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2.3 变量间的相关关系知识点试题及答案


一、知识要点及方法
1、概念:(1)回归直线方程: y ? a ? b x (2)回归系数: b ?
? ? ?

?

i ?1 n

? xi yi ? nx y
i ?1

n

? xi2 ? nx

2

,a ? y ?b x

?

?

2.应用直线回归的注意事项:回归分析前,最好先作出散点图;

二、试题
课时训练 1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.圆的半径和它的面积 B.正方形边长和它的面积 C.正 n 边形的边数和内角和 D.人的年龄和身高 ^ 2.设有一个回归方程为y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时,y 平均( ) A.增加 1.5 个单位 B.增加 2 个单位 C.减少 1.5 个单位 D.减少 2 个单位 3.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程是 ( ) ^ ^ A.y=1.23x+4 B.y=1.23x+5 ^ ^ C.y=1.23x+0.08 D.y=0.08x+1.23 ^ 4.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x +73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( ) A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 以下 D.身高在 145.83 cm 左右 5.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ) A.y=-10x+200 B.y=10x+200 C.y=-10x-200 D.y=10x-200 6.2010 年,我国部分地区手足口病流行,党和政府采取果断措施防、治结合,很快使 病情得到控制.下表是某医院记载的 5 月 1 日到 5 月 12 日每天治愈者数据及根据数据绘制 的散点图. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 日期 人数 日期 人数 100 5.7 141 109 5.8 152 115 5.9 168 118 5.10 175 121 5.11 186 134 5.12 203

则下列说法:①根据此散点图,可以判断日期与治愈人数具有线性相关关系;②根据此

散点图,可以判断日期与治愈人数具有一次函数关系;③根据此散点图,可以判断日期与治 愈人数呈正相关. 其中正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ^ 7.某地区近 10 年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系大致符合y=0.8x+0.1(单位:亿 元),预计今年该地区居民收入为 15 亿元,则年支出估计是________亿元. 8.某单位为了解用电量 y 度与气温 x ℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当 天气温,并制作了对照表: 18 13 10 气温(℃) -1 24 34 38 64 用电量(度) ^ 由表中数据得线性回归方程y=bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4 ℃时,用电量的度 数约为________. 9.有下列关系: (1)炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间的关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系; (3)柑橘的产量与气温之间的关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系; (5)人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系. 其中具有相关关系的是________. 10. 有人统计了同一个省的 6 个城市某一年的人均国民生产总值(即人均 GDP)和这一年 各城市患白血病的儿童数量,如下表: 10 8 6 4 3 1 人均 GDP(万元) 351 312 207 175 132 180 患白血病的儿童数
^

通过计算可得两个变量的回归直线方程为 y =23.25x+102.25,假如一个城市的人均 GDP 为 12 万元,那么断言:这个城市患白血病的儿童一定超过 380 人,请问这个断言是否 正确? 11.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零 件有缺损的统计数据如下表: 16 14 12 8 转速 x(转/秒) 11 9 8 5 每小时生产缺损零件数 y(件) (1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么,机器的运转 速度应控制在什么范围? 12.2010 年春节,又是情人节.这是几十年难遇的“双节”.很多对“新人”赶在这 一天申领结婚证.若新郎和新娘的年龄记为(y,x).试考虑以下 y 关于 x 的回归问题: (1)如果每个新郎和新娘都同岁,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? (2)如果每个新郎都比新娘大 5 岁,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? (3)如果每个新郎都比新娘大 10%,则穿过这些点的回归直线的斜率和截距等于什么? ^ (4)若由一些数据求得回归直线方程为y=1.118x-1.091,则由此可得出关于新郎、新娘 年龄的什么结论?

课后练习 1.下列变量之间的关系是函数关系的是( ) A.已知二次函数 y=ax2+bx+c,其中 a、c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这 个函数的判别式 Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.父母的身高和子女的身高 2.观察下列四个散点图,两变量具有线性相关关系的是( )

3.某考察团对全国 10 个城市进行职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千 ^ 元)统计调查,y 与 x 具有相关关系,回归方程y=0.66x+1.562,若某城市居民人均消费水平 为 7.675(千元),估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为( ) A.83% B.72% C.67% D.66% ^ 4.工人月工资 y(元)与劳动生产率 x(千元)的回归方程为y=50+80x,当劳动生产率提 高 1000 元时,月工资平均提高________元. 答案: 课时练习 1、解析:选 D.函数关系是一种变量之间确定性的关系,A、B、C 都是函数关系,甚至 可以写出它们的函数表达式,分别为 f(r)=πr2,g(x)=x2,h(n)=(n-2)· ,D 不是函数关 180° 系,对于年龄相同的人,仍可以有不同身高.故选 D. ^ 2、解析:选 C.根据y=a+bx 中 b 的意义可知选 C. 3、解析:选 C.斜率为 1.23,设为 y=1.23x+a,适合(4,5)得 a=0.08. 4、解析:选 D.回归直线是用来估计总体的,所以我们求的值都是估算值,所以我们得 到的结果也是近似的,只要把自变量的值代入回归直线方程即可求得结果为 145.83(cm). 5、解析:选 A.x 的系数为负数,表示负相关,排除 B、D,由实际意义可知 x>0,y>0, 在 C 中,其散点图在第四象限无意义,故选 A. 6、解析:选 C.由散点图可看出,所有的点并不都在一条直线上,因此②错误.而在一 段时期内,人数随日期有增加的趋势,且是线性相关的.故选 C. ^ ^ 7、解析:将 x=15 代入y=0.8x+0.1,得y=12.1(亿元). 答案:12.1 18+13+10-1 8、解析: x = =10, 4 24+34+38+64 y= =40, 4 ^ 则 a=y-b x =40+2×10=60, ^ 则y=-2x+60, ^ 则当 x=-4 时,y=-2×(-4)+60=68. 答案:68 9、解析:(1)炼钢的过程就是一个降低含碳量进行氧化还原的过程,除了与冶炼时间有 关外,还受冶炼温度等其他因素的影响,具有相关关系; (3)柑橘的产量除了受气温影响以外,还受肥量以及水分等因素的影响,具有相关关系; (4)森林的同一种树木,其横断面直径随高度的增加而增加,但是还受树木的疏松及光

照等因素的影响.具有相关关系; (5)人的年龄越大财富可能也越大,但是也存在越小的可能,因为还受其他外界因素的 影响.显然以上两个变量的取值都是具有随机性的,具有相关关系; (2)曲线上的点与该点的坐标之间的关系是一一对应的,即是一种确定性关系,不具有 相关关系. 答案:(1)(3)(4)(5)
^ ^

10、解:将 x=12 代入y =23.25x+102.25,得y =23.25×12+102.25=381.25>380,即 便如此,但因 381.25 只是一个估计值,会受其他情况的影响,所以不能断言这个城市患白 血病的儿童一定超过 380 人. 11、 解:(1)根据表中的数据画出散点图如图:

^ (2)设回归直线方程为: y =bx+a,并列表如下: i 1 2 3 xi 16 14 12 yi 11 9 8 xiyi 176 126 96 x =12.5, y =8.25, ?xi2=660, ?xiyi=438,
i=1 i=1 4 4

4 8 5 40

438-4×12.5×8.25 ∴b= ≈0.73, 660-4×12.52 a=8.25-0.73×12.5=-0.875, ^ ∴ y =0.73x-0.875. (3)令 0.73x-0.875≤10,解得 x≤14.9≈15.故机器的运转速度应控制在 15 转/秒内. 12、解:(1)当 y=x 时,易得 b=1,a=0.故回归直线的斜率为 1,截距为 0. (2)当 y=x+5 时,易得 b=1,a=5.故回归直线的斜率为 1,截距为 5. (3)当 y=x(1+10%)时,易得 b=1.1,a=0.故回归直线的斜率为 1.1,截距为 0. ^ (4)回归直线方程为y=1.118x-1.091.从回归方程可以看出, 新郎的年龄一般比新娘的年 龄大,尤其是在大龄夫妇中. 课后练习: 1、解析:选 A.B、C、D 选项是相关关系.故选 A. 2、解析:选 A.由线性相关关系的定义可知. ^ 3、解析:选 A.由y=0.66x+1.562 知, 6113 当 y=7.675 时,x= , 660 7.675 7.675×660 ∴所求百分比为 = ≈83%. x 6113 4、解析:由 b 的意义可知. 答案:80


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