当前位置:首页 >> 高二数学 >>

高中数学必修4知识点总结


高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

?? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?? 第一象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是
?

? ?

l r.

? 180 ? ? 1? ? 1 ? ? ? 57.3 ? ? 180 , ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , .

?

?

7、 若扇形的圆心角为

? ??为弧度制?

, 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则

l?r?

,C ? 2r ? l ,

1 1 S ? lr ? ? r 2 2 2 .

? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是 8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是
r r ? x2 ? y 2 ? 0

?

? ,则

sin ? ?

y x y cos ? ? tan ? ? ? x ? 0 ? r, r, x .

y P T v O M A x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,

第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 :

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?



? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? tan ? ? . ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? sin ? ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? , . , .

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13 、①的图象上所有点向左(右)平移

?

个单位长度,得到函数

y ? sin ? x ? ? ?
1

的图象;再将函数

y ? sin ? x ? ? ?

的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,得到函数 的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ?

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍

(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ?

的图象.

1 y ? sin x ②数 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) ,得到函数

?
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象;再将函数

y ? sin ?? x ? ? ?

的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍

(横坐标不变) ,得到函数 14、函数

y ? ? sin ??x ? ? ?

的图象.

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0?

的性质:

①振幅: ? ;②周期: 函数

??

2?

? ;③频率:
,当

f ?

1 ? ? ? 2? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

y ? ? sin?? x ? ? ? ? ?

x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则

??

? 1 1 ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? ? ymax ? y min? ? ? ? ymax ? ymin ? 2 2 , ,2 .

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域 当

??1,1?
x ? 2k? ?

??1,1?


R
时,

?
2

x ? 2k? ? k ???

? k ? ?? 时 ,
x ? 2k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

最值

ymax ? 1 ;当

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.

既无最大值也无最小 值

? k ? ? ? 时,ymin ? ?1.
周期性 奇偶性 在

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?
单调性



?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? ?2k? ,2k? ? ? ?

? k ? ? ? 上是增函数; 在
? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

上是增函数; 在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? 在?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???
对称性 对 称 轴

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴









x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

x ? k? ? k ???

16、向量:既有大小,又有方向的量.

第二章 平面向量 数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b



? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ?c ? a ? b ?c ②结合律: ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ? ? ? ? a ? ? x1 , y1 ? b ? ? x2 , y2 ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

?

?

?

?

C


⑸坐标运算:设



,则

? a
?

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设

? b

?

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

,则

? ? a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?
? ? ? ? ? ?? ? ?x 1 x2 y ,1 ? y2
?



设 ? 、? 两点的坐标分别为 19、向量数乘运算:

? x1, y1 ? ,? x2 , y2 ? ,则

?.

? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?

?a ? ? a

?

?


? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? a a ? ? 0 ? a a ? ? 0 ? a ? 0. ②当 时, 的方向与 的方向相同; 当 时, 的方向与 的方向相反; 当 时, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? a ? ? b ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ? ? ? a ? ? a ? ? a ? ?
⑵运算律:① ;② ;③

?

?



⑶坐标运算:设

? a ? ? x, y ?

,则

?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ?

?



20、向量共线定理:向量

? ? ? a a?0

?

? ? ? 与 b? 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ?a .

? ? ? ? ? ? b b ?0 x y ? x y ? 0 2 1 设 , ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 1 2 时,向量 a 、 共线. ?? ?? ? ? e e 21、平面向量基本定理:如果 1 、 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,

? a ? ? x1 , y1 ?

? b ? ? x2 , y2 ?

?

?

? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? e a ? ? e ? ? e e 1 2 1 1 1 2 2 有且只有一对实数 、 ,使 . (不共线的向量 、 2 作为这一平面内所有向量的一组基
底)

??? ? ???? x , y x , y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 1 2 上的一点, 1 、 2 的坐标分别是 1 1 , 2 2 ,当 1
? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ? ? 1 ? ? 1? ? ? . 时,就为中点公式。) ? 时,点 ? 的坐标是 (当 ? ? 1
23、平面向量的数量积: ⑴

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a b ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, ;当 a 与 b 反 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? ? a ?b ? ? a b a a ?b ? a b ?a ? a ? a a ? a?a
向时, ; 或 .③ .

? ? ? ? a ⑶运算律:① ? b ? b ? a ;②
⑷坐标运算:设两个非零向量 若

? ? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b

?

?

? ? ;③ ?

? ? ? ? ? ? ? a ? b ?c ? a ?c ? b ?c

?



? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . ,则
. 设

? a ? ? x, y ?

, 则
1

?2 a ? x2 ? y 2

, 或

? a ? x2 ? y 2

? a ? ? x1 , y1 ?



? b ? ? x2 , y2 ?

, 则

? ? a ? b ? 1 x 2 x?

y2 0y ? .

? ? ? ? ? ? a ? x , y b ? ? x2 , y2 ? ? ? 1 1 a ? a b b 设 、 都 是 非 零 向 量 , , , 是 与 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2
. 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ ⑶

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ?

;⑵ ;⑷

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?



sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?







tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

) ;

tan ?? ? ? ? ?


tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ?



tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin ⑵ cos 2? ? cos
2

2

? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

?升幂公式 ?降幂公式
tan 2? ?


,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?
2

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? sin 2 ? ? 2 2 , .

2 tan ? 1 ? tan 2 ? .

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

26、半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

27、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

形式。

? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ?

tan ? ?
,其中

? ?.

28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角 公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:

?

?

?

① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 2 的二倍; 2 是 4 的二倍;

30o ? sin ? 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ? 2 ;问: 12 ②
o o o o o

cos


?
12

?


③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④ 4

?

?? ?

?
2

?(

?
4

??)


2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (


?
4

??) ? (

?
4

??)
;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常

化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:
1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ? __________ ____ 如: 1 ? tan ? ; 1 ? tan ? ;





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;

2 tan ? ?

2 ; 1 ? tan ? ?

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
tan ? ?
; ) =

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50 (1 ? 3 tan10 ) ?
o o

; 。

tan ? ? cot ? ?


相关文章:
高中数学必修4知识总结(完整版).doc
高中数学必修4知识总结(完整版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4知识总结,基础知识的梳理对于数学学习很重要。文档很细致!很好!...
人教版高中数学必修4知识点总结.doc
人教版高中数学必修4知识点总结 - 环球雅思 高中数学必修 4 知识点总结 第一
高中数学必修四最全知识点汇总.doc
高中数学必修四最全知识点汇总 - 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数
高中数学必修4知识总结(完整版).doc
高中数学必修4知识总结(完整版) - 高中数学必修四知识点总结 ?正角:按逆时针
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全).doc
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全) - 高中数学必修四:第一章基本初等函
高中数学必修4知识点总结.doc
高中数学必修4知识点总结 - 必修 4 第一章 三角函数 一、任意角和弧度制 1
2018年人教版高中数学必修四知识点归纳总结.doc
2018年人教版高中数学必修四知识点归纳总结 - 人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1.1 任意角 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕...
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版).doc
人教版高中数学必修四常见公式及知识点总结(完整版) - 必修四常考公式及高频考点
高中数学必修4知识点总结:第一章_三角函数.doc
高中数学必修4知识点总结:第一章_三角函数 - 庚景教育 第一章 三角函数 一、
新人教版高中数学必修4知识点总结.doc
新人教版高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角
高中数学必修4知识点总结归纳.doc
高中数学必修4知识点总结归纳_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修4知识点总结归纳高中数学必修 4 知识点 ?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意...
高中数学必修4知识点总结.doc
高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点 第一章 三角函数 班级
高中数学必修4知识点总结.pdf
高中数学必修4知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。初中 高中家教资料
高中数学必修四知识点总结.doc
高中数学必修四知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点 第一章 三角函数 ?正角
1.6高中数学必修1+必修4知识点归纳.doc
高中数学必修 1+必修 4 知识点归纳必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指
高中数学必修四向量知识点.doc
高中数学必修四向量知识点 - 向量知识点总结 一、向量的概念 (1)向量:既有大
必修4--三角函数所有知识点归纳总结.doc
必修4--三角函数所有知识点归纳总结 - 《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长
高中数学 必修4知识点.doc
高中数学 必修4知识点 - 高中数学 必修 4 知识点 第一章 三角函数 ?正角
高中数学必修4知识点总结_图文.doc
高中数学必修4知识点总结 - 高中数学必修 4 知识点总结 第一章:三角函数 §
高中数学必修一知识点总结(全).doc
高中数学必修知识点总结(全) - 第一章 集合与函数概念 一:集合有关概念 1
更多相关标签: