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2016高三数学一轮复习 第3章 第6课时 正弦定理、余弦定理及解三角形课件 文 新人教版


高三总复习.数学(文)

第三章 第6课时

三角函数、解三角形

正弦定理、余弦定理及解三角形

考 点

考点一 利用正、余弦定理解三角形 考点二 判断三角形的形状
考点三 与三角形面积有关的问题 考点四 解三角形的实际应用 ■方法探究?系列 ■应考迷津?展示

考纲·展示

1.利用正、余弦定理解三角形或与之有关的问题. 2.利用正、余弦定理及其推广形式解决三角形的边角关系问题. 3.利用正、余弦定理解决有关三角形的实际应用.

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理 =2 R a2= b2+c2-2bccos A;
2 2 b2= c +a -2cacos B;

a b c sin A=sin B=sin C
内容 (R 为△ABC 外接圆半径)

c2=a2+b2-2abcos

C.

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

变 形 形 式 面 积

①a= 2Rsin A ,b= 2Rsin B ,c= 2Rsin C ; b2+c2-a2 c b cos A= 2bc ; a ②sin A= 2R ,sin B=2R,sin C= 2R ; c2+a2-b2 cos B= 2ca ; ③a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ; a2+b2-c2 a+b+c a b c ④ = = = . . sin A+sin B+sin C sin A sin B sin C cos C= 2ab 1 1 1 1 S=2absin C=2bcsin A=2acsin B S=2ah

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

[自测 1] (教材改编)在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B 等 于( ) B.135° D.30°

A.45°或 135° C.45°

C

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

[自测 2] 已知△ABC 中,a=c=2,A=30°,则 b=( A. 3 C.3 3 B.2 3 D. 3+1

)

B

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

[ 自 测 3]

( 课 本 精 选 ) 在 △ABC 中 , 若 A = 60 ° , a = 3 , 则

a+b+c =________. sin A+sin B+sin C
2

教材梳理 基础自测

一、正弦定理和余弦定理

[自测 4] 在△ABC 中,BC=7,AB=3,AC=5,则角 A=__________. 120°

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫俯角(如图①).

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 ②).

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

3.方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)

(1)北偏东 α°即由指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向. (2)北偏西 α°即由指北方向逆时针旋转 α°到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

4.坡度

(1)定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角 θ 为坡角). (2)坡比:坡面的垂直高度与水平长度之比(如图④,i 为坡比).

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

[自测 5] 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站 北偏东 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10°
B

)

B.北偏西 10° D.南偏西 10°

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

[自测 6] 在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的 俯角分别是 30°,60°,如图所示,则塔高 CB 为( 400 A. 3 m 200 C. 3 3 m A 400 B. 3 3 m 200 D. 3 m )

教材梳理 基础自测

二、三角形实际应用中的概念

[自测 7] 在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标 C,若∠CAB=75°,∠ CBA=60°,则 A,C 两点之间的距离是________千米.

6

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

{注意点1} 确定是用正弦还是余弦定理,视条件与所求而定 (1)已知两角及一边,可用正弦定理. (2)已知一角及两边,可用正弦定理或余弦定理. (3)已知三边,可用余弦定理.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

1.(2014· 高考广东卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, a c,已知 bcos C+ccos B=2b,则b=__________.
思路一:利用余弦定理化角为边,再化简求值.思路二:利用正弦定理 化边为角,再化角为边求解. a2+b2-c2 a2+c2-b2 法一:因为 bcos C+ccos B=2b,所以 b· 2ab +c· 2ac =2b, a 化简可得b=2.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

法二:因为 bcos C+ccos B=2b, 所以 sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B, a 故 sin(B+C)=2sin B,故 sin A=2sin B,则 a=2b,即b=2. 2

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

2.(2014· 高考天津卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b, 1 c.已知 b-c=4a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为__________. 由正弦定理得到边 b,c 的关系,代入余弦定理的变式求解即可.

3 由 2sin B=3sin C 及正弦定理得 2b=3c,即 b=2c. b2+c2-a2 1 1 1 又 b-c=4a,∴2c=4a,即 a=2c.由余弦定理得 cos A= 2bc = 9 2 2 3 2 2 4c +c -4c -4c 1 3 2 = 3c2 =-4. 2×2c 1 -4

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

3.(2014· 高考辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, → ·BC → =2,cos B=1,b=3.求: 且 a>c,已知BA 3 (1)a 和 c 的值;

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

→ ·BC → =2 得 c· (1)由BA acos B=2. 1 又 cos B=3,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 1 又 b=3,所以 a +c =9+2×6×3=13.
2 2

?ac=6, ?a=2, ?a=3, 解? 2 2 得? 或? ?a +c =13, ?c=3 ?c=2.

因为 a>c,所以 a=3,c=2.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

(2)cos(B-C)的值.
(2)在△ABC 中, sin B= 1-cos B=
2
? 1? 2 2 ?2 1-? ? ? = 3 , ? 3?

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C=bsin B=3× 3 = 9 . 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 =3×9+ 3 × 9 =27. 1-sin C=
2
? ? 7 ?4 2?2 1-? ? = . 9 ? 9 ?

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两 个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含 有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时, 则要考虑两个定理都有可能用到.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

{注意点2} 注意角度范围,确定解的个数 在三角形中,A+B+C=π.大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较 大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B.已 知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

π 4.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A=3,则∠C 的大小为__________.

a b 3 3 由正弦定理有sin A=sin B,即 =sin B, 3 2 1 π 5π ∴sin B=2,所以∠B=6或 6 . π ∵a>b,∴∠A>∠B,则∠B=6. π 又∵∠A+∠B+∠C=π,所以∠C=2. π 2

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

5.(2014· 高考湖北卷)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b, π c.已知 A=6,a=1,b= 3,则 B=__________.
先由正弦定理求出 sin B,再求角 B.关键在于对解的个数的判断. a b π 3 由正弦定理,得sin A=sin B.把 A=6,a=1,b= 3代入,解得 sin B= 2 . π 2π 因为 b>a,所以 B>A,结合题意可知 B=3或 3 . π 2π 3或 3

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

1 6.(2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC = 2,则 AC=( A.5 B. 5 ) C.2 D.1

选 B.利用三角形面积公式可求角 B,再利用余弦定理求得 B 的对边 AC. 1 1 1 ∵S=2AB·BCsin B=2×1× 2sin B=2, 2 π 3π ∴sin B= 2 ,∴B=4或 4 .

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

3π 当 B= 4 时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2+2 =5,∴AC= 5,此时△ABC 为钝角三角形,符合题意; π 当 B=4时,根据余弦定理有 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2= 1,∴AC=1,此时 AB2+AC2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意, 故 AC= 5.

考点突破 题型透析

考点一 利用正、余弦定理解三角形

已知三角形两边及一边对角(a,b 及 A)解三角形时,会出现一解、两解、 无解的情况: a>b a=b a<b A>90° A=90° 一解 一解 无解 无解 无解 无解 A<90° 一解 一解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

{突破点} 边化角或角化边是常用的思路方法 用角的关系或用边的关系来判断三角形的形状:等边三角形,等腰三角 形,直角三角形,钝角三角形,锐角三角形等.

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

1.(2013· 高考陕西卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 选 B.由正弦定理得
sin Bcos C+sin C cos B=sin2A, ∴sin(B+C)=sin2A, 即 sin(π-A)=sin2A,sin A=sin2A. π ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴sin A=1,即 A=2.

)

B.直角三角形 D.不确定

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

2.(2015· 江南十校联考)已知△ABC 的内角 A、B、C 成等差数列,且 A、 B、C 所对的边分别为 a、b、c,则下列命题中正确的有________(把所有 正确的命题序号都填上. π ①B=3; ②若 a、b、c 成等比数列,则△ABC 为等边三角形; ③若 a=2c,则△ABC 为锐角三角形; ④若 tan A+tan C+ 3>0,则△ABC 为钝角三角形.

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

∵内角 A、B、C 成等差数列,∴A+C=2B. π 又 A+B+C=π.∴B=3,故①正确;对于②,由余弦定理得 b2=a2+c2 -2ac· cos B=a2+c2-ac. 又 b2=ac,∴a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,∴a=c, π 又 B=3,∴△ABC 为等边三角形; 对于③,∵b2=a2+c2-2accos B=4c2+c2-2c2=3c2,

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

∴b= 3c,此时满足 a2=b2+c2,说明△ABC 是直角三角形;对于④,tan 2π A+tan C=tan(A+C)(1-tan Atan C), ∵A+C= 3 , ∴tan A+tan C=- 3 + 3tan Atan C, ∵tan A+tan C+ 3= 3tan Atan C>0,又在△ABC 中,A、C 不能同为 钝角,∴A、C 都是锐角,∴△ABC 为锐角三角形.
①②

考点突破 题型透析

考点二 判断三角形的形状

(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系式, 通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. (2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角 函数间的关系式,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断 出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个结论.

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

{关键点} 选用合适的面积公式确定所用的量 (1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的各个边角之后,直接求 三角形的面积. (2)把面积作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他 各量.

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

1.(2014· 高考安徽卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b, c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 2,求 cos A 与 a 的值.

由三角形面积公式,得 1 2 2 2×3×1·sin A= 2,故 sin A= 3 . 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cos A=± 1-sin2A=± 8 1 1-9=± 3.

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

1 ①当 cos A=3时,由余弦定理得 1 a =b +c -2bccos A=3 +1 -2×1×3×3=8,
2 2 2 2 2

所以 a=2 2. 1 ②当 cos A=-3时,由余弦定理得 1? a =b +c -2bccos A=3 +1 -2×1×3× -3? ?=12,所以 a=2 3. ?
2 2 2 2 2
? ? ? ?

1 1 综上,cos A=3,a=2 2或 cos A=-3,a=2 3.

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

2. (2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB=1, BC=3,CD=DA=2. (1)求角 C 和 BD;

(1)由题设及余弦定理得 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos C=13-12cos C,① BD2=AB2+DA2-2AB· DAcos A=5+4cos C.② 1 由①②得 cos C=2,故 C=60°,BD= 7.

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

(2)求四边形 ABCD 的面积.

(2)四边形 ABCD 的面积 1 1 S=2AB·DAsin A+2BC·CDsin C
? 1 1 = 2×1×2+2×3×2? ?sin 60°=2 3. ? ? ? ? ?

考点突破 题型透析

考点三 与三角形面积有关的问题

1 1 1 在解决三角形问题中,面积公式 S=2absin C=2bc·sin A=2acsin B 最常 用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

{关键点1} 选定或确定要创建的三角形是关键 把已知量和所求量放在一个三角形中,作为三角形的边或角求解.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

1.(2014· 高考四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等 于( ) B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

选 C.先分别求出 CD,BD 的长度,再求 BC 的长度. 如图,在△ACD 中,∠CAD=90°-30°=60°, AD=60 m,所以 CD=AD· tan 60°=60 3(m).在 △ABD 中,∠BAD=90°-75°=15°,所以 BD= AD· tan 15°=60(2- 3)(m). 所以 BC=CD-BD=60 3-60(2- 3)=120( 3-1)(m).

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

2.(2015· 郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一 种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A、B、C 三地位于同一水平面上, 在 C 处进行该仪器的垂直弹射, 观测点 A、B 两地相距 100 米,∠BAC=60°,在 A 地 2 听到弹射声音的时间比 B 地晚17秒.在 A 地测得该仪器至最高点 H 时的 仰角为 30°,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音的传播速度为 340 米/ 秒)

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

由题意,设 AC=x, 2 则 BC=x-17×340=x-40, 在△ABC 中,由余弦定理得: BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC, 即(x-40)2=10 000+x2-100x, 解得 x=420. 在△ACH 中,AC=420,∠CAH=30°,∠ACH=90°, 所以 CH=AC· tan∠CAH=140 3(米). 故该仪器的垂直弹射高度 CH 为 140 3米.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

构建三角形时,要注意是在平面中还是在空间中,已知量与所求量在同 一个三角形中,还是分布在两个三角形中.对于所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接解,若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形 中求解.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

{关键点2} 理解题意中所涉及的概念与画法 理解生活中的方位角、方向角、仰角、俯角的含义并转化在图形中.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

3.(2014· 高考新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以 及∠MAC=75°;从 C 点测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=__________m.

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

利用三角函数的定义及正弦定理求解. 根据图示,AC=100 2m. 在△MAC 中,∠CMA=180°-75°-60°=45°. AC AM 由正弦定理得 = ?AM=100 3m. sin 45° sin 60° MN 在△AMN 中,AM=sin 60°, 3 ∴MN=100 3× 2 =150(m). 150

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

4.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从 岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发 沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时追上,此 时到达 C 处. (1)求渔船甲的速度;

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

(1)依题意知,∠BAC=120°,AB=12 海里,AC=10×2=20(海里),∠ BCA=α,在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2= AB2+ AC2- 2AB· AC· cos∠ BAC= 122+ 202- 2×12×20×cos 120° =784.解得 BC=28(海里). BC 所以渔船甲的速度为 2 =14(海里/时).

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

(2)求 sin α 的值.

AB (2)由(1)知 BC=28 海里, 在△ABC 中, ∠BCA=α, 由正弦定理得 = sin α BC . sin 120° 3 12 × ABsin 120° 2 3 3 即 sin α= = BC 28 = 14 .

考点突破 题型透析

考点四 解三角形的实际应用

解题中注意各个角的含义,根据这些角把需要的三角形的内角表示出来, 注意不要把角的含义弄错,不要把这些角与要求解的三角形的内角之间 的关系弄错.

素能提升 应考展示

■方法探究?系列

正、余弦定理的“珠联璧合”的联袂使用 正、余弦定理是解三角形问题的主要依据,两者联袂使用,可实施边角 之间的互换,同时也能和三角形面积联系起来.

素能提升 应考展示

■方法探究?系列

【典例】 (2014· 高考江苏卷)△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin A+ 2sin B =2sin C,则 cos C 的最小值是__________.

法一:sin A+ 2sin B=2sin C?a+ 2b=2c?c= a2+b2-c2 cos C= 2ab =
?a+ 2b?2 ? a +b -? ? 2 ?
2 2

a+ 2b 2 ,

2ab
? ? ? ?

a? 2 2a ?2 3 + 2 - b? 3a2+2b2-2 2ab b ? = = . 8ab 8a b

素能提升 应考展示

■方法探究?系列

a 令 t=b>0, 3t2-2 2t+2 3 1 2 则 cos C= = t + - 8t 8 4t 4 ≥2 6- 2 3 1 2 当且仅 8t·4t- 4 = 4 ,

3 1 6 6 当8t=4t(t>0),即 t= 3 ,也即 a= 3 b 时,等号成立.

素能提升 应考展示

■方法探究?系列

a+ 2b 法二:sin A+ 2sin B=2sin C?a+ 2b=2c?c= 2 ,
?a+ 2b?2 2 2 ? ? a + b - a2+b2-c2 2 ? ? cos C= 2ab = 2ab

3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab 6- 2 6 = ≥ = ,当且仅当 a = 8ab 8ab 4 3 b 时,等 号成立.

6- 2 4

素能提升 应考展示

■方法探究?系列
方法探究

本题的解答中先利用正弦定理化角为边,再利用余弦定理用边表示角都 是解题的核心步骤,当然处理多元最值问题的方法也是能力的体现.同 时,需要注意由于题设条件是角,结论研究的也是角,所以对条件 sin A + 2sin B=2sin C 不去向边转化而只是围绕角打转是极可怕的陷阱.

素能提升 应考展示

■应考迷津?展示

1.考前必记 (1)定理:正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理. (2)公式:三角形面积公式、三角恒等变换公式、基本不等式.

2.答题指导 (1)看到三角形内角,想到三角形内角和定理.(如考点四,第 1 题) (2)看到有边又有角的等式, 想到用正、 余弦定理进行边角之间的互化. (如 考点一,第 1 题) (3)看到求某个角,想到求该角的某种三角函数值.(如考点三,第 2 题)


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