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天津市静海县第一中学2016届高三12月学生学业能力调研考试数学(理)试题


静海一中 2015-2016 第一学期高三数学(理)12 月 学生学业能力调研卷 考生注意: 1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题(130 分)和第Ⅱ卷提高题(20 分)两部分,共 150 分。 2. 试卷书写规范工整,卷面整洁清楚,酌情减 3-5 分,并计入总分。 知 识 技 能 内容 数列 34 解析 35 函数 47 三角 34 学习能力 规律总结 20 习惯养成 卷面整洁 3-5 分 总分 150

第 I 卷 基础题(共 130 分) 一、选择题(每题 5 分,共 20 分) 1. 已知 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为双曲线上的一点, a 2 b2


若 ?F1 PF2 ? 90? ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

2. 如图,BC、DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BF ? 2 FO ,则 FD ? FE 的值是 (
A. ?



3 4

B. ?

1 4

C. ?

8 9

D. ?

4 9


?1og 2 x, x ? 0 f ( x) ? ? x 3. 函数 ??2 ? a, x ? 0 有且只有一个零点的充要条件是(
A. a ? 0或a ? 1
2

B. 0 ? a ?

1 2

C. a ? 0

D. a ? 0

4 .已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 准线为 l , A, B 是抛物线上的两个动点 , 且

?AFB ?
A.

?
3

, 设线段 AB 的中点 M 在 l 上的射影为 N ,则
B. 1 C.

MN AB

的最大值是(



1 2

3 2

D. 2

二、填空题:(每题 5 分,共 35 分) 5. 在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作锐角 ? ,它的终边与单位圆相交于点 A ,且

点 A 的横坐标为

5 ? ,则 tan(? ? ) 的值为____________. 13 2

6. 要得到函数 y ? sin x ? cos x 的图像,可以由函数 y ? sin x ? cos x 的图像向左平移得到, 则平移的最短长度为______________. 7 设二次函数 f ? x ? ? ax2 ? 4x ? c 的值域为 ?0, ??? ,且 f ?1? ? 4 ,则 u ? 取值范围是____________. 8. 在 直 角 坐 标 系 中 , 圆 C1 的 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 , 圆 C2 的 参 数 方 程

a c ? 2 的 c ?4 a ?4
2

? x ? ?1 ? a cos ? , ( ? 是参数) ,若圆 C1 与圆 C2 相切,则实数 a 的值为 ? ? y ? ?1 ? a sin ? .



a2 9.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? ? 7 ,若 x
f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为______.
10. 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a ? 2 ,且

?2 ? b ?(sin A ? sin B) ? (c ? b) sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为____________.
11. 给出下列六个命题: (1)若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称; (2) y ? f ( x ? 1) 与 y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 0 对称;

?1? (3) y ? ? ? ? sin 2 x ? 2015 无最大值也无最小值; ?2?
2 tan x 的最小正周期为 ? ; 1 ? tan 2 x (5) y ? sin x(0 ? x ? 2? ) 有对称轴两条,对称中心三个; 则正确命题是_____.
(4) y ? 三、解答题:(共 75 分) 12. (12 分) (Ⅰ)求和: a ? a
n n?1

x

b ? ? ? abn?1 ? b n (ab ? 0) ;

(Ⅱ)已知 an ? 2n, bn ? 3n ,将数列 {an } 的各项依次作为数列 ?cn ? 的奇数项,将数列 {bn } 的 各项依次作为数列 ?cn ? 的偶数项,求数列 ?cn ? 的通项公式; (Ⅲ)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2,

? ia
i ?1

n

i

? 4?

n?2 (n ? 2), 求数列 {an } 的通项公式. 2 n ?1

13. (10 分)已知 a ? ( 3 sin x ? cos x,1) , b ? (cos x, m) ,函数 f ? x ? ? a ? b (m ? R ) 的图象 过点 M (

?

?

? ?

π , 0) . 12

(Ⅰ)求 m 的值以及函数 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c .若 ccosB + bcosC = 2acosB , 求 f ( A) 的取值范围. 14.(12 分) 已知数列 {an } 前 n 项和 S n ? n 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 2n

(Ⅲ)求使不等式 (1 ? 的值.

1 1 1 )(1 ? )?(1 ? ) ? p 2n ? 1 对一切 n ? N ? 均成立的最大实数 p a1 a2 an

15.(17 分) 已知中心在原点 O , 焦点在 x 轴上的椭圆, 离心率 e ? (Ⅰ) 求该椭圆的方程; (Ⅱ)过点 D(1, 直线的方程;

3 2 , 且椭圆过点 ( 2, ). 2 2

1 )的直线(斜率存在)与该椭圆 M 交于 P、Q 两点,且|DP|=|DQ|,求此 2

(Ⅲ)过点 E(1,0)的直线(斜率存在)与该椭圆 M 交于 P、Q 两点,且|EP|=2|EQ|,求 此直线的方程; (Ⅳ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P 、 Q 两点,满足直线 OP 、 PQ 、 OQ 的 斜率依次成等比数列,求 ?OPQ 面积的取值范围. 16.(12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? 1, (a ? R ), g ( x) ? ln( x ? 1) .
2

(Ⅰ) y ? g ( x) ? x 在 [0,1] 上的最小值;

a ( x 2 ? 1) ? f ( x) ? x成立 ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)存在 x ? (0, ??) 使不等式 2e x
17. (12 分) (1)记函数 ? ( x) ? ax ? 2 x ? 1 ? ln(x ? 1) 的图像为 C, l 为曲线 C 在点 p (0,1)
2

的切线,若存在 a ?

1 ,使直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点,求满足条件的所有 a 的值; 2

(2)判断 x sin x ? 1 ( x ? (0,5) )实根的个数; (3)完成填空 用方程表述 若函数 y ? f ( x) 和 用函数零点表述

y ? g ( x) 的图像在 ( a, b)
内有交点

第Ⅱ卷 提高题(共 20 分) 18. 已知 f ( x) ? ( x ? 1) 2 , g( x ) ? 10( x ? 1) ,数列 ?a n ?满足 a 1 ? 2 ,

(a n ?1 ? a n )g(a n ) ? f (a n ) ? 0 , b n ?

9 (n ? 2)( a n ? 1) . 10

(Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 1?是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, b n 取最大值,并求出最大值; (III)若

tm t m?1 * 对任意 m ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围. ? b m b m?1

静海一中 2015-2016 第一学期高三数学(理)12 月 学生学业能力调研卷答题纸 知识与技能 得分框 第Ⅰ卷基础题(共 130 分) 一、选择题(每题 5 分,共 20 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 35 分) 5. 8. 11. 三、解答题(本大题共 5 题,共 75 分) 12.(12 分) 6. 9. 7. 10. 1 2 3 4 学法题 卷面整洁 总分

13(10 分)

14(12 分)

15(17 分)

16(12 分)

17(12 分)

用方程表述 若函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图像 在 ( a, b) 内有交点 第Ⅱ卷提高题(共 20 分) 18(20 分)

用函数零点表述


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