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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件2.3.4平面与平面垂直的性质_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章
点、直线、平面之间的位置关系

第二章
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质

1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

预习导学

? ●课标展示 ? 1.理解平面与平面垂直的性质定理. ? 2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线 面的垂直关系. ? 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内 在联系.

? ●温故知新 ? 旧知再现 90° ? 1.直二面角:二面角的平面角是__________. ?直二面角 2.两平面垂直的定义:两平面所成的二面角 是__________. ? 3.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面 一条垂线 经过另一个平面的__________,那么这两个 平面垂直.

? ? ? ? ? ?

4.下列命题正确的是( ) A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.垂直于同一条直线的两直线垂直 C.垂直于同一个平面的两直线平行 D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 [答案] C

? 5.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC, 直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关 系是( ) ? A.相交 B.异面 ? C.平行 D.不确定 ? [答案] C

? 新知导学 ? 平面与平面垂直的性质定理
一个平面内 垂直于_______ 交线 的直 文字 两个平面垂直,则____________ 垂直 语言 线与另一个平面__________
符号 语言 图形 语言 α⊥β α∩β=l? ? a?α ??a⊥β ? a⊥l ?

垂直 作用 证明直线与平面__________.

? [破疑点] 平面与平面垂直的性质定理给出了 判断直线与平面垂直的另一种方法,即“面 面垂直,则线面垂直”,揭示了线面垂直与 面面垂直的内在联系. ? [知识拓展] 垂直关系的知识总结: ? 线面垂直的关键,定义来证最常见, ? 判定定理也常用,它的意义要记清, ? 平面之内两直线,两线交于一个点, ? 面外还有一条线,垂直两线是条件. ? 面面垂直要证好,原有图中去寻找, ? 若是这样还不好,辅助线面是个宝.

? ? ? ? ? ? ? ? ?

先作交线的垂线,面面转为线和面, 再证一步线和线,面面垂直即可见. 借助辅助线和面,加的时候不能乱, 以某性质为基础,不能主观凭臆断. 判断线和面垂直,线垂面中两交线. 两线垂直同一面,相互平行共伸展. 两面垂直同一线,一面平行另一面. 要让面和面垂直,面过另面一垂线. 面面垂直成直角,线面垂直记心间.

? ●自我检测 ? 1.已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个 数是( ) ? ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线; ? ②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α 内的任意一条直线; ? ③α内的任何一条直线必垂直于β; ? ④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这 条直线必垂直于α. ? A.4 B.3 ? C.2 D.1

? [解析]
序号 正误 理由 设α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,则a⊥b,故β 内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意 直线 β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α,则 它垂直于α内的任意直线 α内不与交线垂直的直线不垂直于β 垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α 垂直,否则不垂直


② ③ ④

? 2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱 AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平 面A1B1C1D1的关系是( ) ? A.平行 ? B.EF?平面A1B1C1D1 ? C.相交但不垂直 ? D.相交且垂直 ? [答案] D

? 3.如图所示,三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥ 平面ABC,PA=PB,AD=DB,求证:PD⊥平 面ABC.

? [分析] 转化为证明PD⊥AB. ? [证明] ∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB. ? 又∵平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC =AB,∴PD⊥平面ABC.

互动课堂

●典例探究
平面垂直性质定理的应用

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l. 求证:l⊥γ.

? [证明] 证法1:在γ内取一点P,作PA垂直α 与γ的交线于A,作PB垂直β与γ的交线于B, ∵α⊥γ,β⊥γ,则PA⊥α,PB⊥β,∵l=α∩β, ∴l⊥PA,l⊥PB, ? ∵PA与PB相交,又PA?γ,PB?γ,∴l⊥γ.

? 证法2:在α内作直线m垂直于α与γ的交线, 在β内作直线n垂直于β与γ的交线,∵α⊥γ, β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ, ? ∴m∥n,又n?β,∴m∥β,又m?α,α∩β=l, ∴m∥l,∴l⊥γ.

证法 3:在 l 上取一点 P,过 P 作 γ 的垂线 l′, P∈l ? ? ? ?P∈α ??? α∩β=l? ? ? ?P∈β

?l′与l重合? ? ??l⊥γ. ? l′⊥γ ?

?

规律总结:证法一、证法二都是利用 “两平面垂直时,在一个平面内垂直于两平 面的交线的直线垂直于另一个平面”的这一 性质,添加了在一个平面内垂直于交线的直 线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关 键.

? 证法三是利用“如果两个平面互相垂直,那 么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平 面的直线,在第一个平面内”这一性质,添 加了l′这条辅助线,这是证法三的关键.

? 通过此例,应仔细体会两平面垂直时,添加 辅助线的方法. ? 又在原题条件下,添加条件b∥α,b∥β,求 证b⊥γ.在l上任取一点B,过b和B的平面交α于 过B的直线a′,交β于过B的直线a″, ? ∵b∥α,∴a′∥b,同理b∥a″, ? ∵a′和a″同时过B且平行于b. ? ∴a′和a″重合于直线l,由l⊥γ可得b⊥γ.

? 如图,已知V是△ABC所在平面外一点,VB⊥ 平面ABC,平面VAB⊥平面VAC,求证:△ABC 是直角三角形.

? ? ? ? ?

[证明] 过B作BD⊥VA于D, ∵平面VAB⊥平面VAC,∴BD⊥平面VAC, ∴BD⊥AC,又∵VB⊥平面ABC,∴VB⊥AC, ∴AC⊥平面VAB,∴AC⊥BA, 即△ABC是直角三角形.

与面面垂直有关的计算
如图所示, 平面 α⊥平面 β, 在α 与 β 的交线 l 上取线段 AB=4 cm,AC,BD 分 别在平面 α 和平面 β 内,AC⊥l,BD⊥l,AC= 3 cm,BD=12 cm,求线段 CD 的长.

? [分析] 要求CD的长,由BD⊥l,α⊥β易知 △BCD为直角三角形,已知BD的长,只要知 道BC的长即可.由AC⊥l知△ABC为直角三角 形,从而可解.

[解析] ∵AC⊥l,AC=3 cm,AB=4 cm, ∴BC=5 cm. ∵BD⊥l,α∩β=l,α⊥β,BD?β,∴BD⊥α. 又 BC?α,∴BD⊥BC. 在 Rt△BDC 中,DC= BD2+BC2=13 cm.

?

规律总结:1.与面面垂直有关的计算问 题的类型: ? (1)求角的大小(或角的某个三角函数值):如 两异面直线所成的角、线面角、二面角等. ? (2)求线段的长度或点到直线、平面的距离 等. ? (3)求几何体的体积或平面图形的面积.

? 2.计算问题的解决方法: ? (1)上述计算问题一般在三角形中求解.所给 条件中的面面垂直首先转化为线面垂直,然 后转化为线线垂直.往往把计算问题归结为 一个直角三角形中的计算问题. ? (2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法, 求线段的长度或点到平面的距离时往往也应 用几何体中的转换顶点(等体积)法.

? 如图所示,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB 与平面α,β所成的角分别为45°和30°,过 A,B分别作两平面交线的垂线,垂足为A′, B′,且AB=12,求A′B′的长.

[解析] 连接 A′B、AB′. 在△AA′B 中,∠AA′B=90° ,∠ABA′=30° ,AB=12, 所以 A′B=6 3. 在△ABB′中,∠BB′A=90° ,∠BAB′=45° ,AB=12, 所以 BB′=6 2, 在△A′B′B 中,∠A′B′B=90° ,A′B=6 3,BB′= 6 2, 所以 A′B′=6.

线线、线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥 S- ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,SA⊥ 平面 ABCD,且 SA=AB,点 E 为 AB 的 中点,点 F 为 SC 的中点. 求证:(1)EF⊥CD; (2)平面 SCD⊥平面 SCE.

[证明] (1)连接 AC,AF,BF. ∵SA⊥平面 ABCD,∴SA⊥AC, ∴△SAC 为直角三角形. 又∵F 为 SC 的中点, ∴AF 为 Rt△SAC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴AF=2SC.

又∵四边形 ABCD 是正方形, ∴CB⊥AB. 而由 SA⊥平面 ABCD,得 CB⊥SA, ∴CB⊥平面 SAB,∴CB⊥SB, ∴BF 为 Rt△SBC 斜边 SC 上的中线, 1 ∴BF=2SC,∴AF=BF. ∴△AFB 为等腰三角形. ∵E 为 AB 的中点,∴EF⊥AB. 又 CD∥AB,∴EF⊥CD.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)在Rt△SAE和Rt△CBE中, ∵SA=CB,AE=BE, ∴Rt△SAE≌△Rt△CBE, ∴SE=EC,即△SEC为等腰三角形. ∵F为SC的中点, ∴EF⊥SC. 又∵EF⊥CD,且SC∩CD=C, ∴EF⊥平面SCD. 又∵EF?平面SCE, ∴平面SCD⊥平面SCE.

?

垂直关系

规律总结: (1)空间垂直关系的判定方
判定方法 计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线 所成的角) 线面垂直的性质(若a⊥α,b?α,则a⊥b) 面面垂直的定义:若两平面垂直,则两平面 相交形成的二面角的平面角为90°

法.

线线垂直

垂直关系

判定方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性) 线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b?α,c?α, b∩c=M?a⊥α) 平行线垂直平面的传递性质(a∥b,b⊥α?a⊥α) 面面垂直的性质(α⊥β,α∩β=l,a?β, a⊥l?a⊥α) 面面平行性质(a⊥α,α∥β?a⊥β)

线面垂直

面面垂直性质(α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ) 根据定义(作两平面构成二面角的平面角,计算其 面面垂直 为90°) 面面垂直的判定定理(a⊥β,a?α?α⊥β)

? (2)在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、 线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂 直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直, 最终达到目的,其转化关系如下:

? (3)在垂直的判定定理和性质定理中,有很多 限制条件,如“相交直线”“线在面 内”“平面经过一直线”等.这些条件一方 面有很强的约束性;另一方面又为证明指出 了方向.在利用定理时,既要注意定理的严 谨性,又要注意推理的规律性.

? (2013~2014·南昌高二检测) 已知在四棱锥S-ABCD中, SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB =AD=1,SD=2,BC⊥BD,E 为棱SB上的一点,平面EDC⊥ 平面SBC. ? 证明:(1)DE⊥平面SBC; ? (2)SE=2EB.

[解析]

(1)如图,

因为 SD⊥平面 ABCD, 故 BC⊥SD,又 BC⊥BD, 所以 BC⊥平面 BDS, 所以 BC⊥DE. 作 BK⊥EC, K 为垂足, 由平面 EDC ⊥平面 SBC, 平面 EDC∩平面 SBC=EC, 故 BK⊥平面 EDC. 又 DE?平面 EDC,所以 BK⊥DE. 又因为 BK?平面 SBC,BC?平面 SBC,BK∩BC=B, 所以 DE⊥平面 SBC.

(2)由(1)知 DE⊥SB,DB= AD2+BA2= 2, 所以 SB= SD2+DB2= 22+2= 6. 在直角三角形 SDB 中, 由等积法知 SD· DB=SB· DE, SD· DB 2 3 所以 DE= SB = 3 . 6 2 6 EB= DB -DE = 3 ,SE=SB-EB= 3 .
2 2

所以 SE=2EB.

●误区警示 易错点 考虑问题不全面,导致证明过程不严谨 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是一个直角 梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点,则平 EBD 能垂直于平面 ABCD 吗?请说明理由.

? [错解] 平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由 如下: ? 假设平面EBD垂直于平面ABCD, ? 过E作EO⊥BD于O,连接AO,CO. ? ∵EO?平面EBD,EO⊥BD, ? 平面EBD∩平面ABCD=BD, ? ∴EO⊥平面ABCD. ? 又∵PA⊥平面ABCD, ? ∴EO∥PA.

? ? ? ? ? ? ?

又∵E是PC的中点, ∴O是AC的中点. 又∵AB∥CD, ∴△ABO∽△CDO. 又∵AO=OC,∴AB=CD, 这与CD=2AB矛盾,∴假设不成立. 故平面EBD不能垂直于平面ABCD.

? [错因分析] 错误的原因是默认了A,O,C三 点共线,而A,O,C三点若不共线,则 △ABO∽△CDO不成立.事实上,很容易证A, O,C三点共线,由于A,O,C是PC上三点P, E,C在平面ABCD上的投影,故P,E,C三点 的投影均在直线AC上,故A,O,C三点共线, 补上这一点证明就完整了.

? [正解] 平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由 如下: ? 假设平面EBD垂直于平面ABCD, ? 过E作EO⊥BD于O,连接AO,CO. ? ∵EO?平面EBD,EO⊥BD,平面EBD∩平面 ABCD=BD, ? ∴EO⊥平面ABCD. ? 又∵PA⊥平面ABCD, ? ∴EO∥PA.

? ∵A,O,C是PC上三点P,E,C在平面ABCD上 的投影, ? ∴P,E,C三点的投影均在直线AC上, ? ∴A,O,C三点共线. ? 又∵E是PC的中点, ? ∴O是AC的中点. ? 又∵AB∥CD, ? ∴△ABO∽△CDO. ? 又∵AO=OC,∴AB=CD, ? 这与CD=2AB矛盾,

? 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.

? (1)求证AD⊥PB; ? (2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一 点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结 论.

? [解析] (1)证明:设G为AD的中点,连接BG, PG, ? ∵△PAD为正三角形,∴PG⊥AD. ? 在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中 点, ? ∴BG⊥AD. ? 又BG∩PG=G,∴AD⊥平面PGB. ? ∵PB?平面PGB,∴AD⊥PB.

? ? ? ?
? ? ? ?

(2)当F为PC的中点时,平面DEF⊥平面ABCD. 证明如下: 在△PBC中,∵F是PC的中点,∴EF∥PB. 在菱形ABCD中,GB∥DE,而FE?平面DEF, DE?平面DEF,EF∩DE=E, ∴平面DEF∥平面PGB, 由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG?平面PGB, ∴平面PGB⊥平面ABCD, ∴平面DEF⊥平面ABCD.

随堂测评

? 1.设两个平面互相垂直,则( ) ? A.一个平面内的任何一条直线垂直于另一个 平面 ? B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在 另一平面上 ? C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直 于另一个平面 ? D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直 ? [答案] B

? 2.点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等, 则四边形ABCD是( ) ? A.某圆的内接四边形 B.某圆的外切 四边形 ? C.正方形 D.任意四边形 ? [答案] B ? [解析] 作PO⊥平面ABCD,∵P到各边距离都 相等, ? ∴O到四边形ABCD四条边的距离相等, ? ∴四边形应为某圆的外切四边形.

? 3.在空间中,用x、y、z表示不同的直线或 平面,若命题“x⊥y,x⊥z,则y∥z”成立, 则x、y、z分别表示的元素是( ) ? A.x、y、z都是直线 ? B.x、y、z都是平面 ? C.x、y是平面,z是直线 ? D.x是直线,y、z是平面 ? [答案] D

? [解析] 垂直于同一条直线的两直线不一定平 行故A错;垂直于同一个平面的两个平面不一 定平行,故B错;一条直线与一个平面都和同 一个平面垂直时,直线可能在平面内,故C 错.由线面垂直的性质知,D正确.

? 4.用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平 面,给出下列命题: ? ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ? ②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c; ? ③若a∥γ,b∥γ,则a∥b; ? ④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b. ? 其中真命题的序号是( ) ? A.①② B.②③ ? C.①④ D.③④ ? [答案] C

[解析] ①平行关系的传递性. ②举反例:

在同一平面 α 内,a⊥b,b⊥c,有 a∥c.

③举反例:

如图的长方体中,a∥γ,b∥γ,但 a 与 b 相交. ④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①,④正确.

? 5.平面α⊥平面β,α∩β=l,n?β,n⊥l,直 线m⊥α,则直线m与n的位置关系是 ________. ? [答案] 平行 ? [解析] ∵α⊥β,α∩β=l,n?β,n⊥l, ? ∴n⊥α.又m⊥α,∴m∥n.

? 6.如图所示,已知:α⊥β,α∩β=l,AB?α, AB⊥l,BC?β,BC⊥DE.求证:AC⊥DE.

? ? ? ? ?

[解析] ∵α⊥β,α∩β=l,AB?α,AB⊥l, ∴AB⊥β, 又DE?β,∴AB⊥DE. ∵DE⊥BC,∴DE⊥平面ABC. ∴DE⊥AC.

课后强化作业
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