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2013-2014南师附中高一数学上期末试卷(word版含答案)


2013-2014 学年江苏省南京师大附中高一(上)期 末数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分,请把答案填写在答题纸相应位置上。 1. (3 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,3,5},B={1,3},则?U(A∪B)= 2. (3 分)已知函数 f(x)=lg(1﹣x) ,则其定义域为: _________ . 3. (3 分)函数 f(x)=3cos( x+ )的最小正周期为 _________ . _________ .

4. (3 分)已知向量 =(4,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ ,则实数 x 的值为 _________ .
x

5. (3 分)如果函数 f(x)=(a﹣1) 在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 _________ . 6. (3 分)将函数 f(x)=sin(x+ )的图象向右平移 个单位,所得图象的函数解析式为 _________ .

7. (3 分)已知角 α 的终边经过点 P(﹣1,3) ,则 sinα﹣2cosα= _________ . 8. (3 分)已知 a=log 2,b=2 ,c=0.6 ,则 a,b,c 的大小关系为 _________ (用“<”连接) .
0.6 2

9. (3 分)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a﹣b 的值为 _________ .

x

10. (3 分)在△ ABC 中,已知 sinA+cosA= ,则△ ABC 为 _________ 三角形(在“锐角”、“直角”、“钝角”中, 选择恰当的一种填空) .

11. (3 分)若函数 f(x)=

为奇函数,则实数 a 的值为

_________ .

12. (3 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(3) )的值为 _________ .

13. (3 分)在△ ABC 中,已知 AB=AC,BC=4,点 P 在边 BC 上,

?

的最小值为 _________ .

14. (3 分)已知函数 f(x)=x(2+a|x|) ,且关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若[﹣ , ]?A,则实 数 a 的取值范围是 _________ . 二、解答题:本大题共 6 小题,满分 58 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15. (8 分)已知向量 =(2,1) , =(1,﹣2) . (1)求( + )?(2 ﹣ )的值; (2)求向量 与 + 的夹角.

16. (8 分)已知 tanα=3,π<α< (1)求 cosα 的值 (2)求 sin(



+α)+sin(π+α)的值.

17. (10 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)若 x∈[﹣ ,0],求函数 f(x)的值域.

)的图象如图所示.

18. (10 分)如图,在?ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠DAB=60°,M 为 DC 的中点. (1)求 (2)设 ? =λ 的值; ,若 AC⊥DP,求实数 λ 的值.

19. (10 分)用一根长为 10m 的绳索围成一个圆心角为 α(0<α<π) ,半径不超过 2m 的扇形场地,设扇形的半径 2 为 x m,面积为 S m . (1)写出 S 关于 x 的表达式,并求出此函数的定义域 (2)当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的面积 S 最大,并求最大面积.

20. (12 分)已知 M 是所有同时满足下列两个性质的函数 f(x)的集合: ①函数 f(x)在其定义域上是单调函数; ②在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b.请解答以下问题 (1)判断函数 g(x)=﹣x (x∈[0,+∞) )是否属于集合 M?若是,请求出相应的区间[a,b];若不是,请说明理 由. (2)证明函数 f(x)=3log2x 属于集合 M; (3)若函数 f(x)= 属于集合 M,求实数 m 的取值范围.
2

2013-2014 学年江苏省南京师大附中高一(上)期 末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分,请把答案填写在答题纸相应位置上。 1. (3 分)已知全集 U={0,1,2,3,4,5},集合 A={0,3,5},B={1,3},则?U(A∪B)= 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 由 A 与 B 求出两集合的并集,根据全集 U 求出并集的补集即可. 解:∵全集 U={0,1,2,3,4,5},A={0,3,5},B={1,3}, ∴A∪B={0,1,3,5},
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{2,4} .

则?U(A∪B)={2,4}. 故答案为:{2,4} 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (3 分)已知函数 f(x)=lg(1﹣x) ,则其定义域为: (﹣∞,1) . 考点: 专题: 分析: 解答: 对数函数的定义域. 计算题. 依据对数函数的定义知,其真数大于 0,即由 1﹣x>0 即可解得. 解:∵1﹣x>0, ∴x<1, ∴函数 f(x)=lg(1﹣x)的定义域(﹣∞,1) 故答案为(﹣∞,1) 点评: 本题属于以函数的定义的基础题,也是高考常会考的题型.
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3. (3 分)函数 f(x)=3cos( x+

)的最小正周期为 4π .

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用 y=Acos(ωx+φ)的周期等于 T=
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,从而得出结论. =4π,

解答:

解:函数 f(x)=3cos( x+

)的最小正周期为

故答案为:4π. 点评: 本题主要考查三角函数的周期性及其求法,利用了 y=Acos(ωx+φ)的周期等于 T= ,属于基础题.

4. (3 分)已知向量 =(4,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ ,则实数 x 的值为 ﹣8 .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接由向量共线的坐标运算得答案. 解答: 解:∵量 =(4,﹣3) , =(x,6) ,且 ∥ ,
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则 4×6﹣(﹣3)x=0. 解得:x=﹣8. 故答案为:﹣8. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起,要 特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0, 是基础题. 5. (3 分)如果函数 f(x)=(a﹣1) 在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 1<a<2 . 考点: 专题: 分析: 解答: 指数函数单调性的应用. 函数的性质及应用. 根据指数函数的单调性与底数之间的关系确定底数的取值范围,即可求出实数 a 的取值范围.
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x

解:∵函数 f(x)=(a﹣1) 在实数集 R 上是减函数, ∴0<a﹣1<1,解得 1<a<2. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性与底数之间的关系,要求熟练掌握指数函数的图象和性质.

x

6. (3 分)将函数 f(x)=sin(x+

)的图象向右平移

个单位,所得图象的函数解析式为

y=sin(x+

) .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 f(x)=sin(x+ )的图象向右平移 个单位,
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所得图象的函数解析式为 y=sin(x﹣ 故答案为:y=sin(x+ ) .

+

)=sin(x+

) ,

点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 7. (3 分)已知角 α 的终边经过点 P(﹣1,3) ,则 sinα﹣2cosα= .

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 三角函数的求值. 利用三角函数的定义,求出 sinα、cosα,即可得到结论. 解:∵角 α 的终边经过点(﹣1,3) ,
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∴x=﹣1,y=3,r= ∴sinα= ,cosα=

=

∴sinα﹣2cosα= 故答案为: .

=



点评: 本题考查三角函数的定义,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. (3 分)已知 a=log 2,b=2 ,c=0.6 ,则 a,b,c 的大小关系为 a<c<b (用“<”连接) .
0.6 2

考点: 专题: 分析: 解答:

不等式比较大小;对数的运算性质. 不等式的解法及应用. 判断三个数与 0,1 的大小,即可得到结果.
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解:a=log

2<0,b=2 >1,c=0.6 ∈(0,1) .

0.6

2

所以 a<c<b. 故答案为:a<c<b. 点评: 本题考查数值大小的比较,注意中间量的应用,基本知识的考查. 9. (3 分)已知函数 f(x)=a +b(a>0,a≠1)的图象如图所示,则 a﹣b 的值为 4 .
x

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中函数 y=ax+b 的图象经过(0,﹣1)点和(1,0)点,代入构造关于 a,b 的方程,解方程可得答 案. x 解答: 解:∵函数 y=a +b 的图象经过(0,﹣1)点和(1,0)点, 故 1+b=﹣1,且 a+b=0, 解得:b=﹣2,a=2, 故 a﹣b=4, 故答案为:4 点评: 本题考查的知识点是待定系数法,求函数的解析式,指数函数图象的变换,难度不大,属于基础题.
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10. (3 分)在△ ABC 中,已知 sinA+cosA= ,则△ ABC 为 钝角 三角形(在“锐角”、“直角”、“钝角”中,选择 恰当的一种填空) . 考点: 二倍角的正弦. 专题: 解三角形. 分析: 由 sinA+cosA= ,求得 sinA?cosA=﹣
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<0,且 0<A<π,可得 A 为钝角,从而得到△ ABC 是钝角三角

形. 解答: 解:∵在△ ABC 中 sinA+cosA= ,平方可得 1+2sinA?cosA= A 为钝角,故△ ABC 是钝角三角形. ,∴sinA?cosA=﹣ <0,且 0<A<π,故

故答案为:钝角. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,属于中档题.

11. (3 分)若函数 f(x)=

为奇函数,则实数 a 的值为



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 f(x)为奇函数有:f(﹣x)=﹣f(x) ,所以得到:
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,所

以﹣(2a+1)=2a+1,所以 2a+1=0,所以 a= 解答: 解:f(﹣x)= ∴2x ﹣(2a+1)x+a=2x +(2a+1)x+a; ∴﹣(2a+1)=2a+1,∴a= 故答案为: . .
2 2



=



点评: 考查奇函数的概念,也可先将 f(x)中的(2x+1) (x+a)展开,再求 f(﹣x) .

12. (3 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(3) )的值为



考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解. 解答:
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解:∵f(x)=



∴f(3)=log23, f(f(3) )=( ) 故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意分段函数的性质的合理运用. = .

13. (3 分)在△ ABC 中,已知 AB=AC,BC=4,点 P 在边 BC 上,

?

的最小值为 ﹣1 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用.

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分析:

本题可利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边,建立平面直角坐标系,设出动点 P 的坐标,将

?



化为二次函数在区间上的值域,研究二次函数,得到本题结论. 解答: 解:∵在△ ABC 中,已知 AB=AC, ∴取 BC 中点 O 建立如图所示的平面直角坐标系.

∵BC=4, ∴B(﹣2,0) ,C(2,0) . 设 A(0,b) ,P(x,0) , (﹣2≤x≤2) . ∴ ∴ ? ,
2


2

=﹣x(2﹣x)=x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1≥﹣1.

当且仅当 x=1 时,取最小值. ∴ ? 的最小值为﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算,解题时要注意变量 x 的取值范围,本题思维难度不大,属于基础题, 14. (3 分)已知函数 f(x)=x(2+a|x|) ,且关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解集为 A,若[﹣ , ]?A,则实 数 a 的取值范围是 (﹣1,0) . 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 通过讨论 x 的范围,得出函数的表达式,通过讨论 a 的范围,结合二次函数的性质,从而得出 a 的范围. 解答: 2 2 解:当 x≥0 时,f(x)=ax +2x=a(x+ ) ﹣ ,
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当 x<0 时,g(x)=﹣ax +2x=﹣a(x﹣ ) + , 当 a=0 时,A 是空集,舍去, 当 a>0 时,二次函数 f(x)开口向上,对称轴 x=﹣ ,f(x)在 x≥0 上是增函数,A 是空集, 二次函数 g(x)开口向下,对称轴 x= ,g(x)在 x<0 上是增函数,A 是空集, 当 a<0 时,二次函数 f(x)开口向下,在[0,﹣ ]上是增函数,在( ,+∞)上是减函数, 二次函数 g(x)开口向上,在(﹣∞, ]上是减函数,在( ,0)上是增函数, ∴a<0 时,A 非空集,

2

2

对于任意的 x 属于[﹣ , ],f(x+a)<f(x)成立. 当 x≤0 时,g(x+a)<g(x)=g( ﹣x)≤0,由 g(x)区间单调性知, x+a<x 且 x+a> ﹣x,解得,﹣1<a<0 当 x>0 时, <﹣ ,函数 f(x)在单调增区间内满足 f(x+a)<f(x) , ∴a 的取值范围为,﹣1<a<0, 故答案为: (﹣1,0) . 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了二次函数的性质,考查分类讨论思想,是一道中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,满分 58 分,请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15. (8 分)已知向量 =(2,1) , =(1,﹣2) . (1)求( + )?(2 ﹣ )的值; (2)求向量 与 + 的夹角.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)运用向量的数量积的坐标运算求解, (2)求出数量积,运用夹角公式求解,先求余弦值,再求角. 解答: 解;∵(1) =(2,1) , =(1,﹣2)
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∴ + =(3,﹣1) ,2 ﹣ )=(3,4) , ( + )?(2 ﹣ )=3×3+(﹣1)×4=5, (2)向量 与 + 的夹角为 θ, ?( + )=2×3+1×(﹣1)=5, | |= ,| + |= = , , ,

∴cosθ=

∵θ∈[0,π],∴θ=

点评: 本题考查了向量的坐标运算,运用求数量积,夹角,模等问题,较容易的题.

16. (8 分)已知 tanα=3,π<α< (1)求 cosα 的值 (2)求 sin(



+α)+sin(π+α)的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由 tanα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值即可; (2)由 cosα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinα 的值,原式利用诱导公式变形后 将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵tanα=3,π<α< ,
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∴cosα=﹣

=﹣



(2)∵cosα=﹣ ∴sinα=﹣ 则原式=cosα﹣sinα=

,π<α< =﹣ .

, ,

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,以及诱导公式的作用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

17. (10 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调增区间; (3)若 x∈[﹣ ,0],求函数 f(x)的值域.

)的图象如图所示.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数的解析式.
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(2)令 2kπ﹣ (3)由 x∈[﹣ 解答:

≤2x+

≤2kπ+

,k∈z,求得 x 的范围,可得函数的增区间.

,0],利用正弦函数的定义域和值域求得 f(x)的值域. = ﹣ ,求得 ω=2. ) .

解: (1)由函数的图象可得 A=2, T= ? 再根据五点法作图可得 2× (2)令 2kπ﹣ ≤2x+ +φ= ,∴φ=

,故 f(x)=2sin(2x+ ≤x≤kπ+ ,

≤2kπ+ ,kπ+

,k∈z,求得 kπ﹣ ],k∈z.

故函数的增区间为[kπ﹣

(3)若 x∈[﹣

,0],则 2x+

∈[﹣



],∴sin(2x+

)∈[﹣1, ],

故 f(x)∈[﹣2,1]. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值 域,属于基础题. 18. (10 分)如图,在?ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠DAB=60°,M 为 DC 的中点. (1)求 (2)设 ? =λ 的值; ,若 AC⊥DP,求实数 λ 的值.

考点: 平面向量数量积的运算;向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)设 , ,可得 = .再利用向量的三角形法则、数量积运算即可得出;
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(2)利用向量的三角形法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解: (1)设 = ∴ ? = = , = =0, =0, , = =﹣ , , = . ,∴ = . = =﹣ . = =1.

(2) ∵ ∴ 化为

∴﹣1+(λ﹣1)×1+4λ=0, 解得 λ= . 点评: 本题考查了向量的三角形法则、向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 19. (10 分)用一根长为 10m 的绳索围成一个圆心角为 α(0<α<π) ,半径不超过 2m 的扇形场地,设扇形的半径 2 为 x m,面积为 S m . (1)写出 S 关于 x 的表达式,并求出此函数的定义域 (2)当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的面积 S 最大,并求最大面积. 考点: 扇形面积公式;基本不等式. 专题: 三角函数的求值.

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分析: (1)直接利用扇形的周长公式以及面积公式写出 S 关于 x 的表达式,并求出此函数的定义域. (2)利用二次函数的单调性求出当半径 x 和圆心角 α 分别是多少时,所围成的扇形场地的面积 S 最大,直 接求最大面积. 解答: 解: (1)扇形的半径为 x m,扇形的周长 10m, 扇形的弧长为:10﹣2x,m ∴S= (10﹣2x)x=﹣x +5x,x∈( (2)∵S=﹣x +5x,x∈(
2 2

]. ]上是增函数,

].函数 S 在 x∈(

∴x=2 时扇形面积最大,此时扇形的圆心角: =3, 扇形面积的最大值为:6m . 点评: 本题考查扇形面积公式以及周长公式的应用,二次函数的最大值的求法. 20. (12 分)已知 M 是所有同时满足下列两个性质的函数 f(x)的集合: ①函数 f(x)在其定义域上是单调函数; ②在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b.请解答以下问题 (1)判断函数 g(x)=﹣x (x∈[0,+∞) )是否属于集合 M?若是,请求出相应的区间[a,b];若不是,请说明理 由. (2)证明函数 f(x)=3log2x 属于集合 M; (3)若函数 f(x)= 属于集合 M,求实数 m 的取值范围.
2 2

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: (1) 利用函数的单调性定义推导函数是否单调, 然后假设满足条件②,利用单调性求最值,进行推导; ( 2) 先单调性可以利用定义法证明函数的单调性,然后数形结合,利用根的存在性定理说明存在性; (3)函数 在定义域 R 上连续,利用函数的性质证明单调,然后假设属于 M,求 m 范围. 解答: 解: (1)设 x1,x2∈[0,+∞) ,且 x1<x2 则
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g(x1)﹣g(x2)=﹣x

+x

=(x2+x1) (x2﹣x1) ,

∵x1,x2∈[0,+∞) ,x1<x2, ∴x2+x1>0,x2﹣x1>0, ∴(x2+x1) (x2﹣x1)>0, 即 g(x1)﹣g(x2)>0, g(x1)>g(x2) , 2 函数 g(x)=﹣x (x∈[0,+∞) )在其定义域上是单调递减,满足①; 假设函数 g(x)∈M,则存在区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b. 2 又由①可知函数 g(x)=﹣x (x∈[0,+∞) )在其定义域上是单调递减, 则函数 g(x)在其[a,b]上是单调递减,



满足条件的解不存在,
2

则假设不成立,函数 g(x)=﹣x (x∈[0,+∞) )不属于集合 M. (2)证明:函数 f(x)=3log2x 定义域为{x|x>0}, 设 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2 则

f(x1)﹣f(x2)=3log2x1﹣3log2x2=3log2 ∵x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2, ∴ <1,



∴3log2

<0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , 函数 f(x)=3log2x 在其定义域上是单调递增. 假设 f(x)∈M,在函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b],使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值 是 b, 则 ,令 g(x)=2 ﹣x,则有 g(1)>0,g(3)<0,g(9)<0,g(12)>0,如右图

存在 1<a<3,9<b<12,使得 g(a)=0,g(b)=0, 也就是函数 f(x)的定义域内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上的最小值是 a,最大值是 b 综上,函数 f(x)=3log2x 属于集合 M 得证. (3)m=0 时,函数 f(x)=0,不属于 M,则 m≠0

f(x)的定义域为 R,函数 f(x)=

=

当 m>0 时,f(x)分别在(﹣∞,0)和(0,+∞)上单调递增,且?x<0,f(x)<0,?x>0,f(x)>0, 则 f(x)在 R 上单调递增, 同理可证当 m<0 时,f(x)在 R 上单调递减,则函数在定义域上为单调函数. 若函数 f(x)= 属于集合 M,则在函数 f(x)的定义域 R 内存在闭区间[a,b]使得 f(x)在[a,b]上

的最小值是 a,最大值是 b. 即方程数 =x 有两个不等实根,也就是 =1,则 m=1+|x|≥1

综上,m≥1 点评: 本题新定义题,注意条件的使用,在(2)中转化为函数后,使用根的存在性定理判断,降低计算难度.


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