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浙江省绍兴市诸暨市海亮高中2015-2016学年高三(上)期中数学试卷(文科)

浙江省绍兴市诸暨市海亮高中 2015-2016 学年高三(上)期中数 学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 2 1.已知全集为 R,集合 A={x|x≥0},B={x|x ﹣6x+8≤0},则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 2.设 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,以下命题正确的是( A.若 m⊥α,l⊥m,则 l∥α B.若 α∥β,l∥α,m?β,则 l∥m C.若 α∥β,l⊥α,m∥β,则 l⊥m D.若 α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则 m⊥β
2



3.设命题 p:?x∈R,x ﹣4x+2m≥0(其中 m 为常数)则“m≥1”是“命题 p 为真命题”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )



A.3π

B.4π

C.2π+4 D.3π+4 ) ,若将它的图象向右平移 ) 个单位,得到函数 g(x)的图象,

5.已知 f(x)=2sin(2x+

则函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为( A.x= B.x= C.x= D.x=

6.设函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是减函数,则 g (x)=loga(x+k)的图象是( )

x

﹣x

A.

B.

C.

D.

7.已知变量 x,y 满足

,则 z=3x+y 的最大值为(



A.4

B.5

C.6

D.7

8.设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小值为 1. ( A.若 θ 确定,则| |唯一确定 C.若| |确定,则 θ 唯一确定 B.若 θ 确定,则| |唯一确定 D.若| |确定,则 θ 唯一确定



二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9. 已知 = . 且 , 则 cosα= ,

10.已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 区间是 .

的最小正周期是

,单调递减

11.设

=(1,﹣2) ,

=(a,﹣1) ,

=(﹣b,0) ) , (a>0,b>0,O 为坐标原点) ,若 + 的最小值是 .

A,B,C 三点共线,则 a 与 b 的关系式为

12.在等差数列{an}中,已知 a1>0,前 n 项和为 Sn,且有 S3=S11,则 Sn 取得最大值时,n= .

=

,当

13.已知 f(x)= 围是 .

,若 f(f(t) )∈[0,1],则实数 t 的取值范

14.已知 =



是平面单位向量, .

?

= ,若平面向量 满足

,则

15.定义 max 则 z 的取值范围是 .

,已知实数 x,y 满足 x +y ≤1,设 z=max{x+y,2x﹣y},

2

2

三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 cosA= ,且△ ABC 的面积为 ,试求 sinC 和 a 的值. = .

17.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=42,a8=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= 数列; +λ(λ∈R) ,则是否存在这样的实数 λ 使得{bn}为等比

(3)数列{cn}满足{cn}=

,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 T2n.

18.已知四棱锥 P﹣ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=BC=PC=PD=1,∠APD=90°. (1)求证:AC⊥平面 PCD; (2)求 CD 与平面 APD 所成角的正弦值.

19.设函数 f(x)=x +ax+b, (a,b∈R) . (Ⅰ)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[﹣1,1]上的最小值 g(a)的表达式;

2

(Ⅱ)若 b=a+1 且函数 f(x)在[﹣1,1]上存在两个不同零点,试求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 b=a+1 且函数 f(x)在[﹣1,1]上存在一个零点,试求实数 a 的取值范围. 20.已知函数 f(x)=x ﹣|ax+1|,a∈R. (Ⅰ)若 a=﹣2,且存在互不相同的实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(xi)=m(i=1,2,3,4) ,求 实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)在[1,2]上单调递增,求实数 a 的取值范围.
2

2015-2016 学年浙江省绍兴市诸暨市海亮高中高三(上) 期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 2 1.已知全集为 R,集合 A={x|x≥0},B={x|x ﹣6x+8≤0},则 A∩?RB=( ) A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合. 【分析】求出集合 B,根据集合的基本运算即可得到结论. 2 【解答】解:∵A={x|x≥0},B={x|x ﹣6x+8≤0}=x{|2≤x≤4} ∴?RB={x|x>4 或 x<2}, ∴A∩(?RB)={x|0≤x<2 或 x>4} 故选:C 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.设 l,m 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,以下命题正确的是( ) A.若 m⊥α,l⊥m,则 l∥α B.若 α∥β,l∥α,m?β,则 l∥m C.若 α∥β,l⊥α,m∥β,则 l⊥m D.若 α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则 m⊥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】根据线面垂直与线线垂直之间的联系,得 A 项中有可能 l?α,故不正确;根据面面 平行、线面平行与线线平行之间的联系,得 B 选项不正确;根据平面平行与线面垂直之间的 联系,得 C 选项正确;根据面面垂直的性质,得 D 选项不正确. 【解答】解:对于 A,因为 m⊥α,l⊥m,则 l?α 或 l∥α,故 A 不正确; 对于 B,α∥β,l∥α,可得 l∥β 或 l?β,再结合 m?β,得 l 与 m 平行、相交或异面都有可能, 故 B 不正确; 对于 C,α∥β,l⊥α,可得 l⊥β,结合 m∥β,可得 l⊥m,故 C 正确; 对于 D,若 α⊥β,α∩β=l,若 m?α 且 m⊥l,则 m⊥β,但条件中少了 m?α,故 D 不正确. 故答案为:C 【点评】本题给出几个空间位置关系的命题,叫我们找到其中的真命题,着重考查了空间的 线面、面面和线线平行、垂直位置关系的判断及其内在联系等知识,属于基础题. 3.设命题 p:?x∈R,x ﹣4x+2m≥0(其中 m 为常数)则“m≥1”是“命题 p 为真命题”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据二次函数的性质先判断出命题 p 为真命题时的充要条件,结合集合的包含关系 判断即可.
2

【解答】解:若 p:?x∈R,x ﹣4x+2m≥0(其中 m 为常数) , 则△ =16﹣8m≤0,解得:m≥2, 则“m≥1”是“命题 p 为真命题”的必要不充分条件, 故选:B. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查二次函数的性质,是一道基础题. 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

2

A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体的一部分,利用图中数据求出它的表 面积. 【解答】解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是圆柱体的一半, ∴该几何体的表面积为 S 几何体=π?1 +π×1×2+2×2 =3π+4. 故选:D. 【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题,是基础题目.
2

5.已知 f(x)=2sin(2x+

) ,若将它的图象向右平移 )

个单位,得到函数 g(x)的图象,

则函数 g(x)图象的一条对称轴的方程为( A.x= B.x= C.x= D.x=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,可得结论. 【解答】解:f(x)=2sin(2x+ 得到函数 g(x)=2sin[2(x﹣ 令 2x﹣ =kπ+ ) ,若将它的图象向右平移 )+ )]=2sin(2x﹣ + 个单位,

)的图象, ,

,k∈z,求得 x=

,故函数的图象的一条对称轴的方程为 x=

故选:C. 【点评】本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基 础题. 6.设函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是减函数,则 g (x)=loga(x+k)的图象是( )
x
﹣x

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数, 则由复合函数的性质,我们可得 k=1,0<a<1,由此不难判断函数的图象. 【解答】解:∵函数 f(x)=ka ﹣a , (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1) (a ﹣a )=0 则 k=1 又∵f(x)=a ﹣ka (a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上是减函数 则 0<a<1, 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为减函数 故选:D. 【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函 数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公 共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

x

﹣x

7.已知变量 x,y 满足

,则 z=3x+y 的最大值为(



A.4 B.5 C.6 D.7 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=3x+y 表示直线在 y 轴上的 截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可.

【解答】

解:作图

易知可行域为一个三角形, 其三个顶点为 A(2,1) , (1,0) , (1,3) , 验证知在点 A(2,1)时取得最大值, 当直线 z=3x+y 过点 A(2,1)时,z 最大是 7, 故选 D. 【点评】本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义 求最值,属于基础题.

8.设 θ 为两个非零向量 , 的夹角,已知对任意实数 t,| +t |的最小值为 1. ( A.若 θ 确定,则| |唯一确定 C.若| |确定,则 θ 唯一确定 B.若 θ 确定,则| |唯一确定 D.若| |确定,则 θ 唯一确定



【考点】平面向量数量积的运算;零向量;数量积表示两个向量的夹角. 【专题】平面向量及应用. 【分析】由题意可得( +t ) = 数可知当 t=﹣ 可得结论. 【解答】解:由题意可得( +t ) = 令 g(t)= 可得△ =4 +2 t+ ﹣4 =4 cos θ﹣4
2 2 2

+2

t+

,令 g(t)=

+2

t+
2

,由二次函

=﹣

cosθ 时,g(t)取最小值 1.变形可得

sin θ=1,综合选项

+2

t+

≤0

由二次函数的性质可知 g(t)≥0 恒成立 ∴当 t=﹣ =﹣ cosθ 时,g(t)取最小值 1.

即 g(﹣

cosθ)=﹣

+

=

sin θ=1

2

故当 θ 唯一确定时,| |唯一确定, 故选:B 【点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及二次函数的最值,属中档题. 二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9.已知 且 ,则 cosα= ﹣ , =

﹣7 . 【考点】两角和与差的余弦函数;二倍角的正切. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式,求得要求式 子的值. 【解答】解:∵已知 则 cosα=﹣ 再根据 tanα= =﹣ . =﹣ ,可得 = =﹣7, =cos( ﹣α)=sinα,且 ,

故答案为:﹣ ;﹣7. 【点评】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式,属于基础 题.

10.已知函数 f(x)=2sinxcosx+2 [kπ+ ,kπ+ ],k∈Z .

的最小正周期是 π ,单调递减区间是

【考点】三角函数的周期性及其求法;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性和单调性, 求得 f(x)的周期性和单调减区间. 【解答】解:函数 f(x)=2sinxcosx+2 故它的最小正周期为 令 2kπ+ k∈Z, 故答案为:π,[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. ≤2x+ ≤2kπ+ =π. , 求得 kπ+ ≤x≤kπ+ , 故函数的减区间为[kπ+ , kπ+ ], =sin2x+ cos2x=2sin(2x+ ) ,

【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性和单调性,属于基础题.

11.设

=(1,﹣2) ,

=(a,﹣1) ,

=(﹣b,0) ) , (a>0,b>0,O 为坐标原点) ,若 + 的最小值是 8 .

A,B,C 三点共线,则 a 与 b 的关系式为 2a+b=1

【考点】基本不等式;平行向量与共线向量;三点共线. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量共线定理可得:2a+b=1,再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解: ∵A,B,C 三点共线, ∴存在实数 k 使得 ∴ 化为 2a+b=1. ∵a,b>0, ∴ + =(2a+b) =4+ =8,当且仅当 b=2a= 时取等号. , , =(a﹣1,1) , =(﹣b﹣1,2) .

故答案分别为:2a+b=1,8. 【点评】本题考查了向量共线定理、“乘 1 法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

12.在等差数列{an}中,已知 a1>0,前 n 项和为 Sn,且有 S3=S11,则

=

,当 Sn

取得最大值时,n= 7 . 【考点】等差数列的前 n 项和. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得 a4+a5+…+a11=0,即 a7+a8=0.可得数列{an}的前 7 项均为正数,从第 8 项 开始为负值,则答案可求. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 S3=S11,得 a4+a5+…+a11=0, ∴a7+a8=0. 则 2a1+13d=0,即 ;

再由 a7+a8=0. 可知数列{an}的前 7 项为正,自第 8 项起为负, ∴当 Sn 取得最大值时,n=7. 故答案为: .

【点评】本题考查等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题.

13.已知 f(x)=

,若 f(f(t) )∈[0,1],则实数 t 的取值范

围是 [log32,1] . 【考点】分段函数的应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】通过 t 的范围,求出 f(t)的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数,通过 函数的值域求出 t 的范围即可. t 【解答】解:当 t∈(0,1],所以 f(t)=3 ∈(1,3], 又函数 f(x)=
t



则 f(f(t)=log2(3 ﹣1) , 因为 f(f(t) )∈[0,1], t t 所以 0≤log2(3 ﹣1)≤1,即 1≤3 ﹣1≤2, 解得:log32≤t≤1, 则实数 t 的取值范围[log32,1]; 当 1<t≤3 时,f(t)=log2(t﹣1)∈(﹣∞,1], 由于 f(f(t) )∈[0,1], 即有 0≤ 解得 1<t≤2. 此时 f(t)=log2(t﹣1)≤0,f(f(t) )不存在. 综上可得 t 的取值范围为[log32,1]. 故答案为:[log32,1]. 【点评】本题考查分段函数的综合应用,指数与对数不等式的解法,函数的定义域与函数的 值域,考查计算能力,属于中档题和易错题. ≤1,

14.已知 =

, .

是平面单位向量,

?

= ,若平面向量 满足

,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;方程思想;向量法;构造法;平面向量及应用. 【分析】设 =λ1 +λ2 ,从而结合题意可得 λ1+ λ2=2, λ1+λ2= ;从而解得. +λ2 )? ,

【解答】解:设 =λ1 故 ? =(λ1 +λ2

=λ1+ λ2=2, ? =(λ1 +λ2 )?

= λ1+λ2= , 解得,λ1=1,λ2=2; 故 ? =(λ1
2 2

+λ2

)?(λ1

+ λ2



=λ1 +λ2 +2λ1λ2? =7, 故 = ,

故答案为: . 【点评】本题考查了平面向量的基本定理的应用及数量积的应用.

15.定义 max

,已知实数 x,y 满足 x +y ≤1,设 z=max{x+y,2x﹣y},

2

2

则 z 的取值范围是 [



] .

【考点】不等式比较大小. 【专题】作图题;数形结合;数形结合法;不等式. 2 2 【分析】直线为 AB 将约束条件 x +y ≤1,所确定的平面区域分为两部分,如图,令 z1=x+y, 点(x,y)在在半圆 ACB 上及其内部;令 z2=2x﹣y,点(x,y)在四边在半圆 ADB 上及其 内部(除 AB 边)求得,将这两个范围取并集,即为所求. 【解答】解: (x+y)﹣(2x﹣y)=﹣x+2y,设方程﹣x+2y=0 对应的直线为 AB, ∴Z=
2 2



直线为 AB 将约束条件 x +y ≤1,所确定的平面区域分为两部分,令 z1=x+y,点(x,y)在 半圆 ACB 上及其内部, 如图求得﹣ ≤z1≤ ;

令 z2=2x﹣y,点(x,y)在半圆 ADB 上及其内部(除 AB 边) ,求得﹣

≤z2≤



如图

综上可知,z 的取值范围为[﹣ 故答案为:[﹣ , ]



];

【点评】本题考查不等关系与不等式,简单的线性规划问题的解法,体现了数形结合的数学 思想.画出图形,是解题的关键. 三、解答题(本大题共 5 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.设△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ)求角 B; (Ⅱ)若 cosA= ,且△ ABC 的面积为 ,试求 sinC 和 a 的值. = .

【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】 (Ⅰ) 利用三角形内角和定理可得 = . 由正弦定理可得 a +c ﹣b =ac,
2 2 2

由余弦定理可得 cosB= ,结合范围 B∈(0,π)可得 B 的值. (Ⅱ)由 cosA= ,可求 sinA= ,利用 sinC=sin(A+B)可求 sinC 的值,利用三角形面积

公式可求 ab=6,①,又由正弦定理,比例性质可求 3a=2b,②联立即可得解 a 的值. 【解答】 (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ ∴由正弦定理可得: = = .
2 2 2

,整理可得:a +c ﹣b =ac,

∴由余弦定理可得:cosB= ∴由 B∈(0,π) ,可得:B=

= .…..(6 分)

= ,

(Ⅱ)∵cosA= ∴可得:sinA=

, , = .

∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∵△ABC 的面积为 = =

,可解得:ab=6,①

又∵

=

= ,整理可得:3a=2b,②

∴由①②解得:a=2.…(14 分) 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,比例 性质的应用,考查了转化思想和计算能力,属于中档题. 17.在等差数列{an}中,a3+a4+a5=42,a8=30. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn= 数列; +λ(λ∈R) ,则是否存在这样的实数 λ 使得{bn}为等比

(3)数列{cn}满足{cn}=

,Tn 为数列{cn}的前 n 项和,求 T2n.

【考点】数列的求和;等比数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)首先,结合{an}是一个等差数列,所以 a3+a4+a5=3a4=42,得到 a4=14.然后,可 以设数列{an}的公差为 d,则 4d=a8﹣a4=16,得到 d=4,从而得到 an=a4+(n﹣4)d=4n﹣2; 2 (2)依据 bn+1 =bn?bn+2,建立等式进行求解即可; (3)利用裂项分组求和法,进行求解其和. 【解答】解: (1)因为{an}是一个等差数列,所以 a3+a4+a5=3a4=42, ∴a4=14. 设数列{an}的公差为 d,则 4d=a8﹣a4=16, 故 d=4, ∴an=a4+(n﹣4)d=4n﹣2, ∴数列{an}的通项公式 an=4n﹣2. (2)bn=bn= +λ=9 +λ,
2 n

假设存在这样的 λ 使得{bn}为等比数列,则 bn+1 =bn?bn+2, n+1 2 n n+2 即(9 +λ) =(9 +λ)?(9 +λ) , 整理可得 λ=0.即存在 λ=0,使得{bn}为等比数列.…(7 分)

(3)∵{cn}=
2


4 2n﹣2

∴T2n=1+(2×2﹣3)+2 +(2×4﹣3)+2 +…+2 2 4 2n﹣2 =1+2 +2 +…+2 +4(1+2+…+n)﹣3n =

+(2×2n﹣3)

=



∴T2n=



【点评】本题重点考查了等差数列的概念和性质、数列求和、等比数列的概念和求和等知识, 属于中档题. 18.已知四棱锥 P﹣ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=BC=PC=PD=1,∠APD=90°. (1)求证:AC⊥平面 PCD; (2)求 CD 与平面 APD 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)根据已知条件,取 AD 中点 E,连接 CE,容易得到 CE⊥AD,从而便可得到 CD=AC= ,AD=2,所以 AC⊥CD,同样通过已知条件 PA= ,PC=1,AC= ,从而得到 AC⊥PC,从而得出 AC⊥平面 PCD; (2)容易说明 PD⊥平面 PAC,从而得到平面 PAD⊥平面 PAC,然后作 CN⊥PA,连接 DN, 从而便得到∠CDN 是 CD 和平面 PAD 所成的角,要求这个角的正弦值,只需求出 CN:在 Rt△ PAC 中,由面积相等即可求出 CN,CD 前面已求出,从而可得出 【解答】解: (1)证明:AB⊥BC,AB=BC=1; ∴ ; AD=2,PD=1,∠APD=90°; ∴AP= ,又 PC=1; 2 2 2 ∴AC +PC =AP ; ∴AC⊥PC; 如图,取 AD 中点 E,连接 CE; .

AD∥BC,∴CE⊥AD,CE=1; ∴CD= ,AD=2; ∴AC⊥CD,CD∩PC=C; ∴AC⊥平面 PCD; (2)PC=PD=1,CD= ; ∴PD⊥PC; ∠APD=90°,∴PD⊥PA,PA∩PC=P; ∴PD⊥平面 PAC,PD?平面 PAD; ∴平面 PAC⊥平面 PAD; ∴过 C 作 CN⊥PA,并交 PA 于 N,连接 DN,则: CN⊥平面 PAD,∠CDN 便是直线 CD 与平面 APD 所成角; 在 Rt△ PAC 中,AC= ,PC=1,PA= ; ∴ ; ∴ ,CD= ; ; .

∴sin∠CDN=

∴CD 与平面 APD 所成角的正弦值为

【点评】考查直角三角形边的关系,等腰三角形底边上的中线也是高线,线面垂直的判定定 理,以及面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理,直线与平面所成角的概念及找法. 19.设函数 f(x)=x +ax+b, (a,b∈R) . (Ⅰ)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[﹣1,1]上的最小值 g(a)的表达式;
2

(Ⅱ)若 b=a+1 且函数 f(x)在[﹣1,1]上存在两个不同零点,试求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 b=a+1 且函数 f(x)在[﹣1,1]上存在一个零点,试求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的最值及其几何意义;二次函数的性质. 【专题】分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)求出二次函数的对称轴方程,讨论对称轴和区间[﹣1,1]的关系,运用函数的 单调性即可得到最小值; (Ⅱ)求出 f(x)的对称轴方程,由题意可得 f(x)=0 在[﹣1,1]有两个不等的实根,即有 △ >0,f(﹣1)≥0,f(1)≥0,﹣1<﹣ <1,解不等式即可得到所求范围;

(Ⅲ)由题意可得 f(x)=0 在[﹣1,1]有一个实根,即有△ =a ﹣4(a+1)=0,或 f(﹣1)f (1)≤0,解不等式可得所求范围,注意检验等号成立的条件. 【解答】解: (Ⅰ)当 b= 对称轴为 x=﹣ , 当 a≤﹣2 时,函数 f(x)在[﹣1,1]上递减,则 g(a)=f(1)= 当﹣2<a≤2 时,即有﹣1≤﹣ <1,则 g(a)=f(﹣ )=1; 当 a>2 时,函数 f(x)在[﹣1,1]上递增,则 g(a)=f(﹣1)= ﹣a+2. +a+2; +1 时,f(x)=(x+ ) +1,
2

2

综上可得,g(a)=



(Ⅱ)函数 f(x)=x +ax+a+1,对称轴为 x=﹣ , 由题意可得 f(x)=0 在[﹣1,1]有两个不等的实根,

2

即有

即有



解得﹣1≤a<2﹣2 ; 2 (Ⅲ)函数 f(x)=x +ax+a+1, 由题意可得 f(x)=0 在[﹣1,1]有一个实根, 即有△ =a ﹣4(a+1)=0,或 f(﹣1)f(1)≤0, 解得 a=2 ,或 a≤﹣1, 当 a=2 ,f(x)=0,可得 x=﹣(1+ ) (舍去) , 或﹣1+ ∈[﹣1,1]; 2 当 a=﹣1 时,f(x)=x ﹣x=0,解得 x=0 或 1(舍去) , 综上可得 a 的范围是 a<﹣1 或 a=2﹣2 . 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法,同时考查二次方程和函数的零点的关 系,注意分类讨论的思想方法的运用,属于中档题. 20.已知函数 f(x)=x ﹣|ax+1|,a∈R. (Ⅰ)若 a=﹣2,且存在互不相同的实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(xi)=m(i=1,2,3,4) ,求 实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f(x)在[1,2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 【考点】分段函数的应用;二次函数的性质.
2 2

【专题】数形结合;分类讨论;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)求出 a=﹣2 的 f(x)解析式,画出 f(x)的图象,要使得有四个不相等的实数 根满足 f(x)=m,即函数 y=m 与 y=f(x)的图象有四个不同的交点,观察图象可得; (Ⅱ)对 a 讨论, (1)若 a=0, (2)若 a>0, (3)若 a<0,运用二次函数的图象,讨论对称 轴和区间的关系,根据单调性即可求得 a 的范围.
2

【解答】解: (Ⅰ)若 a=﹣2,则 f(x)=x ﹣|﹣2x+1|=



当x

时,f(x)min=f(﹣1)=﹣2;当 x

时,f(x)min=f(1)=0,

f( )= ,此时,f(x)的图象如图所示. 要使得有四个不相等的实数根满足 f(x)=m, 即函数 y=m 与 y=f(x)的图象有四个不同的交点, 因此 m 的取值范围为(0, ) ; (Ⅱ) (1)若 a=0,则 f(x)=x ﹣1,在[1,2]上单调递增,满足条件;
2

(2)若 a>0,则 f(x)=

,只需考虑 x

的情况.

此时 f(x)的对称轴为 x= ,因此,只需 ≤1,即 0<a≤2,

(3)若 a<0,则 f(x)=



结合函数图象,有以下情况: 当﹣ ≤ ,即﹣ ≤a<0 时,此时 f(x)在[ )内单调递增,

因此在[1,2]内也单调递增,满足条件; 当﹣ >﹣ ,即 a<﹣ 时,f(x)在[ ,﹣ ]和[﹣ ; )内均单调递增,

如图所示,只需﹣ ≥2 或﹣ ≤1,解得:﹣2≤a<﹣

即有 a 的取值范围为﹣2≤a<0, 由(1) 、 (2) 、 (3)得,实数 a 的取值范围为﹣2≤a≤2.

【点评】本题考查分段函数的图象和应用,主要考查二次函数的图象和性质,注意对称轴和 区间的关系,运用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键.


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