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2015-2016学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 第三章 不等式章末归纳总结 新人 A 教版 必修 5

一、选择题 1.(2015·四川理,1)设集合 A={x|(x+1)(x-2)<0},集合 B={x|1<x<3},则 A∪B =( ) A.{x|-1<x<3} C.{x|1<x<2} B.{x|-1<x<1} D.{x|2<x<3}

[分析] 考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法.解答本题先解不等式求出 A, 再按并集的意义求解. [答案] A [解析] A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3}, ∴A∪B={x|-1<x<3},选 A. 2.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系为( A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a [答案] C [解析]
? a+b>0? a>-b? ?? a>-b>0? -a<b<0.∴选 C. ? ?

)

B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b

b<0? -b>0

另解:可取特值检验. ∵a+b>0,b<0,∴可取 a=2,b=-1,∴-a=-2,-b=1,∴-a<b<-b<a,排除 A、 B、D,∴选 C. 3.不等式(x+5)(3-2x)≥6 的解集是(
? 9? A.?x|x≤-1,或x≥ ? 2? ? ? ? 9 C.?x|x≤- 或x≥1? 2 ? ?

)
? 9? B.?x|-1≤x≤ ? 2? ? ? ? 9 D.?x|- ≤x≤1? 2 ? ?

[答案] D [解析] 解法 1:取 x=1 检验,满足排除 A;取 x=4 检验,不满足排除 B,C;∴选 D. 解法 2:化为:2x +7x-9≤0, 9 即(x-1)(2x+9)≤0,∴- ≤x≤1. 2 4.若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是(
x y
2

)

1

A.[0,2] C.[-2,+∞) [答案] D [解析] ∵2 +2 ≥2 2 ∴2 2
x+y x y x+y

B.[-2,0] D.(-∞,-2]



≤1,∴2

x+y

1 -2 ≤ =2 ,∴x+y≤-2,故选 D. 4

5.(2014·安徽理,5)x , y 满足约束条件

x+y-2≤0, ? ? ?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0.
1 A. 或-1 2 C.2 或 1 [答案] D

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一, 则实数 a 的值为(

)

1 B.2 或 2 D.2 或-1

[解析] 本题考查线性规划问题. 如图,z=y-ax 的最大值的最优解不唯一,即直线 y=ax+z 与直线 2x-y+2=0 或 x +y-2=0 重合,∴a=2 或-1.

画出可行域,平移直线是线性规划问题的根本解法. 6.当 x∈R 时,不等式 kx -kx+1>0 恒成立,则 k 的取值范围是( A.(0,+∞) C.[0,4) [答案] C [解析] k=0 时满足排除 A、D; B.[0,+∞) D.(0,4)
2

)

k=4 时,不等为 4x2-4x+1>0,即(2x-1)2>0,显然当 x= 时不成立.排除 B,选 C.
二、填空题 7.已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. [答案] 36
2

1 2

a x

[解析] 由基本不等式可得 4x+ ≥2 号成立.故

a x

4x· =4 a,当且仅当 4x= ,即 x=

a x

a x

a
2

时等

a
2

=3,a=36.

1 1 2 2 8.已知:a、b、x、y 都是正实数,且 + =1,x +y =8,则 ab 与 xy 的大小关系是

a b

________. [答案] ab≥xy 1 1 [解析] ab=ab·( + )=a+b≥2 ab,

a b

∴ab≥4,等号在 a=2,b=2 时成立,

x2+y2 xy≤ =4,等号在 x=y=2 时成立,∴ab≥xy.
2 三、解答题 9.(1)设 a、b、c 为△ABC 的三条边,求证:a +b +c <2(ab+bc+ca); (2)若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围. [分析] (1)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,各边长均为正数.再 结合轮换对称关系设法构造三个不等式相加. (2)由 ab=a+b+3 出发,求 ab 的范围,关键是寻找 ab 与 a+b 之间的联系,由此联想 到基本不等式 a+b≥2 ab. [解析] (1)∵a、b、c 是△ABC 的三边, 不妨设 a≥b≥c>0 则 a>b-c≥0,
2 2 2

b>a-c≥0,c>a-b≥0.平方得: a2>b2+c2-2bc,b2>a2+c2-2ac,c2>a2+b2-2ab,
三式相加得:0>a +b +c -2bc-2ac-2ab. ∴2ab+2bc+2ac>a +b +c . (2)令 ab=t(t>0). ∵a,b 均为正数, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3, 即得 t ≥2t+3, 解得 t≥3 或 t≤-1(舍去), ∴ ab≥3, 故 ab≥9, ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 10.m 为何值时,关于 x 的方程 8x -(m-1)x+m-7=0 的两根:
3
2 2 2 2 2 2 2 2

(1)都大于 1; (2)一根大于 2,一根小于 2. [解析] 设方程的两根分别为 x1、x2. Δ ≥0 ? ? (1)由题意,得?x1+x2>2 ? ??x1-1??x2-1?>0



? m-1 ? >2 即? 8 m-7 m-1 ? ? 8 - 8 +1>0
m≤9或m≥25 ? ? ∴?m>17 ? ?m∈R
∴m≥25.

?m-1? -32?m-7?≥0 ,

2



?Δ >0 ? (2)由题意,得? ??x1-2??x2-2?<0 ?



?m-1? -32?m-7?>0 ? ? 即?m-7 2?m-1? - +4<0 ? 8 ? 8 ∴?
? ?m<9或m>25 ?m>27 ?

2





∴m>27.

一、选择题 11.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3},B={x| A.{x|-1≤x<0} C.{x|0≤x≤2} [答案] B [解析] 因为集合 A={x|-1≤x≤1}, B={x|0<x≤2}, 所以 A∩B={x|0<x≤1}, 选 B. 12.设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b <1
2

x-2 ≤0},则 A∩B=( x

)

B.{x|0<x≤1} D.{x|0≤x≤1}

) 1 1 B.log b<log a<0 2 2

4

C.2 <2 <2 [答案] C 1 1 [解析] 取 a= ,b= 验证可知选 C. 2 3

b

a

D.a <ab<1

2

13.小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( A.a<v< ab C. ab<v< [答案] A [解析] 设甲、乙两地之间的距离为 s. ∵a<b,∴v= 2s 2ab 2ab = < = ab. s s a+b 2 ab + a b
2 2 2

)

B.v= ab 2 D.v=

a+b

a+b
2

又 v-a=

2ab ab-a a -a -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b

y≥0 ? ? 14.已知实数 x,y 满足?x-y≥0 ? ?2x-y-2≥0
1 A.[-1, ] 3 1 C.[- ,+∞) 2 [答案] D

,则 ω =

y-1 的取值范围是( x+1

)

1 1 B.[- , ] 2 3 1 D.[- ,1) 2

[解析] 作出可行域如右图所示, 由于 ω =

y-1 可理解为经过点 x+1

P(-1,1)与点(x,y)的直线的斜率,而 kPA=

0-1 1 =- ,另一 1-?-1? 2

1 直线斜率趋向 1,因此 ω 的取值范围为[- ,1). 2 二、填空题 15.某公司一年需购买某种货物 200 吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为 2 万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运 费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是________. [答案] 20 200 200 400 [解析] 设每次购买该种货物 x 吨, 则需要购买 次, 则一年的总运费为 ×2= ,

x

x

x

一年的总存储费用为 x,
5

所以一年的总运费与总存储费用为 =20 时等号成立.

400

x

+x≥2

400 400 ·x=40,当且仅当 =x,即 x

x

x

故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物 20 吨.

m2x-1 16.(2014·苏州调研)若 <0(m≠0)对一切 x≥4 恒成立,则实数 m 的取值范围是 mx+1
________. 1 [答案] (-∞,- ) 2 [解析] 依题意,对任意的 x∈[4,+∞),有 f(x)=(mx+1)(m x-1)<0 恒成立,结
2

? 1 ? - <4, 合图象分析可知? m 1 ? ? m <4
m<0,
2

1 ,由此解得 m<- ,即实数 m 的取值范围是(-∞,- 2

1 ). 2 三、解答题 1 17.已知 a∈R,试比较 与 1+a 的大小. 1-a [解析] 1 a -(1+a)= . 1-a 1-a 1 =0,∴ =1+a. 1-a 1-a
2

①当 a=0 时,

a2

1 ②当 a<1 且 a≠0 时, >0,∴ >1+a. 1-a 1-a ③当 a>1 时, 1 <0,∴ <1+a. 1-a 1-a

a2

a2

1 综上所述,当 a=0 时, =1+a; 1-a 当 a<1 且 a≠0 时, 1 1 >1+a;当 a>1 时, <1+a. 1-a 1-a
2

18.设二次函数 f(x)=ax +bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; 1 (2)若 a>0,且 0<x<m<n< ,比较 f(x)与 m 的大小.

a

[解析] (1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n),
6

当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0,即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2};当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解 集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m=(x-m)(ax-an+1), 1 ∵a>0,且 0<x<m<n< ,∴x-m<0,1-an+ax>0.

a

∴f(x)-m<0,即 f(x)<m.

7


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