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2013全国中学生数学竞赛试题(1)_图文

…………○…………○…………○…………○…………装订线内不要答题…………○…………○…………○…………○…………○…………

(联系电话为通知及查询的唯一依据)

3.如图,在 Rt△ABC 中,已知 O 是斜边 AB 的中点,

中国教育学会中学数学教学专业委员会

CD⊥AB,垂足为 D,DE⊥OC,垂足为 E.若 AD,DB,CD 的长度都是有理数,则线段 OD,OE,DE,AC 的长度中,不 . 一定 是有理数的为( .. 总 分 (A)OD (C)DE ) . (B)OE (D)AC

2013 年全国初中数学竞赛试题
题 得 号 分 一 1~5 二 6~10 11 12 三 13 14

4.如图,已知△ABC 的面积为 24,点 D 在线段 AC 上, 点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BC ? 4CF ,DCFE 是平行四 边形,则图中阴影部分的面积为( (A)3 数学竞赛真题 (C)6 (B)4 (D)8 ) .

评卷人 复查人 答题时注意: 1.用圆珠笔或钢笔作答; 2.解答书写时不要超过装订线; 3.草稿纸不上交. 一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分.每道小题均给出了代号为 A,B, C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后 的括号里,不填、多填或错填都得 0 分)

5.对于任意实数 x,y,z,定义运算“*”为:

联系电话

x? y ?

3x 3 y ? 3x 2 y 2 ? xy 3 ? 45

? x ? 1? ? ? y ? 1?
3

3

? 60

, ) . (D)
16389 967

且 x ? y ? z ? ? x ? y ? ? z ,则 2013 ? 2012 ? (A)
607 967

? 3 ? 2 的值为(
(C)
5463 967

(B)

?a ? 2b ? 3c ? 0, ab ? bc ? ca 1.设非零实数 a , b , c 满足 ? 则 2 的值为( 2 2 ?2a ? 3b ? 4c ? 0, a ? b ? c

1821 967

) .

二、填空题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分) 6 . 设 a ? 3 , b 是 a 的 小 数 部 分 , c 是 a 2 的 小 数 部 分 , 则 b(b ? c ? 4) 的 值
3

年级

(A) ?

1 2

(B) 0

(C)

1 2

(D) 1



. 7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数 1,2,3,4,5,6.掷这个正

2.已知关于 x 的不等式组
? 2x ? 5 ? 3 ? x ? ?5, ?x?3 ? ?t ? x ? 2

方体三次,则其朝上的面的数和为 3 的倍数的概率是



8.已知正整数 a,b,c 满足 a ? b2 ? 2c ? 2 ? 0 , 3a 2 ? 8b ? c ? 0 ,则 abc 的最大值 为 . 9.实数 a,b,c,d 满足:一元二次方程 x 2 ? cx ? d ? 0 的两根为 a,b,一元二次
0 的 两 根 为 c , d , 则 所 有 满 足 条 件 的 数 组 (a,,, 方 程 x 2 ? a x? b? b c d)

姓名

恰有 5 个整数解,则 t 的取值范围是(
11 2 11 (C) ?6 < t ≤ ? 2

) .

(A) ?6 < t < ?

11 2 11 (D) ?6 ≤ t ≤ ? 2

(B) ?6 ≤ t < ?

为 10.


14 ? 24 ? 1 24 ? 34 ? 1 994 ? 1004 ? 1 的值为 ? 2 2 ?…? 12 ? 22 ? 1 2 ? 3 ?1 992 ? 1002 ? 1



学校

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三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分) 11.如图,抛物线 y ? ax 2 ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线与 x 轴
1 交于 A, B 两点, 与 y 轴交于点 C, 且 OB=OC=3OA. 直线 y ? ? x ? 1 3

13.如图,设点 D 在△ABC 外接圆上,且为 BC 的中点,点 X 在 BD 上,E 是 AX 的中点,过△ABC 的内心 I 作直线 R T 平行于 DE,分别与 BC,AX 交于点 R,T,设直线 DR 与 ET 交于点 S.证 明:点 S 在△ ABC 的外接圆上.

与 y 轴交于点 D.求∠DBC?∠CBE.

12. 设△ ABC 的外心、 垂心分别为 O、H , 若 B、 对于所有的△ ABC , C、 H O 、 共圆, 求 ?BAC 所有可能的度数.

14.如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧,所得到的新数可被 7 整除,那么称 M 为 m 的“魔术数”(例如,把 86 放在 415 的左侧,得到的数 86415 能被 7 整除,所以称 86 为 415 的魔术数) . 求正整数 n 的最小值, 使得存在互不相同的正整数 a1,a2,…,an , 满足对任意一个正整数 m,在 a1,a2,…,an 中都至少有一个为 m 的魔术数.

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