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2019年高考复习数学理科大题精做讲义与练习1【三角函数与解三角形】附答案解析

2019 年高考复习数学理科大题精做讲义与练习 1【三角函数与解三角形】附答案解析

1.三角函数与解三角形
[2019·贵阳一中]在 △ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 m ? ?a,c ? 2b? ,

n ? ?cosC,cos A? ,且 m ? n .
(1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 5 , △ABC 的面积为 3 ,求 a . 【答案】(1) A ? π ;(2) a ? 13 .
3 【解析】(1)由 m ? n ,可得 m ? n ? 0 ,即 2b cos A ? a cos C ? c cos A ,
即 2sin B cos A ? sin Acos C ? sin C cos A ,即 2sin B cos A ? sin ? A ? C ? ,

∵ sin ? A ? C? ? sin ?π ? B? ? sin B ,∴ 2 sin B cos A ? sin B ,即 sin B?2cos A ?1? ? 0 ,

∵ 0 ? B ? π ,∴ sin B ? 0 ,∴ cos A ? 1 , 2

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? π . 3

(2)由 S△ABC ?

3

,可得 S△ABC

?

1 2

bc

sin

A?

3 ,∴ bc ? 4 ,

又 b ? c ? 5 ,由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? ?b ? c?2 ? 3bc ? 13 ,

∴ a ? 13 模拟精做

1.[2019·通州期末]如图,在 △ABC 中, ?A ? π , AB ? 4 , BC ? 17 ,点 D 在 AC 边上,且 4
cos ?ADB ? ? 1 . 3

(1)求 BD 的长;
1

2019 年高考复习数学理科大题精做讲义与练习 1【三角函数与解三角形】附答案解析 (2)求 △BCD 的面积.
2.[2019·济南外国语] △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知
?a ? 2c?cos B ? bcos A ? 0 .
(1)求 B ; (2)若 b ? 3 , △ABC 的周长为 3 ? 2 3 ,求 △ABC 的面积.
3.[2019·宜昌调研]已知函数 f ? x? ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin2 x . (1)求函数 y ? f ? x? 的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 f ?C? ? 1 , c ? 2 , sin C ? sin ? B ? A? ? 2sin 2A ,求 △ABC 的面积.
2

2019 年高考复习数学理科大题精做讲义与练习 1【三角函数与解三角形】附答案解析

1.【答案】(1)3;(2) 4 2 .

【解析】(1)在 △ABD

中,∵ cos ?ADB

?

?

1 3

,∴ sin ?ADB

?

22 3



由正弦定理

BD

?

AB

,∴ BD ?

AB sin ?BAD ? 4 ?

2 2

? 3.

sin ?BAD sin ?ADB

sin ?ADB 2 2

3

(2)∵ ?ADB ? ?CDB ? π ,

∴ cos ?CDB ? cos ? π ? ?ADB? ? ? cos ?ADB ? 1 .
3

∴ sin ?CDB ? sin ? π ? ?ADB ? ? sin?ADB ? 2 2 , sin ?CDB ? 2 2 ,

3

3

在 △BCD 中,由余弦定理 BC2 ? BD2 ? CD2 ? 2BD ? CD ? cos ?CDB ,

得17 ? 9 ? CD2 ? 2 ? 3CD ? 1 ,解得 CD ? 4 或 CD ? ?2 (舍). 3

∴ △BCD 的面积 S ? 1 BD ? CD ? sin ?CDB ? 1 ? 3? 4? 2 2 ? 4 2 .

2

2

3

2.【答案】(1) B

?

2 3

π

;(2)

S△ABC

?

33 4



【解析】(1)∵ ?a ? 2c?cos B ? bcos A ? 0 ,

∴ ?sin A ? 2sin C?cos B ? sin B cos A ? 0 , ?sin Acos B ? sin B cos A? ? 2sin C cos B ? 0 ,

sin ? A ? B? ? 2cos Bsin C ? 0 ,

∵ sin ? A ? B? ? sin C .∴ cos B ? ? 1 ,
2

∵ 0 ? B ? π ,∴ B ? 2 π . 3

(2)由余弦定理得

9

?

a2

?

c2

?

2ac

?

? ??

?

1 2

? ??



a2

?

c2

?

ac

?

9

,∴

?a

?

c?2

?

ac

?

9



∵ a ? b ? c ? 3 ? 2 3 , b ? 3 ,∴ a ? c ? 2 3 ,∴ ac ? 3 ,

∴ S△ABC

?

1 ac sin B 2

?

1 ?3? 2

3?3 3. 24

3.【答案】(1)函数最小正周期为

π

,单调递增区间为 ???kπ

?

π , kπ 3

?

π 6

? ??

?

k

?Z?

;(2)S△ABC

?

23 3



3

2019 年高考复习数学理科大题精做讲义与练习 1【三角函数与解三角形】附答案解析

【解析】(1) f ? x? ? 2 3 sin x ? cos x ? cos2 x ? sin2 x ?

3

sin

2x

?

cos

2x

?

2

sin

? ??

2x

?

π 6

? ??



T ? 2π ? π ,即函数最小正周期为 π , 2

由 2kπ ? π ? 2x ? π ? 2kπ ? π 得 kπ ? π ? x ? kπ ? π ,

2

6

2

3

6

故所求单调递增区间为

???kπ

?

π 3

,



?

π 6

? ??

?

k

?

Z

?



(2)由

f

?C?

?1

,得

2sin

? ??

2C

?

π 6

? ??

?

1,

∴ 2C ? π ? π ? 2kπ 或 2C ? π ? 5π ? 2kπ ,∴ C ? kπ 或 C ? π ? kπ ,

66

66

3

∵ C ??0, π? ,∴ C ? π ,
3

又∵ sin C ? sin ? B ? A? ? sin ? B ? A? ? sin ?B ? A? ? 2sin B cos A ,

∴ 2 sin B cos A ? 2 sin 2 A ,即 sin B cos A ? 2sin Acos A ,

①当 cos A ?

0

时,即

A

?

π 2

,则由 C

?

π 3

,c

?

2 ,可得 S△ABC

?

23 3



②当 cos A ? 0 时,则 sin B ? 2 sin A ,即 b ? 2a ,

则由 cos C ? a2 ? b2 ? c2 ? 1 ,解得 a ? 2 3 , b ? 4 3 ,

2ab

2

3

3

∴ S△ABC

?

1 ab sinC 2

?

23 3



综上: S△ABC

?

23 3



4