 列出方程即可解决问 题.
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(3)设 M(n,n ) (n>0) ,则 N(n,0) ,F(0, ) ,利用勾股定理求出 MF 即可解决问题. 【解答】解: (1)∵圆心 O 的纵坐标为 , ∴设 Q(m, ) ,F(0, ∵QO=QF, ∴m +( ) =m +( ﹣ ∴a=1, 2 ∴抛物线为 y=x . (2)∵M 在抛物线上,设 M(t,t ) ,Q(m, ) , ∵O、Q、M 在同一直线上, ∴KOM=KOQ, ∴ ∴m= = , ,
2 2 2 2

2

) ,

),

2

∵QO=QM, ∴m +( ) =(m﹣t) =( ﹣t ) , 整理得到:﹣ t +t +t ﹣2mt=0, ∴4t +3t ﹣1=0, 2 2 ∴(t +1) (4t ﹣1)=0, ∴t1= ,t2=﹣ , 当 t1= 时,m1= , 当 t2=﹣ 时,m2=﹣ . ∴M1( , ) ,Q1( , ) ,M2(﹣ , ) ,Q2(﹣ , ) . (3)设 M(n,n ) (n>0) , ∴N(n,0) ,F(0, ) , ∴MF= = =n + ,MN+OF=n + ,
2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

∴MF=MN+OF. 【点评】本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识,解题的关键是设参数解决问题, 把问题转化为方程解决,属于中考常考题型.

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10. (2016?舟山)小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班,爸爸行驶到甲处时,看到前面路口时 红灯,他立即刹车减速并在乙处停车等待,爸爸驾车从家到乙处的过程中,速度 v(m/s)与时间 t(s)的 关系如图 1 中的实线所示,行驶路程 s(m)与时间 t(s)的关系如图 2 所示,在加速过程中,s 与 t 满足 2 表达式 s=at (1)根据图中的信息,写出小明家到乙处的路程,并求 a 的值; (2)求图 2 中 A 点的纵坐标 h,并说明它的实际意义; (3)爸爸在乙处等待 7 秒后绿灯亮起继续前行,为了节约能源,减少刹车,妈妈驾车从家出发的行驶过 程中,速度 v(m/s)与时间 t(s)的关系如图 1 中的折线 O﹣B﹣C 所示,行驶路程 s(m)与时间 t(s) 2 的关系也满足 s=at ,当她行驶到甲处时,前方的绿灯刚好亮起,求此时妈妈驾车的行驶速度.

【分析】 (1)直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案; (2)利用图形,得出速度和时间,再结合 h=48+12×(17﹣8)得出答案; (3)首先求出 OB 的解析式进而利用二次函数解析式得出关于 x 的等式求出答案. 【解答】解: (1)由图象得:小明家到乙处的路程为 180m, 2 ∵点(8,48)在抛物线 s=at 上, 2 ∴48=a×8 , 解得:a= ;

(2)由图及已知得:h=48+12×(17﹣8)=156, 故 A 点的纵坐标为:156,表示小明家到甲处的路程为 156m; (3)设 OB 所在直线的表达式为:v=kt, ∵(8,12)在直线 v=kt 上, 则 12=8k, 解得:k= , ∴OB 所在直线的表达式为:v= t, 设妈妈加速所用时间为:x 秒, 由题意可得: x + x(21+7﹣x)=156, 整理得:x ﹣56x+208=0, 解得:x1=4,x2=52(不符合题意,舍去) , ∴x=4, ∴v= ×4=6(m/s) , 答:此时妈妈驾车的行驶速度为 6m/s.
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2 2

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用,正确利用图形得出正确信息是解题关键. 11. (2016?黄石)科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园. 如图所示,图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8:30 开门后经过的时间(分钟) ,纵坐标 y 表示到达科技馆 的总人数.图中曲线对应的函数解析式为 y= ,10:00 之后来的游客较少可

忽略不计. (1)请写出图中曲线对应的函数解析式; (2)为保证科技馆内游客的游玩质量,馆内人数不超过 684 人,后来的人在馆外休息区等待.从 10:30 开始到 12:00 馆内陆续有人离馆,平均每分钟离馆 4 人,直到馆内人数减少到 624 人时,馆外等待的游 客可全部进入.请问馆外游客最多等待多少分钟?

【分析】 (1)构建待定系数法即可解决问题. (2)先求出馆内人数等于 684 人时的时间,再求出直到馆内人数减少到 624 人时的时间,即可解决问题. 【解答】解(1)由图象可知,300=a×30 ,解得 a= , n=700,b×(30﹣90) +700=300,解得 b=﹣ ,
2 2

∴y=



(2)由题意﹣ (x﹣90) +700=684, 解得 x=78, ∴ =15,

2

∴15+30+(90﹣78)=57 分钟 所以,馆外游客最多等待 57 分钟. 【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识,解题的关键是熟练掌握待定系数法,学会用方 程的思想思考问题,属于中考常考题型.

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