当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届高中数学第一章-棱柱棱锥棱台和球的表面积课件_图文

1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

1.了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公 式 ). 2.理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程. 3.会求简单几何体的侧面积和表面积.

1

2

3

1.棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式 S 直棱柱侧=ch,其中 c 为直棱柱的底面周长,h 为直棱柱的高.
1 2 1 S 正棱台侧 = ( 2

S 正棱锥侧= ?′, 其中为正棱锥的底面周长, ?′为斜高. + ′)?′,

其中′, 分别为正棱台的上、下底面的周长, ?′为斜高.
名师点拨 斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求 和,也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面),设其 周长为c',侧棱长为l,则S斜棱柱侧=c'l.

1

2

3

【做一做 1-1】 长方体的对角线长为2 14, 长、宽、高的比为 3 ∶ 2 ∶ 1, 那么它的表面积为( A.44 B.88 C.64 D.48
解析:设长,宽,高分别为 3x,2x,x,则对角线长为 9 2 + 4 2 + 2 = 14 = 2 14, 得x=2. 所以表面积 S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
答案:B

)

1

2

3

【做一做1-2】 已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体,则它 的表面积是 .

解析:每一个面的面积均为
3 4

3 × 4

12 =

3 , 因此表面积S=4× 4

= 3.
答案: 3

1

2

3

【做一做 1-3】 一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm,高是
3 2

cm, 则这个三棱台的侧面积是

.

解析:由已知得正三棱台的斜高 h'=
3 2 2

+

3 × 6

(6-3)
1 2

2

= 3(cm).
27 2

因此侧面积 S侧 = (3 × 3 + 3 × 6) × 3 =
27 3 答案: 2

3(cm2).

cm2

1

2

3

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式: S圆柱侧=cl=2πrl,其中l为圆柱的母线长,c为底面圆的周长,r为底面 圆的半径.

S 圆锥侧= , 为母线长. S 圆台侧=

1 2

= π, 其中, 分别为圆锥底面圆的周长与半径 + ′) = π( + ′),

1 ( 2

其中, , ′, ′分别为圆台上、 下底面圆的周长与半径 , 为圆台的母线长.

1

2

3

(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式: 圆柱表面积:S圆柱=2πr2+2πrl=2πr(r+l). 圆锥表面积:S圆锥=πr2+πrl=πr(r+l). 圆台表面积:S圆台=π(r'2+r2+r'l+rl). 知识拓展 表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小, 有时表面积又称为全面积.通常把几何体的表面展成平面图形,利 用平面图形来求几何体的表面积.侧面积是指侧面的面积,与表面 积不同.一般地,表面积=侧面积+底面积.利用侧面展开图或截面把 空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手 段.

1

2

3

【做一做2-1】 如图,圆锥的底面半径为1,高为 3 则圆锥的表面积为( )

A.π

B.2π

C.3π D.4π

解析:设圆锥的母线长为 l,则 l= 3 + 1 = 2, 所以圆锥的表面积 S=π×1×(1+2)=3π.
答案:C

1

2

3

【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的 侧面积与轴截面面积的比值为( )

A.2π

B. 2



C. 3

2 3π

D. 2

π

解析:可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公 式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积. 答案:C

1

2

3

3.球的表面积 S球=4πR2,其中R为球的半径. 名师点拨 1.球的表面积可用语言叙述为:球面面积等于它的大圆 面积的四倍. 2.球面不能展开成平面图形,因此不能根据柱、锥、台的推导方 法求球的表面积. 3.不要求掌握球的表面积公式推导的过程,只要求记住公式并会 应用.

1

2

3

【做一做3-1】 若球的大圆周长为C,则这个球的表面积是(
2 A. 4π 2 B. 2π 2 C. π

)

D. 2π2

答案:C

1

2

3

【做一做3-2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该 球的表面积为 . 解析:正方体的体对角线即为球的直径,即直径

d= 32 + 32 + 32 = 27 = 3 3, 则球的半径R= 2 .
所以S=4πR2=27π. 答案:27π

3 3

柱、锥、台的侧面积公式之间的区别和联系 剖析:通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S圆柱侧=2πrl,S圆锥侧 =πrl,S圆台侧=π(r1+r2)l三者之间的相互联系可以分析出(如图):

当r1变化时,相应的图形也随之变化,当r1=0,r2=r时,相应的圆台就 转化为圆锥,而当r1=r2=r时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面 积公式也随之变化.

所以可归纳为: ①圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的变化关系为: S 圆柱侧=2πrl S 圆台侧=π(r1+r2)l S 圆锥侧=πrl. ②棱柱、棱锥、棱台的侧面积公式之间的变化关系为: S 正棱柱侧=ch =
1 ?′. 2

S 正棱台侧 =

1 ( 2

+ ′)?′

正棱锥侧

名师点拨 一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特征 不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面积 求和,即为相应的侧面积.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

棱柱、棱锥、棱台的面积问题

【例1】

如图,正四棱锥底面正方形边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,求该 正四棱锥的侧面积和表面积. 分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边 长和各侧面的斜高,进而根据相应的公式求解,把问题转化到三角 形内加以分析求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成一个Rt△POE. 因为OE=2 cm,∠OPE=30°,

所以 PE=

sin30°

= 4(cm).
1 2 1 2

因此 S 正四棱锥侧 = ?′ = × 4 × 4 × 4 = 32(cm2),
S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+4×4=48(cm2). 反思 解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成 的直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体 的表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平 面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面积的和,求棱台的高. 分析:利用已知条件求出斜高,再利用正棱台中的直角梯形求高. 解:如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1为两底面中心,D,D1是 BC,B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.

题型一

题型二

题型三

题型四

由 A1B1=20 cm,AB=30 cm,
10 3 得 OD=5 3 cm,O1D1= 3 cm. 1 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 S侧 = (60 + 90)· DD1= (202 + 302), 2 4 13 3 解得DD1= 3 .

在直角梯形 O1ODD1 中, O1O= 4 3(cm), 即棱台的高为 4 3 cm.
2 1 -(-1 1 )2 =

13 3 3

2

- 5

10 3 3- 3

2

=

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

圆柱、圆锥、圆台的面积问题

【例 2】 一个直角梯形的上、下底和高的比为 1∶2: 3, 求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面面积、 下底面面积和侧面积的比. 分析:利用轴截面求母线长.

解:如图,设上、下底和高分别为 x,2x, 3, 则母线长 l=
2 2 ( 2- ) + ( 3) = 2,

所以S上底=πx2,S下底=π(2x)2=4πx2,S侧=π(x+2x)· 2x=6πx2,所以圆台 的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 圆台的轴截面包含圆台的各度量元素,是解有关圆台计算问 题常用的平面图形.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练2】 若一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形, 则该圆柱的表面积是( ) A.16π B.24π C.20π D.28π 解析:由已知得该圆柱的底面半径为2,母线长为4,所以其表面积 S=2π·2·4+2π·22=16π+8π=24π. 答案:B

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

简单组合体的表面积问题

【例3】 一个几何体的直观图如图,则该几何体的表面积等 于 .

分析:该几何体是由上面的圆柱和下面的长方体拼接而成,拼接 面不能算作几何体的表面.

题型一

题型二

题型三

题型四

解析:(方法一)该组合体的上半部分是一个底面半径为2,母线长 为8的圆柱,下半部分是一个长、宽、高分别为8,8,4的长方体. 圆柱的表面积是2π×2×8+2π×22=40π, 长方体的表面积是(4×8+4×8+8×8)×2=256. 两几何体重叠面的面积为π×22=4π. 所以该组合体的表面积为S=40π+256-2×4π=256+32π. (方法二)由该组合体的组合形式可知,圆柱的上底面可移至其拼 接面,因此其表面积恰好是下半部分的长方体的表面积与上半部分 圆柱的侧面积之和,故其表面积 S=(4×8+4×8+8×8)×2+2π×2×8=256+32π. 答案:256+32π

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 解答有重叠面的组合体的表面积类问题时,容易出现的错误 是将两个几何体的表面积相加后只减去一个拼接面的面积,这是由 于对几何体的组合特点理解不深致误.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 如图,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中 心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积 为 .

解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表 面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积. 故其表面积S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2=240.5π+2π=24+1.5π. 答案:24+1.5π

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

球的切接问题

【例 4】 长方体共顶点的三个侧面面积分别为 3, 5, 15, 试求它的外接球的表面积.
分析:根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列 式求解即可. 解:如图为过长方体的一条体对角线的截面. 设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x,y,z, = 3, = 3, 则由已知可令 = 5, 解得 = 1,

= 15,
1 1

= 5.
3

所以球的半径 R= 2 ′ = 2 2 + 2 + 2 = 2. 所以S球=4πR2=9π.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思 在处理球和长方体的组合问题时,通常是先作出过球心且过 长方体对角面的截面图,然后通过已知条件来求.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练4】 求棱长为a的正四面体的外接球的表面积.

解:设正四面体ABCD的高为AO1,外接球球心为O,半径为R,如图, 连接OB. ∵正四面体的棱长为a,

∴O1B=

3 2 × 2 3

= 3 .

3

题型一

题型二

题型三

题型四

在 Rt△AO1B 中,AO1= 在 Rt△OO1B
2 中,1

2 2 - 1 =

2 =

3 3

2

=

6 . 3

= 2 ?
2 2

3 3

2

2 2 ? , 3

∴AO1= ∴R=

6 3

= +

3

.

6 6 , 即外接球半径为 . 4 4 6 4
2

∴S 外接球表=4πR2=4π·

= 2 2.



1

2

3

4

5

6

1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为 ( ) A.6 B.12 C.24 D.48

解析:由已知得该正四棱锥斜高 h'=
1

6 2 2 5 2

= 4,

于是其侧面积 S侧 = 2 × 6 × 4 × 4 = 48.
答案:D

1

2

3

4

5

6

2.已知正六棱柱的高为 h,底面边长为 a,则它的表面积为 ( A.3 32 + 6?B. 32 + 6? C.4 32 + 6?D. 2 32 + 6?
3

)

解析:柱体的表面积是侧面积加上底面积,据正六棱柱的性质,得其表 面积为 S 侧+2S 底=6ah+3 32.
答案:A

1

2

3

4

5

6

3.如图是一个空间几何体的三视图,其中主视图为等腰直角三角形, 左视图与俯视图为正方形,则该几何体的表面积为( )

A.16+16 2

B. 48 + 16 2

C.32+16 2

D. 48 + 8 2

1

2

3

4

5

6

解析:由三视图可知,该几何体是一个三棱柱,其直观图如图.

表面积 S=2× 2 × 42 + 4 × (4 + 4 + 4 2) = 48 + 16 2.
答案:B

1

1

2

3

4

5

6

4.已知一个圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面 积是 . 解析:如图,设圆锥底面半径为r,母线长为l,

由题意得

π = 2π. 2 所以底面积为 πr =π× = .
答案: 2

π 2 2

= ,

解得r=


, 2π

2

1

2

3

4

5

6

5.正四棱台的高是12 cm,两底面边长相差10 cm,表面积是512 cm2, 则两底面的边长分别是 . 解析:如图,设正四棱台的上底面边长A1B1=a cm,
则AB=(a+10)cm,高OO1=12 cm,

所以斜高 EE1=
1

1 2 + (-1 1 )2 = 122 + 52 = 13(cm).

故 a2+(a+10)2+ 2 × 4 × (2 + 10) × 13 = 512.
解得a=2,所以上底面边长为2 cm,下底面边长为a+10=12(cm).

答案:2 cm,12 cm

1

2

3

4

5

6

6.已知一个几何体的三视图如图,求其表面积.

解:由三视图知,该几何体是由下面棱长是 4 的正方体和上面高是 2 的正四棱锥组合而成,所求其表面积为 S=4×4×5+ × 4 × 2 2 × 4 = 80 + 16 2.
1 2


相关文章:
2017届高中数学第一章-棱柱棱锥棱台和球的表面积课件_图文.ppt
2017届高中数学第一章-棱柱棱锥棱台和球的表面积课件 - 1.1.6 棱柱、棱
...几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件_图文.ppt
2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件 -
...第1章186棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件 新人教B....ppt
最新-2018高中数学 第1章186棱柱棱锥棱台和球的表面积课件 新人教B版必修2 精品_数学_高中教育_教育专区。1.1.6 棱柱棱锥、棱台和球 的表面积 学习...
...棱锥、棱台和球的表面积课件新人教B版必修_图文.ppt
高中数学第一章1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教B版必修 - 1.1.6 【学习要求】 棱柱棱锥、棱台和球的表面积 1.理解棱柱棱锥、棱台和球的...
...立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新....ppt
2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教
高中数学教学课件《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》_图文.ppt
高中数学教学课件棱柱棱锥棱台和球的表面积》 - 棱柱棱锥棱台和球的表面积 S = ab (1)矩形面积公式:___. (2)三角形面积公式:___...
高中数学1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新人教....ppt
高中数学1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教B必修2 - 成才之路数学 人教B版 必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第一章 立体几何初步 第...
高中数学1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新人教....ppt
高中数学1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教B必修2 (2) - 成才之路 数学 人教B版 必修2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第一章 立体几何...
高中数学1.1.6《棱柱棱锥、棱台和球的表面积》课件(新....ppt
高中数学1.1.6《棱柱棱锥棱台和球的表面积课件(新人教B版必修2)_数学_高中教育_教育专区。高中数学1.1.6《棱柱棱锥棱台和球的表面积课件(新人教B版...
2018版 第1章 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积_图文.ppt
2018版 第1章 1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积_高一数学_数学_高中教育_教育专区。阶 阶 段 段 一 三 1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积 学 ...
棱柱棱锥棱台和球的表面积_图文.ppt
棱柱棱锥棱台和球的表面积_高二数学_数学_高中教育_教育专区。立体几何 课件 ?
高中数学课件棱柱、棱锥、棱台的表面积_图文.ppt
高中数学课件棱柱棱锥棱台的表面积 - 把一些简单的多面体沿着多面体的某
...2课件:1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积_图文.ppt
高中数学人教B版必修2课件:1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积_数学_高中教育_教育专区。1.1.6 棱柱棱锥棱台和球的表面积 1.了解棱柱棱锥、棱台和...
...几何初步1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新....ppt
高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教b必修2 - 第一章 1.1.6 棱柱棱锥、棱台和球的表面积 [学习目标] 1.理解...
...二1.1.6《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》课件1 最....ppt
高中数学课件-新人教b版高中数学必修二1.1.6《棱柱棱锥棱台和球的表面积课件1 最新_数学_高中教育_教育专区。1.1.6棱柱棱锥棱台和球的 表面积 一...
...立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新....ppt
鲁京辽2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教B版必修2 - 第一章 §1.1 空间几何体 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台...
...1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积课件新人教_图文.ppt
2019版高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教_数学_高中教育_教育专区。1.1.6 棱柱棱锥、棱台和球的表...
...立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新....ppt
高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教B版必修2
...立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新....ppt
2018版高中数学第一章立体几何初步1.1.6棱柱棱锥棱台和球的表面积课件新人教
《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》_图文.ppt
棱柱棱锥棱台和球的表面积体积》_数学_高中教育_教育专区。探究 2: 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系: c’=c 上底扩大 c’=0 上底...
更多相关标签: