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2017届湖北省襄阳市第四中学高三七月第三周周考数学(文科)试题


湖北省襄阳市襄阳四中 2017 届高三七月第三周周考数学(文科)试题(7.29)
时间:120 分钟 分值 150 分

第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 ?CU A? ? B 为( A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C. ?0, 2, 4?
z ?( i



D. ?0, 2,3, 4? )

2.已知复数 z ? 3 ? 4i , z 表示复数 z 的共轭复数,则 A. 5 B.5 C. 6 D.6

3.已知 {a n } 是公比为 2 的等比数列, S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 ( 2 S6 ? 1) ? a7 ,则 a3 ? ( A.1 B.2 C.3 ) D.4



4.如果命题“ ? ? p ? q ? ”为假命题,则( A.p,q 均为假命题 B.p,q 均为真命题 C.p,q 中至少一个为真命题 D.p,q 中至多有一个为真命题

? y?x ? 5.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. ?3 B.

)

1 2

C. 5

D. 6

6.若新高考方案正式实施,甲,乙两名同学要从政治,历史,物理,化学四门功课中分别选取两 门功课学习,则他们选择的两门功课都不相同的概率为( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

7.已知某空间几何体的正视图,侧视图,俯视图均为如图所示的等腰直角三角形,如果该直角三角形的 直角边长为 1,那么这个几何体的表面积是( ) A.

2 2 3? 3 2

B.

3 2
D. 1 ? 2

C.

1页

8.已知 a ? 1 , b ? 2 ,且 a 与 b 夹角为 60? ,则 b ? (b ? a ) 等于 A. B. 3 C. 2 ? 3 D. 4 ? 3

?

?

?

?

? ?

?

9 . 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函数 y ? f ( x) , 对 于 ?x ? R 都 有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 当 ? 1 ? x ? 0 时 ,

f ( x) ? log 2 (? x) ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 (0,8) 内所有的零点之和为(
A.6 B.8 C.10 )的图象向右平移 D.12



10.将函数 y=sin(2x+

个单位,再纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,所得新

图象的函数解析式是( ) A.y=sin4x B.y=sinx
2

C.y=sin(4x﹣



D.y=sin(x﹣



11. 已知 F 为抛物线 y ? x 的焦点, 点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, OA ? OB ? 2(其中 O 为 坐标原点) ,则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( A.2 B.3 C. ) D. 10

17 2 8

12.已知函数 f ( x) ? ? A. {?2,3,5}

?3 ? log 2 ( x ? 1), x ? 0
2 ? x ? x ? 1, x ? 0

若 f (a ) ? 5 ,则 a 的取值集合为( C. {?2,5} D. {3,5}



B. {?2,3}

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分) 13.如果 y=f(x)的定义域为 R,对于定义域内的任意 x,存在实数 a 使得 f(x+a)=f(﹣x)成立,则称 此函数具有“P(a)性质” .给出下列命题: ①函数 y=sinx 具有“P(a)性质” ; ②若奇函数 y=f(x)具有“P(2)性质” ,且 f(1)=1,则 f(2015)=1; ③若函数 y=f(x)具有“P(4)性质” ,图象关于点(1,0)成中心对称,且在(﹣1,0)上单调递减, 则 y=f(x)在(﹣2,﹣1)上单调递减,在(1,2)上单调递增; ④若不恒为零的函数 y=f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质” ,函数 y=f(x)是周期函数. 其中正确的是 (写出所有正确命题的编号) . 14.在如图所示的算法中,输出的的值是 .

2页

15 .在数列 {a n } 中, a1 ? ?11,2an ? 2an ?1 ? 3(n ? 2) , S n 为数列 {a n } 的前 n 项和,则 S n 的最小值 为 .

16.若双曲线

的实轴长是离心率的 2 倍,则 m=



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.共 70 分. 17 . ( 本 题 12 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

? ?

??

? 的图象经过三点 2?

? 1 ? ? 5? ? ? 11? ? ? 5? 11? 0 ?, , 0 ? ,且在区间 ? , ? 0, ?, ? , ? ? 8 ? ? 12 ? ? 12 ? ? 12 12

? ? 内有唯一的最值,且为最小值. ?

(1)求出函数 f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? 的解析式; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 f ? 18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ). (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内存在零点,求 a 的取值范围. (3)若 g ( x) ? ln(e x ? 1) ? ln x ,当 x ? (0, ??) 时,不等式 f ( g ( x)) ? f ( x) 恒成立,求 a 的取值范围 19. (本题 12 分)如图所示的多面体中,已知菱形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,其中

? A? 1 ? ? 且 bc ? 1, b ? c ? 3 ,求 a 的值. ?2? 4

?FAC 为直角, ?ABC ? 60? , EF // AC , EF ?

1 AB ? 1, FA ? 3 . 2

3页

(1)求证: DE ? 平面 BEF ; (2)求多面体 ABCDEF 的体积. 20. (本题 12 分)已知点 C ? ?1, 0 ? ,以 C 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)如果圆 C 上存在两点关于直线 mx ? y ? 1 ? 0 对称,求 m 的值. 21. (本题 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? x ? a ? 1 (1)若存在 x ? ?0,?? ? 使得 f ( x) ≥0 成立,求 a 的范围 (2)求证:当 x >1 时,在(1)的条件下,

1 2 1 x ? ax ? a ? x ln x ? 成立 2 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.
22. (本题 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E 点.

(1)证明:

AC AD ; ? BC BD BE 的值. EC

(2)若 2 AD ? BD ? AC ,求

23. (本题 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平

? 3 t ? m, ?x ? ? 2 面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? (t 为参数) . ? y ? 1t ? 2 ?
4页

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 L 的普通方程; (2)设点 P(m,0),若直线 L 与曲线 C 交于两点 A,B,且 PA ? PB ? 1 ,求实数 m 的值. 24. (本题 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ?

1 3 | ?a | x ? | . 2 2

(1)当 a ? ?1 时,解不等式 f ( x) ? 3 x ; (2)当 a ? 2 时,若关于 x 的不等式 2 f ( x) ? 1 ?| 1 ? b | 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

5页

参考答案 1.C 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 全 集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , 集 合 A ? ? 1,2,3? , 则 CU A ? ?0,4? , 又 B ? ?2,4? , 所 以

?CU A? ? B ? ?0,2,4? ,故选 C.
考点:集合的基本运算. 2.B. 【解析】 试题分析:? z ? 3 ? 4i , ? ?
z i 3 ? 4i ? 3 ? 4i ? i z ? ? ?4 ? 3i , ? ? i i i2

? ?3 ?

2

? ? ?4 ? ? 5 ,故选 B.
2

考点:1.共轭复数的概念;2.复数模长的计算. 3. D 【解析】 试题分析:因为 {a n } 是公比为 2 的等比数列,若 ( 2 S6 ? 1) ? a7 所以 2 ?

a1 ?1 ? 26 ? 1? 2

? 2 ? a1 ? 26 , a1 ? 1 ,

a3 ? 1? 22 ? 4 ,故选 D.
考点:1、等比数列的通项公式;2、等比数列前 n 项和公式. 4.C 【解析】 试题分析:因为“ 考点:复合命题. 5.C 【解析】 试 题 分 析 : 不 等 式 对 应 的 可 行 域 为 直 线 y ? x, x ? y ? 1, y ? ?1 围 成 的 三 角 形 及 其 内 部 , 顶 点 为

?? p ? q?

”为假命题,所以 p ? q 为真命题,则 p,q 中至少一个为真命题,故选择 C.

?1,1? , ? ?1, ?1? , ? 2, ?1? ,当 z ? 2 x ? y 过点 ? 2, ?1? 时取得最大值 5
考点:线性规划问题 6.A 【解析】
2 2 试题分析: 因为甲, 乙两名同学要从政治, 历史, 物理, 化学四门功课中分别选取两门功课共有 C4 C4 ? 36 2 ? 6 种选法, 种选法, 两门功课都不相同时,可以甲先选两门剩余两门乙选,共有 C4 所以他们选择的两门功

课都不相同的概率为

6 1 ? ,故选 A. 36 6

考点:1、组合数的应用;2、古典概型概率公式. 7 .D 【解析】由三视图知该几何体的直观图为如图的三棱锥,左侧面和下底面都是直角边为 1 的直角三角形,

6页

左侧棱垂直于下底面,由此可得表面积为: S ?

1 1 ?1?1? 2 ? ?1? 2 ? 2 ? 1 ? 2 . 故选 D. 2 2

8.B 【解析】 试题分析: 根据 a 与 b 夹角为 60? , 可知 a ? b ? 1 ? 2 ?

?

?

? ?

?2 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ,所以 b ? (b ? a ) ? b ? b ? a ? 4 ? 1 ? 3 ,故选 B. 2

考点:向量的数量积的定义式,向量数量积的运算法则. 9.D 【解析】 试题分析:因为函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 (0,8) 内所有的零点之和,就是 f ( x) ? 2 在 (0,8) 内所有的根之和, 也 就 是 y ? f ? x?, y ? 2 交 点 横 坐 标 之 和 , 画 出 y ? f ? x?, y ? 2 函 数 图 象 , 如 图 , 由 图 知

x1 ? x2 ? 2, x3 ? x4 ? 10 ,所以, x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 ,故选 D.
y
3

2

1

-3

-2

-1 -1

O

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-2

-3

考点:1、函数零点与函数图象交点之间的关系;2、数形结合思想. 10.D 【解析】 试题分析:直接利用三角函数的平移变换求解即可. 解:将函数 y=sin(2x+ )的图象向右平移 个单位,可得 y=sin(2x﹣ + ) . )=sin(2x﹣ ) ,

再纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,得到 y=sin(x﹣ 故选:D. 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 11.B 【解析】

2 2 试题分析:据题意得 F ( , 0) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? y12 , x2 ? y2 , y12 y2 ? y1 y2 ? 2, y1 y2 ? ?2 或

1 4

y1 y2 ? 1 , 因 为 A, B 位 于 x 轴 两 侧 所 以 . 所 以 y1 y2 ? ?2 两 面 积 之 和 为
S? 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 9 2 x1 y2 ? x2 y1 ? ? ? y1 ? y12 y2 ? y2 y1 ? ? ? y1 ? y2 ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ? ? y1 ? ? y1 2 2 4 2 2 4 8 y1 8 y1 8

7页

?

2 9 ? y1 ? 3 . y1 8

考点:1、抛物线;2、三角形的面积;3、重要不等式. 12.C 【解析】 试题分析: ? f ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? ? ?2 ? ? 1 ? 5, f ? 3? ? 3 ? log 2 2 ? 4, f ? 5 ? ? 3 ? log 2 4 ? 5 ,排除 A 、 B 、
2

D,? f ? a ? ? 5 的集合为 ??2,5? ,故选 C. 考点:1、分段函数的解析式;2、特殊值法解选择题. 【方法点睛】本题主要考查抛分段函数的解析式、特殊值法解选择题,属于难题.特殊值法解答选择题是高 中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率,又能提高准确性,这种方法主 要适合下列题型:(1)求值问题(可将选项逐个验证);(2)求范围问题(可在选项中取特殊值,逐一排 除);(3)求方程、求通项、求前 n 项和公式问题等等. 13.①③④ 【解析】 试题分析:①∵sin(x+π )=﹣sin(x)=sin(﹣x) ,∴函数 y=sinx 具有“P(a)性质” ;∴①正确 ②∵若奇函数 y=f(x)具有“P(2)性质” ,∴f(x+2)=f(﹣x)=﹣f(x) ,∴f(x+4)=f(x) , 周期为 4,∵f(1)=1,f(2015)=f(3)=﹣f(1)=﹣1,∴②不正确, ③∵若函数 y=f(x)具有“P(4)性质” ,∴f(x+4)=f(﹣x) ,∴f(x)关于 x=2 对称, 即 f(2﹣x)=f(2+x) ,∵图象关于点(1,0)成中心对称,∴f(2﹣x)=﹣f(x) , 即 f(2+x)=﹣f(﹣x) ,∴得出:f(x)=f(﹣x) ,f(x)为偶函数,∵图象关于点(1,0)成中心对称, 且在(﹣1,0)上单调递减,∴图象也关于点(﹣1,0)成中心对称,且在(﹣2,﹣1)上单调递减,根 据偶函数的对称得出:在(1,2)上单调递增;故③正确. ④∵“P(0)性质”和“P(3)性质” ,∴f(x)=f(﹣x) ,f(x+3)=f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)为偶函数,且周期为 3,故④正确. 考点:函数奇偶性单调性周期性 14.7 【解析】 试 题 分 析 : 第 一 次 循 环 : S ? 200, i ? 3, S ? 6, 第 二 次 循 环 : S ? 200, i ? 5, S ? 30, 第 三 次 循 环 :

S ? 200, i ? 7, S ? 210, 结束循环,输出 i ? 7
考点:循环结构流程图 15. ? 46 【解析】 试题分析:因为 a1 ? ?11,2an ? 2an ?1 ? 3(n ? 2) ,所以 {a n } 是以 ?11 为首项,以 通项为 an ? ?11 ? ? n ? 1? ?

3 为公差的等差数列, 2

3 3 25 ,由 an ? 0 得 n ? 8 ,即数列前 8 项为负数,因此数列前 8 项的和 ? n? 2 2 2 8? 7 3 最小, S n 的最小值为 S8 ? ?88 ? ? ? ?46 ,故答案为 ? 46 . 2 2 考点:1、等差数列的定义及通项公式;2、等差数列的前 n 项和公式及最值. 【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、等差数列的前 n 项和公式、前 n 项和的最值,属 于难题 .. 求等差数列前 n 项和的最小值的方法通常有两种:①将前 n 项和表示成关于 n 的二次函数,
8页

当n ? ? S n ? An 2 ? Bn ,

B B 时有最小值 (若 n ? ? 不是整数,n 等于离它较近的一个或两个整数时 S n 2A 2A

最小) ;②可根据 an ? 0 且 an ?1 ? 0 确定 S n 最小时的 n 值. 16. 【解析】 试题分析:利用离心率公式,建立方程,即可求得双曲线的实轴长. 解:∵ ,且 m>0,



,解得



(舍去) .

故答案为: 考点:双曲线的简单性质. 17. (1) f ? x ? ?

1 ?? ? (2) a ? 6 . sin ? 2 x ? ? ; 4 ? 6?

【解析】 试题分析: (1)借助题设建立方程求解; (2)借助题设条件和余弦定理求解. 试题解析: (1)由题意可得函数的周期 T ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,又由题意当 x ? ∴ A sin ? 2 ? 结合 0 ? ? ?

5 ? ? 11 ? ? ? ? ?? , 12 ? ? 12

5 ? 时, y ? 0 , 12

? ?

5 ? ? ?? ? ? 0 , 12 ?

?
2

6 1 ? 1 1 再由题意当 x ? 0 时, y ? ,∴ A sin ? ,∴ A ? , 8 6 8 4
∴ f ? x? ?

可解得 ? ?

?



1 ?? ? sin ? 2 x ? ? . 4 ? 6?

(2)∵ f ?

? ? A? 1 ? ? ,∴ A ? . 3 ?2? 4

∵ bc ? 1, b ? c ? 3 , ∴由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc ? 9 ? 3 ? 6 ,
2 2 2 2 2 2

则a ?

6.
9页

考点:三角函数的图象和余弦定理等有关知识及运用. 18. (1)详见解析; (2) a ? e ? 1 ; (3) ( - ?, 1] 【解析】 试题分析: (1)先求函数的导数,分 a ? 0 和 a ? 0 求函数的单调区间; (2) 将 F ? x ? ? 0 的零点问题, 转化为

a?

ex ? 1 ex ? 1 ? ln x ? ln x x , 所以设函数 h( x) ? x (x?0) , x ? 0 的问题,

求函数的导数,在定义域内分析函数的单调区间,根据单调性和极值点得到函数的最小值,然后再根据函 数的变化速度分析函数没有最大值,趋于正无穷大; (3)由(2)知,当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,即 ?x ? 0, g ( x ) ? 0 ,先分析法证明: ?x ? 0, g ( x ) ? x . 根据 g ( x) ? ln(e x ? 1) ? ln x ,将问题转化为证明 ?x ? 0, xe ? e ? 1 ? 0 ,然后结合(1)所讨论的单调区间,
x x

求得满足条件的 a 的取值范围.
x x ? 试题解析: (1)由 f ( x) ? e ? ax ? 1 ,则 f ( x) ? e ? a .

当 a ? 0 时,对 ?x ? R ,有 f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 上单调递增; 当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a , 此时函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . 综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (??, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . (2)函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 的定义域为 (0, ??) ,

由 F ( x) ? 0 ,得

a?

ex ? 1 ? ln x x (x?0)

ex ? 1 (e x ? 1)( x ? 1) ? ln x ? x2 令 h( x ) ? x (x?0) ,则 h ( x) ? ,
x 由于 x ? 0 , e ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1 , h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,

故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? 1 .

又由(1)知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0 ,即

ex ? 1 ? x ?

ex ? 1 ?1 x ,

x (随着 x ? 0 的增长, y ? e ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增长速度,而 y ? ln x 的增

长速度则会越来越慢.则当 x ? 0 且 x 无限接近于 0 时, h( x) 趋向于正无穷大. )
10 页

∴当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有零点; (3)由(2)知,当 x ? 0 时, e x ? 1 ? x ,即 ?x ? 0, g ( x ) ? 0 . 先分析法证明: ?x ? 0, g ( x ) ? x . 要证 ?x ? 0, g ( x ) ? x 只需证明 ?x ? 0,

ex ?1 x ? e 即证 ?x ? 0, xe x ? e x ? 1 ? 0 x

设 H(x) ? xe x ? e x ? 1( x ? 0) ,则 H ' ( x ) ? xe x ? 0 所以 H(x) 在 x ? (0,?? ) 时函数单调递增,所以 H(x) ? H (0) ? 0 ,则 ?x ? 0, xe ? e ? 1 ? 0
x x

当 a ? 1 时,由(1)知,函数 f ( x ) 在 x ? (0,?? ) 单调递增,则 f ( g ( x)) ? f ( x) 在 x ? (0,?? ) 恒成立;

(0, ln a) 当 a ? 1 时,由( 1 )知,函数 f ( x ) 在 (ln a,?? ) 单调递增,在 单调递减.故当 0 ? x ? ln a 时
0 ? g ( x ) ? x ? ln a ,所以 f ( g ( x )) ? f ( x ) ,则不满足题意,舍去.
综上,满足题意的实数 a 的取值范围为 ( - ?, 1] . 考点:导数的综合运用 【方法点睛】此题考查了导数的综合应用,属于压轴题型,第一问比较常规,求导后,讨论导数存在极值 点和不存在极值点的情况,即讨论 a ? 0 和 a ? 0 两种情况,第二问处理定义域内的零点问题,我们的方法 主要是法一是分析函数本身,求导,分析函数的单调性,和极值以及最值,讨论函数与 x 轴有交点的问题,

法二是如本题的方法,首先反解

a?

ex ? 1 ex ? 1 ? ln x ? ln x x (x?0) ,通过构造函数 h( x) ? x (x?0) ,并求

其导数,并分析函数的单调性和最值和值域,就是 a 的范围,而对于第三问,就是本题的难点了,可以先 判断 ?x ? 0, g ( x ) ? x ,并采用分析法证明,所证明成立,那么当 f ( g ( x)) ? f ( x) 时,那么 y ? f ? x ? 就是单 调递增函数,根据第一问所求函数的导数,并讨论 a 值判断函数的单调性,从而得到 a 的取值范围. 19. (1)证明见解析; (2) 3 . 【解析】 试题分析: (1)连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO ,先证 AC ? 平面 ODE ,得 AC ? ED ,再根据直角 三角形得 ED ? BE ,进而 DE ? 平面 BEF ; (2) BD ? 平面 ACEF ,所以多面体 ABCDEF 的体积分

1 1 ? [ (1 ? 2) ? 3 ] ? 3 ? 3 . 3 2 试题解析: (1)证明:连接 BD 交 AC 于 O 点,连接 EO .
成两个三棱锥, VABCDEF ? VB ? ACEF ? VD ? ACEF ? 2 ? 因为 ?ABC ? 60? ,且四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? AB ? 2 AO . 又 EF // AC , EF ?

1 AB ? 1 , ?FAC 为直角,所以四边形 AOEF 为矩形,则 EO ? AC ,由四边形 2 ABCD 为 菱形 得 BD ? AC , 又 EO ? CO ? O , 所以 AC ? 平 面 ODE , 而 ED ? 平 面 ODE , 则

AC ? ED , 又 EF // AC , 所以 EF ? ED , 因为 BO ? AF ? EO ? OD ? 3 , 故 ?BEO ? ?DEO ? 45? ,
11 页

则 ?BED ? 90? ,即 ED ? BE ,又 EF ? BE ? E ,所以 DE ? 平面 BEF . ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 知 ,

BD ?





ACEF







1 1 VABCDEF ? VB ? ACEF ? VD ? ACEF ? 2 ? ? [ (1 ? 2) ? 3 ] ? 3 ? 3 . 3 2

考点:1、线面垂直的判定定理与性质;2、棱锥的体积公式. 20. (1) ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ; (2)1
2

【解析】 试题分析: (1)因为圆与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离求出圆的半径, 再根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程; (2)因为圆上存在两点关于直线对称,所以直线过圆心,将圆 心的坐标代入直线方程得 m 的值. 试题解析: (1)由题意, r ?
2

?1 ? 3 1? 3

?2

故,所求圆的方程为 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 (2)由题意,直线经过圆心 C ,所以, ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 考点:1.圆的标准方程;2.直线与圆相交 21. (1) a ? 0 ; (2)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、最值、不等式等基础知识,考查函数 思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,将已知条件转化为 a ? (? ln x ? x ? 1) min ,所以重点是求 函数 g ( x) 的最小值,对所设 g ( x) 求导,判断函数的单调性,判断最小值所在位置,所以 a ? 0 ;第二问,

将所求证的表达式进行转化,变成

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ,设函数 G ( x) ,则需证明 G ( x) ? 0 ,由 2 2
'

第一问可知 G (1) ? 0 且 x ? ln x ? 1 ? 0 ,所以利用不等式的性质可知 G ( x) ? 0 ,所以判断函数 G ( x) 在

(1, ??) 为增函数,所以最小值为 G (1) ,即 G ( x) ? 0 .
试题解析: f ? x ? ? ln x ? x ? a ? 1 ( x ? 0 ) (1)即存在 x 使得 ln x ? x ? a ? 1 ? 0 ∴ a ? ? ln x ? x ? 1 令 g ? x ? ? ? ln x ? x ? 1 1分

12 页

∴ g ?x ? ? ?
/

1 x ?1 ?1 ? x x

3分

令 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ∵ 0 ? x ? 1 时, g / ? x ? ? 0 ∴ g ( x) 为减 ∴ g ( x) 为增 5分

x ? 1 时,

g / ?x ? ? 0

∴ g ? x ?min ? g ?1? ? 0 ∴ a ? g ?1? ? ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 ∴a ? 0 (2)即 6分

1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ? 0 ( x ? 1, a ? 0 ) 2 2 1 2 1 x ? ax ? x ln x ? a ? ,则 G (1) ? 0 2 2
7分

令 G ( x) ?

由(1)可知 x ? ln x ? 1 ? 0 则 G ?( x) ? x ? a ? ln x ? 1 ? x ? ln x ? 1 ? 0 ∴ G ( x) 在 (1, +?) 上单调递增 ∴ G ( x) ? G (1) ? 0 成立 10 分



1 1 x ? ax ? x ln x ? a ? >0 成立 2 2
3 . 5

12 分

考点:1 利用导数判断函数的单调性;2 利用导数求函数的最值 22. (1)证明见解析; (2)

【解析】 试题分析: (1)延长 CD 至 F ,连接 BF ,使得 BF ? BD ,可证得 ?BFD ? ?ADC ,再由角平分线得, ?ACD ? ?BCF ,进而 ?CAD ∽ ?CBF ,即可得结论; (2)先利用(1)的结论可得 BC ? 2 AC ? 4 AD ,

BE 的值. EC 试题解析: (1)证明:延长 CD 至 F ,连接 BF ,使得 BF ? BD .因为 BF ? BD ,所以 ?BFD ? ?BDF , 又 ?BDF ? ?ADC ,所以 ?BFD ? ?ADC AC AD 又因为 CD 是 ?ACB 的角平分线,故 ?ACD ? ?BCF ,则 ?CAD ∽ ?CBF ,所以 ,又 ? BC BF AC AD . BF ? BD ,所以 ? BC BD BC BD (2)解:∵ CD 是 ?ACB 的角平分线,2 AD ? BD ? AC ,∴ ? ? 2 ,所以 BC ? 2 AC ? 4 AD , AC AD
再利用圆的割线定理得 BE ? BC ? BD ? BA ,进而可得
13 页

由圆的割线定理得, BE ? BC ? BD ? BA ,∴ BE ? 考点:1、相识三角形的应用;2、圆的割线定理. 23. (1) x 2 ? y 2 ? 2 x , x ?

3 3 5 BE 3 AD , BC ? 4 AD ? AD ? AD ,∴ ? . 2 2 2 EC 5

(2) m ? 1 ? 2 . 3y ? m ;

【解析】 试题分析:第一问利用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系,将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标 方程,消参将直线的参数方程转化为普通方程,第二问根据直线的参数方程当中参数的几何意义,将直线 的参数方程与曲线的平面直角坐标方程联立,消元化为关于的一元二次方程,结合根与系数之间的关系, 得到关于 m 的等量关系式,求得结果,一定要验证两个交点的生存权. 试题解析: (1)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ,化为 ? 2 ? 2 ? cos ? , 可得直角坐标方程: x 2 ? y 2 ? 2 x .

? 3 ? ? x ? 2 t ? m, 直线 L 的参数方程是 ? (t 为参数) , ? y ? 1t ? 2 ?
消去参数 t 可得 x ?

3y ? m .

? 3 t ? m, ?x ? ? 2 2 2 把? (t 为参数) ,代入方程: x ? y ? 2 x , 1 ? y? t ? 2 ?
化为 t 2 ? ( 3m ? 3 )t ? m 2 ? 2m ? 0 , 由 ? ? 0 ,解得-1<m<3.? t1t 2 ? m ? 2m .
2

? PA ? PB ? 1 ? t1t 2 ,? m 2 ? 2m ? 1 ,
解得 m ? 1 ? 2 .又满足 ? ? 0 .∴实数 m ? 1 ? 2 . 考点:极坐标与平面直角坐标的转化,参数方程与普通方程的转化,直线与曲线的综合问题,直线的参数 方程中参数的几何意义. 【易错点睛】该题考查的是有关选修 4 ? 4 的问题,属于常规问题,所以难度并不大,第一问有关曲线方程 从极坐标方程向直角坐标方程转化的过程中,只要把握住坐标间的转化公式即可得结果,曲线的参数方程 向普通方程的转化过程中注意消参即可得结果,而第二问结合直线参数方程中参数的几何意义,应用韦达 定理可以建立相应的等量关系式,但是容易出错的地方是最后需要验证满足直线与曲线有两个公共点,这 个是容易忽略的地方. 24. (1) ? 【解析】 试题分析: (1) 分三种情况讨论, 分别求解不等式组, 然后找交集即可; (2) 等价于 [2 f ( x) ? 1]min ?|1 ? b | ,
14 页

1 1 (2) [?7,9] . ?x?? ; 2 4

只需求出 2 f ( x) ? 1 的最小值,然后解不等式即可. 试题解析: (1)当 a ? ?1 时,不等式 f ( x) ? 3 x 可化为

1 3 3 ? ? 1 ? x?? ? ?x? x? ? ? ? ? ? 4 ? 4 2 2 或? 或? , ? ?? (2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3 x ?(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3 x ?(2 x ? 1 ) ? ( x ? 3 ) ? 3 x ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ?
3 1 1 1 3 1 ? x ? ? 或 ? ? x ? 或 x ? ,故不等式 f ( x) ? 3 x 的解集为 {x | x ? ? } . 2 4 4 2 2 2 1 1 7 1 3 ( 2 ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ?| 2 x ? | ? | 2 x ? 3 |?| (2 x ? ) ? (2 x ? 3) |? ( ? ? x ? 时 取 等 号) ,则 2 2 2 4 2 7 [2 f ( x) ? 1]min ? 2 ? ? 1 ? 8 , 不 等 式 2 f ( x) ? 1 ?| 1 ? b | 的 解 集 为 空 集 等 价 于 | 1 ? b |? 8 , 解 得 2
解得 ?

? 7 ? b ? 9 ,故实数 b 的取值范围是 [?7,9] .

15 页


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