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高三数学一轮复习212导数的应用课件(理)新人教A_图文

第十二节 导数的应用 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研 究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式 函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件;会用导数求函数的极大值、极小值 ( 其中多项 式函数一般不超过三次 ) ;会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用导数解决某些实际问题. 一、函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 如果 f′(x)>0 如果 f′(x)<0 如果 f′(x)=0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减; ,那么f(x)在这个区间内为常数. 二、函数的极值与导数 1.函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近其他点的函数值都小, f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x )>0 , 则 点a叫 做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 2.函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值 都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 ,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极 值. 三、函数的最值 1.如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断 的曲 线,那么它必有最大值和最小值. 2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 . (2)将函数y=f(x)的各极值与 端点处的函数值f(a)、f(b) 比 较 , 其 中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4 1.当 x>0 时,f(x)=x+ 的单调减区间是( x A.(2,+∞) C.( 2,+∞) B.(0,2) D.(0, 2) ) 4 解析:f′(x)=1- 2,令 f′(x)<0, x 4 ? ?1- 2<0, ∴? x ∴0<x<2, ? ?x>0, ∴f(x)的减区间为(0,2). 答案:B 2 .设 f(x) = x(ax2 + bx + c)(a≠0) 在 x = 1 和 x =- 1 处均有极值,则 下列点中一定在x轴上的是( A.(a,b) C.(b,c) ) B.(a,c) D.(a+b,c) 解析:f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知,1,-1 是方程 3ax2 2b +2bx+c=0 的两根,则 1-1=- ,b=0,故点(a,b)一定在 x 3a 轴上. 答案:A π 3. 函数 y=x+2cosx 在[0, ]上取得最大值时, x 的值为( 2 A.0 π C. 3 π B. 6 π D. 2 ) π π π π 解法一:代入比较得 f( )= +2cos = + 3最大. 6 6 6 6 解法二:y′=(x+2cosx)′=1-2sinx, π π 令 1-2sinx=0,且 x∈[0, ]时,x= . 2 6 π 当 x∈[0, ]时,f′(x)≥0,f(x)是单调增函数; 6 π π 当 x∈[ , ]时,f′(x)≤0,f(x)单调减函数一致. 6 2 π ∴f(x)max=f( ). 6 答案:B 4.函数f(x) =x3+3ax2+3[(a +2)x +1]既有极大值又有极小值, 则a的取值范围是________. 解析:∵f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1], ∴f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 令3x2+6ax+3(a+2)=0, 即x2+2ax+a+2=0. ∵函数f(x)有极大值和极小值, ∴方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根. 即Δ=4a2-4a-8>0,∴a>2或a<-1. 答案:a>2或a<-1 5 .当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的底面半径为 ________时,才能使饮料罐的体积最大. 解析:设圆柱形金属饮料罐的底面半径为 R,高为 h. 2 S - 2 πR S=2πRh+2πR2?h= 2πR S-2πR2 2 1 ?V(R)= πR = (S-2πR2)R 2πR 2 1 1 = SR-πR3?V′(R)= S-3πR2, 2 2 令 V′(R)=0,∴R= S . 6π 因 V(R)只有一个极值点,故它就是最大值点. 答案: S 6π 热点之一 函数的单调性与导数 利用导数判断函数单调性是导数重要应用之一.常见形式为: (1)求函数单调区间; (2)已知函数的单调区间,求有关参数的取值范围. (3) 利用导数与函数单调性的关系解决有关函数与导函数图象问 题. [例1] 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的 底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围; (3)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若 不是,请说明理由. [课堂记录] (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)∵函数f(x)在(-1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0对x∈(-1,1)都成立. ∵f′(x)=(-2x+a)ex+(-x2+ax)ex =[-x2+(a-2)x+a]ex, ∴[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对

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