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三年高考第5章 导数及其应用


2010 年各省高考题汇编
一、选择题: 选择题 1. (2010 年高考山东卷文科 8)已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单 位:万件)的函数关系式为 y = ? 产量为 A.13 万件 【答案】 C 答案】
' 2 ' 2 【解析】令导数 y = ? x + 81 > 0 ,解得 0 < x < 9 ;令导数 y = ? x + 81 < 0 ,解得 x > 9 , 解析】

1 3 x + 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年 3
( )

B.11 万件

C. 9 万件

D.7 万件

所以函数 y = ?

1 3 x + 81x ? 234 在区间 (0, 9) 上是增函数,在区间 (9, +∞) 上是减函数,所 3

以在 x = 9 处取极大值,也是最大值,故选 C。 【命题意图】本题考查导数在实际问题中的应用,属基础题。 命题意图】 2. . (2010 年高考山东卷文科 10)观察 ( x 2 ) ' = 2 x , ( x 4 )' = 4 x 3 , (cos x ) ' = ? sin x ,由归纳 推理可得:若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) = f ( x ) ,记 g ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,则

g (? x) =
A. f ( x ) 【答案】 D 答案】 B. ? f ( x) C. g ( x ) D. ? g ( x )

(

)

【解析】 解析】由给出的例子可以归纳推理得出:若函数 f ( x ) 是偶函数,则它的导函数是奇函数, 因为定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) = f ( x ) ,即函数 f ( x ) 是偶函数,所以它的导函数 是奇函数,即有 g ( ? x ) = ? g ( x ) ,故选 D。 【命题意图】本题考查函数、归纳推理等基础知识,考查同学们类比归纳的能力。 命题意图】 3.(2010 年高考江西卷文科 4)若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ,则 f '( ?1) = . A. ?1 B. ?2 C.2 D.0

【答案】 B 答案】 【命题意图】本题考查函数与导数。 命题意图】
' 3 ' ' 【解析】 f ( x ) = 4ax + 2bx, 则此函数为奇函数,所以 f ( ?1) = ? f (1) = ?2 。 解析】

4. . (2010 年高考辽宁卷文科 12)已知点 P 在曲线 y = 的倾斜角,则 α 的取值范围是 A. [0,

4 上, α 为曲线在点 P 处的切线 e +1
x

( C. (

)

π
4

)

B. [

π π

, ) 4 2

π 3π
2 , 4

]

D.

[

3π ,π ) 4

【答案】 D 答案】 【解析】 y′ = ? 解析】

4e x 4 1 =? ,Q e x + x ≥ 2,∴?1 ≤ y′ < 0 , 2x x 1 e + 2e + 1 e ex + 2 + x e 3π 即 ?1 ≤ tan α < 0 ,∴α ∈ [ , π ) 4


5. (2010 年高考宁夏卷文科 4)曲线 y = x 2 ? 2 x + 1 在点(1,0)处的切线方程为( A. y = x ? 1 C. y = 2 x ? 2 【答案】 A 答案】
2 【解析】 y′ = 3 x ? 2 ,所以 k = y′ 解析

B. y = ? x + 1 D. y = ?2 x + 2

x =1

= 1 ,所以选 A.

6. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 7)若曲线 y = x 2 + ax + b 在点 (0, b) 处的切线方程是

x ? y + 1 = 0 ,则
A. a = 1, b = 1 C. a = 1, b = ?1 【答案】 A 答案】 【解析】本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 解析】 ∵ B. a = ?1, b = 1 D. a = ?1, b = ?1

(

)

y′ = 2 x + a

x=0

=a

,∴ a = 1 , (0, b) 在切线 x ? y + 1 = 0 ,∴ b = 1

二、解答题: 解答题: 1. (2010 年高考山东卷文科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax +

1? a ? 1(a ∈ R ) x

(1)当 a = ?1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 a ≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

本小题主要考查导数的概念、 导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力, 【命题意图】 命题意图】

考查分类讨论思想、数形 结合思想和等价变换思想。 (1) 当 a = ?1时,f ( x) = ln x + x + 【解析 1】解: 所以

2 ? 1, x ∈ (0,+∞), x

f ' ( x)

= 因此, f(2) 1,
即 曲线 y = f ( x)在点(2,f ( 2))处的切线斜率为1, . …………………… 又

f (2) = ln 2 + 2,

y = f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为y ? (ln 2 + 2) = x ? 2,
所以曲线

即x ? y + ln 2 = 0. 1? a ? 1, x x ∈ (0,+∞) ,

(2)因为

f ( x) = ln x ? ax + f ' ( x) =

所以

1 a ?1 ax 2 ? x + 1 ? a ?a+ 2 =? x x x2

令 【解析 2】

g ( x) = ax 2 ? x + 1 ? a, x ∈ (0,+∞),

(1) 当 a=0 时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞) , 所以 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减

(2) 当 a≠0 时,由 f(x)=0, 即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 g(x)≥0 恒成立,此时 f(x)≤0,函数 f(x)在(0,+∞)

① 当 a=1/2 时,x1= x2, 上单调递减;

② 当 0<a<1/2 时,1/2-1>1>0 x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f(x)<0,函数 f(x)单调递减 x∈(1,1/a-1)时,g(x)>0,此时 f(x)<o,函数 f(x)单调递减 x∈(1/a-1,+∞)时,g(x )>0,此时 f(x)<o,函数 f(x)单调递减

③ 当 a<0 时,由于 1/a-1<0,

[来源:学。科。网]

x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f (x)<0 函数 f(x)单调递减; x∈(1 ,∞)时,g(x)<0 此时函数 f (x)<0 单调递增。 综上所述: 当 a≤ 0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当 a=1/2 时,函数 f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当 0<a<1/2 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减; 函数 f(x)在(1,1/a -1)上单调递增; 函数 f(x)在(1/a,+ ∞)上单调递减。 2. (2010 年高考天津卷文科 20) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= ax ?
3
,

,

3 2 x + 1( x ∈ R ) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

【命题意图】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等 命题意图】 式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ) 解: a=1 时, (x) x ? 当 f = 【解析】 解析】
3

3 2 x + 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3 x 2 ? 3 x , f’(2)=6. 2

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax 2 ? 3 x = 3 x( ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= 以下分两种情况讨论: (1) 若 0 < a ≤ 2,则
X

1 . a

1 1 ≥ ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2 ? 1 ? ? 1? 0 0 ? ? ,? ? 0, ? ? 2 ? ? 2?
+ 0 极大值 -

f’(x) f(x)

1 ?5 ? a ? ? ? f (? 2 ) > 0, ? 8 > 0, ? ? 1 1? 当 x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? , ? 2 2? ? f ( 1 ) > 0, ? 5 + a > 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 < a ≤ 2 . (2) 若 a>2,则 0 <
X f’(x) f(x)

1 1 < .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2 1 ? 1 ? ? 1? ?1 1? 0 0 ? ? ,? ? 0, ? ? ,? a ? 2 ? ? a? ?a 2?
+ 0 极大值 0 极小值 +

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, 2 ? ? ? 1 1? 当 x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ,解不等式组得 <a<5 2 ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?
或a < ?

2 .因此 2<a<5.综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5. 2

1 ?5 ? a ? > 0, f (? ) > 0, ? ? ? ? 8 ? 1 1? 2 即? 当 x ∈ ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 1 ? 2 2? ? f ( ) > 0, ? 5 + a > 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 < a ≤ 2 . 3. (2010 年高考浙江卷文科 21)(本题满分 15 分)已知函数 f ( x ) = ( x ? a ) 2 (a-b)

(a, b ∈ R, a <b)。
(I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y = f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ≠ x1 , x3 ≠ x2 【证明】存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4 证明】 【分析】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等 分析】 基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识。 【解析】(Ⅰ)当 a=1,b=2 时, 解析】 因为 f’(x)=(x-1)(3x-5)

故 f’(2)=1 f(2)=0, 所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y=x-2 (Ⅱ)证明:因为 f′(x)=3(x-a) (x- 由于 a<b. 故 a<

a + 2b ) , 3

a + 2b . 3

所以 f(x)的两个极值点为 x=a,x= 不妨设 x1=a,x2=

a + 2b , 3

a + 2b . 3

[

因为 x3≠x1,x3≠x2,且 x3 是 f(x)的零点, 故 x3=b.

a + 2b a + 2b -a=2(b- ) , 3 3 1 a + 2b 2a + b x4= (a+ )= , 2 3 3 2a + b a + 2b 所以 a, , ,b 依次成等差数列, 3 3 2a + b 所以存在实数 x4 满足题意,且 x4= . 3
又因为 4.(2010 年高考安徽卷文科 20)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = sin x ? cos x + x + 1 , 0 < x <

π
2

,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。

【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应 命题意图】 用数学知识解决问题的能力. (1)对函数 f ( x ) = sin x ? cos x + x + 1 求导,对导函数用辅助角公式变形, 【解题指导】 解题指导】 利用导数等于 0 得极值点, 通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负, 判断区间的单调 性,求极值.

解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π ,知f, ( x) = 1 + 2sin ( x + ). 4 2 3π π 令f, ( x) = 0,从面sin ( x + ) = ,得x = π ,或x = , 4 2 2 , 当x变化时,f ( x),f(x)变化情况如下表:

π

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,π)与(

3π 3π 3π 单调递增区间是(π , ),极小值为f( )= ,极大值为f(π )=π + 2 2 2 2
【思维总结】对于函数解答题,一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值,利用导数为 0 得可能的极值点,通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性,进而得出极值点. 5. (2010 年高考宁夏卷文科 21)(本小题满分 12 分) ( 设函数 f ( x ) = x e x ? 1 ? ax 2 (Ⅰ)若 a=

3π ,π), 2 2

(

)

1 ,求 f( x ) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f( x ) ≥0,求 a 的取值范围 【解析】 解析】 (Ⅰ) a =

1 1 2 x 时, f ( x ) = x (e ? 1) ? x , f '( x) = e x ? 1 + xe x ? x = (e x ? 1)( x + 1) 。当 2 2

x ∈ ( ?∞, ?1) 时 f '( x) > 0 ;当 x ∈ ( ?1, 0 ) 时, f '( x) < 0 ;当 x ∈ ( 0, +∞ ) 时, f '( x) > 0 。故
f ( x) 在 ( ?∞, ?1) , ( 0, +∞ ) 单调增加,在(-1,0)单调减少。
(Ⅱ) f ( x ) = x ( x a ? 1 ? ax ) 。令 g ( x ) = x a ? 1 ? ax ,则 g '( x ) = e x ? a 。若 a ≤ 1 ,则当

x ∈ ( 0, +∞ ) 时,g '( x) > 0 ,g ( x) 为减函数, g (0) = 0 , 而 从而当 x≥0 时 g ( x ) ≥0, f ( x ) 即
≥0. 若 a > 1, 则当 x ∈ ( 0, ln a ) 时,g '( x ) < 0 ,g ( x ) 为减函数, g (0) = 0 , 而 从而当 x ∈ ( 0, ln a ) 时 g ( x ) <0,即 f ( x ) <0. 综合得 a 的取值范围为 ( ?∞,1] (2010 年高考陕西卷文科 21)(本小题满分 14 分) 6. 已知函数 f(x)= x ,g(x)=alnx,a ∈ R。

(1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切线的 方程; (2) 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时,求其最小值 ? A.的解析式; (3) 对(2)中的 ? A.,证明:当 a ∈ (0,+ ∞ )时, ? A. ≤ 1. 解 (1)f’(x)=

1 2 x

,g’(x)=

a (x>0), x

由已知得

x =alnx,

1 2 x

=

a , x

解德 a=

e ,x=e2, 2 1
切线的斜率为 k=f’(e2)= 2e ,

Q 两条曲线交点的坐标为(e2,e)

1 Q 切线的方程为 y-e= 2e (x- e2).

(2)由条件知

Ⅰ 当 a.>0 时,令 h ' (x)=0,解得 x= 4a , 所以当 0 < x< 4a 时 h ' (x)<0,h(x)在(0, 4a )上递减; 当 x> 4a 时,h ' (x)>0,h(x)在(0, 4a )上递增。 所以 x> 4a 是 h(x)在(0, +∞ )上的唯一极致点,且是极小值点,从而也是 h(x)的最小值 点。 所以 Φ A.=h( 4a )= 2a-aln 4a =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时,h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在(0,+∞)递增,无最小值。 故 h(x) 的最小值 Φ A.的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) (3)由(2)知 Φ A.=2a(1-ln2a) 则 Φ 1(a )=-2ln2a,令 Φ 1(a )=0 解得 a =1/2
2 2 2 2 2 2 2

2

当 当

0<a<1/2 时,Φ 1(a )>0,所以 Φ (a ) 在(0,1/2) 上递增 a>1/2 时, Φ 1(a )<0,所以 Φ(a ) 在 (1/2, +∞)上递减。

所以 Φ(a )在(0, +∞)处取得极大值 Φ(1/2 )=1 因为 Φ(a )在(0, +∞)上有且只有一个极致点,所以 Φ(1/2)=1 也是 ΦA.的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时,总有 ΦA. ≤ 1 7. (2010 年高考湖北卷文科 21) (本小题满分 14 分) 设函数 (x)= x ? f
3

1 3

a 2 x + bx + c ,其中 a>0,曲线 y = (x) f 在点 P(0, (0) f ) 2

处的切线方程为 y=1 (Ⅰ)确定 b、c 的值 (Ⅱ)设曲线 y = (x) f 在点( x1,(x1) f )及( x 2,(x 2) f )处的切线都过点(0,2) 证明:当 x1 ≠ x 2 时, f '( x 1 ) ≠ f '( x2 ) (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线 y = (x) f 的三条不同切线,求 a 的取值范围。

8. 2010 年高考全国Ⅰ卷文科 21)(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效) ( (注意: ......... 已知函数 f ( x) = 3ax 4 ? 2(3a + 1) x 2 + 4 x (I)当 a =

1 时,求 f ( x) 的极值; 6

(II)若 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上是增函数,求 a 的取值范围 解: (Ⅰ) f ′ ( x ) = 4 ( x ? 1) 3ax + 3ax ? 1
2

(

)

当a =

1 2 时, f ′ ( x ) = 2( x + 2)( x ? 1) , f ( x ) 在 ( ?∞, ?2) 内单调减,在 ? 2, ∞) ( + 内单调 6

增,在 x = ?2 时, f ( x ) 有极小值. 所以 f ( ?2) = ?12 是 f ( x ) 的极小值.

9. (2010 年高考全国卷Ⅱ文科 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x 3 -3ax 2 +3x+1。 (Ⅰ)设 a=2,求 f(x)的单调期间; (Ⅱ)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围。 【解析】本题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极 值及函数与方程的知识。 (1)求出函数的导数,由导数大于 0,可求得增区间,由导数小于 0,可求得减区间。

′ ′ (2)求出函数的导数 f ( x ) ,在(2,3)内有极值,即为 f ( x ) 在(2,3)内有一个零点, ′ ′ 即可根据 f (2) f (3) < 0 ,即可求出 A 的取值范围。

2009 年各省高考题汇编
1. 2009 年天津卷设函数 f(x)在 R 上的导函数为 f’(x),且 2f(x)+xf’(x)>x 2 ,x 下面的不等式在 R 内恒成立的是( A. f ( x ) > 0 ) B. f ( x ) < 0 C. f ( x ) > x D. f ( x ) < x

【答案】A 【解析】由已知,首先令 x = 0 ,排除 B,D。然后结合已知条件排除 C,得到 A 【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用。通过分析解析式的特点,考查 了分析问题和解决问题的能力。 2.2009 年全国统一考试卷(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人 进行技术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。 【答案】 (Ⅰ)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共 抽取 4 名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人。 (Ⅱ)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则

P( A) =

1 1 C4C6 8 = 2 15 C10

(Ⅲ) Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人, i = 0,2 1,

B j 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 j 名男工人, j = 0,2 1, B 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 Ai 与 B j 独立, i,j = 0,2 ,且 B = A0 ? B2 + A1 ? B1 + A2 ? B0 1,


P ( B ) = P ( A0 ? B2 + A1 ? B1 + A2 ? B0 )

= P ( A0 ) ? P ( B2 ) + P ( A1 ) ? P ( B1 ) + P ( A2 ) ? P ( B0 )

=
=

1 1 1 1 C42 C42 C4C6 C6C4 C62 C62 ? 2 + 2 ? 2 + 2 ? 2 2 C10 C10 C10 C10 C10 C 10

31 75

3. 2009 年天津卷(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ?

1 3 x + x 2 + (m 2 ? 1) x, ( x ∈ R, )其中m > 0 3

(Ⅰ)当 m = 1时, 曲线 y = f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线斜率 (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f (x ) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 < x 2 。若对任意的

x ∈ [ x1 , x 2 ] , f ( x) > f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
【答案】 (1)1(2) f (x ) 在 ( ?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 ? m,1 + m) 内增

2 3 1 m + m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m + m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 【解析】解:当 m = 1时,f ( x ) = x + x , f ( x ) = x + 2 x, 故f (1) = 1 3
函数。函数 f (x ) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) = 所以曲线 y = f ( x)在点( ,f( )) 1 1 处的切线斜率为 1. (2)解: f ' ( x ) = ? x 2 + 2 x + m 2 ? 1 ,令 f ' ( x ) = 0 ,得到 x = 1 ? m, x = 1 + m 因为 m > 0, 所以1 + m > 1 ? m 当 x 变化时, f ( x ), f ' ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

(?∞,1 ? m)
+

1? m
0

(1 ? m,1 + m)
-

1+ m
0

(1 + m,+∞)
+

极小值

极大值

f ( x) 在 (?∞,1 ? m) 和 (1 + m,+∞) 内减函数,在 (1 ? m,1 + m) 内增函数。
函数 f ( x ) 在 x = 1 + m 处取得极大值 f (1 + m) ,且 f (1 + m) =

2 3 1 m + m2 ? 3 3

函数 f (x ) 在 x = 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? (3)解:由题设, f ( x ) = x ( ? 所以方程 ?

2 3 1 m + m2 ? 3 3

1 2 1 x + x + m 2 ? 1) = ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3

1 2 x + x + m 2 ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 + x 2 = 3 , 且 3 4 1 1 ? = 1 + (m 2 ? 1) > 0 ,解得 m < ? (舍),m > 3 2 2 3 因为 x1 < x 2 , 所以2 x 2 > x1 + x 2 = 3, 故x 2 > > 1 2 1 若 x1 ≤ 1 < x 2 , 则f (1) = ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ≥ 0 ,而 f ( x1 ) = 0 ,不合题意 3
若 1 < x1 < x2 , 则对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] 有 x ? x1 ≥ 0, x ? x 2 ≤ 0,

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ≥ 0 又 f ( x1 ) = 0 , 所以函数 f (x ) 在 x ∈ [ x1 , x 2 ] 的最 3 1 2 小值为 0, 于是对任意的 x ∈ [ x1 , x 2 ] ,f ( x ) > f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) = m ? < 0 , 3
则 f ( x ) == ? 解得 ?

3 3 <m< 3 3 1 3 ) 2 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关 系解不等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。 4.2009 年北京卷(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) = x3 ? 3ax + b( a ≠ 0) . (Ⅰ)若曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y = 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 解析】 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

( x ) = 3x 2 ? 3a ,

∵曲线 y = f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y = 8 相切,

? ' ? ?a = 4, ? f ( 2 ) = 0 ?3 ( 4 ? a ) = 0 ∴? ?? ?? ? ? f ( 2) = 8 ?8 ? 6a + b = 8 ?b = 24. ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ( x ) = 3 x ? a

(

) ( a ≠ 0) ,

当 a < 0 时, f 值点.

'

( x ) > 0 ,函数 f ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 上单调递增,此时函数 f ( x) 没有极
'

当 a > 0 时,由 f

( x) = 0 ? x = ±
'

a,

当 x ∈ ?∞, ? a 时, f

( x ) > 0 ,函数 f ( x) 单调递增, ( ) 当 x ∈ ( ? a , a ) 时, f ( x ) < 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x ∈ ( a , +∞ ) 时, f ( x ) > 0 ,函数 f ( x) 单调递增,
' '

∴此时 x = ? a 是 f ( x) 的极大值点, x = 5.2009 年安徽卷(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

2 + 1 ? a ln x, a > 0 , x

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a=3,求 f ( x ) 在区间{1, }上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。
2 f ( x) 在 ?1, e ? 上的值域。 ? ? 第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数

【解析】(1)由于

f ( x) = 1 +

2 a ? x2 x



t=

1 得y = 2t 2 ? at + 1(t ≠ 0) x

2 ①当 ? = a ? 8 ≤ 0 ,即 0 < a ≤ 2 2 时, f ( x ) ≥ 0 恒成立.

∴ f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? = a ? 8 > 0 ,即 a > 2 2 时
2

由 2t ? at + 1 > 0 得
2

t<

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 t> 4 4 或

∴0 < x <

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 x> 4 4 或x<0或

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 <t < ∴ <x< 2 4 4 2 2 又由 2t ? at + < 0 得

综上①当 0 < a < 2 2 时, f ( x ) 在 ( ?∞, 0)及(0, +∞) 上都是增函数.

a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 , ) 2 2 ②当 a < 2 2 时, f ( x ) 在 上是减函数, ( (?∞, 0)(0, a ? a2 ? 8 a + a2 ? 8 )及( , +∞) 2 2 上都是增函数.



[1, 2] 上是减函数. (2)当 a = 3 时,由(1)知 f ( x ) 在
? 2, e 2 ? ? 上是增函数. 在?
又 f (1) = 0, f (2) = 2 ? 3ln 2 < 0

f (e 2 ) = e 2 ?

2 ?5 > 0 e2

2 ? ? 2 ? 2 ? 3l n 2, e ? e2 ? 5? f ( x) 在 ?1, e ? 上的值域为 ? ? ? ? ∴ 函数
2

6 . 2009 年 浙 江 卷 ( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 函 数 f ( x) = x3 + (1 ? a ) x 2 ? a ( a + 2) x + b

(a , b ∈ R) .
(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析: (Ⅰ)由题意得 f ′( x) = 3 x 2 + 2(1 ? a ) x ? a ( a + 2) 又?

f ( 0) = b = 0 ,解得 b = 0 , a = ?3 或 a = 1 ? f ′(0) = ?a (a + 2) = ?3 ?
导函数 f ′(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ′(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ)函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ′(?1) f ′(1) < 0 , 即: [3 + 2(1 ? a ) ? a (a + 2)][3 ? 2(1 ? a ) ? a (a + 2)] < 0
整理得: ( a + 5)( a + 1)( a ? 1) 2 < 0 ,解得 ? 5 < a < ?1

7.2008 年福建卷如果函数 y = f ( x) 的图像如右图,那么导函数 y = f '( x ) 的图像可能是 ( )

【答案】A


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